万有引力典型例题.docx

万有引力典型问题一、求未知天体的质量与密度黄金代换：GM = gR2gR2A、地球的质量m =—^ 地 G4兀2 LC、月球的质量m二 1月 GT 21正球体体积公式：v=3兀r 3，密度公式：P = M例1、已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T,月球到地心的距离为r,试求出地 球的质量和密度例2、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许被人们称为能称出 地球质量的人，若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径为R,地球上一个昼夜的时间为T （地球自转周期），一年的时间T（（地球公转的周期），地球中心到月 球中心的距离L，地球中心到太阳中心的距离为L .你估算出（ ）4兀2 LB、太阳的质量m二 2太 GT 22D、可求月球、地球及太阳的密度例题3、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T,则可 估算此恒星的密度为多少?二、与自由落体、抛体等运动的综合星球表面的重力加速度一方面与星球有关（g=G ），另一方面又可以从相关运动规律（平抛 运动、自由落体运动、竖直上抛运动等）中求出,重力加速度是联系运动学和万有引力、天 体运动的纽带。

例3、物体在一行星表面自由落下，第1s内下落了 9.8m,若该行星的半径为地球半径的一 半，那么它的质量是地球的 倍.例 4 ．设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为 k（均不计阻力），且已知地球与该天体的半径之比也为k则地球与此天体的质 量之比为 （ ）A. 1 B. k C. k 2 D. 1/ k例5.某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处 平抛一物体，射程为60m,则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一 物体，射程应为A．10m B．15m C．90m D．360m例6、地球可视为球体，其自转周期为T,在它的两极处用弹簧秤测得某物体的重 力为F,在赤道上用弹簧秤测得同一物体的重力为0.9F，则地球的平均密度是多 少？三、 地球同步卫星圆轨道在赤道平面，即在赤道的正上方；周期与地球自转周期相同，为24 小时；绕行方向 为自西向东同步卫星的特点： 定周期，定角速度，定速度，定轨道平面，定高度，定点h = 5.6 R v — 3 1 km / s离地高度 地，绕行速度：V —亠周期：T=24h例1.我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24t,在某一确定的轨道上运行。

下列说法中正确的是（ ）A. “亚洲一号”卫星定点在北京正上方的太空，所以我国可以利用它进行电视转播B. “亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合C. 若要发射一颗质量为2.48t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号” 卫星轨道半径小D. 若要发射一颗质量为2.48t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫 星轨道半径一样大例 2 、在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）A. 它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同C.它们的向心加速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同例 3 、关于地球同步卫星下列说法正确的是（ ） .① 地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的② 地球同步卫星的地球的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增 大，高度降低，速度减小③ 地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动④ 以上均不正确A. ①③ B.②③ C.①④ D.②④例4、地球半径为R,距地心高为h有一颗同步卫星，有另一个半径为3R的星球，距该星球球心高度为3h处一颗同步卫星，它的周期为72h,则该星球平均密度与地球的平均密度的比值为（ ）A. 1：9 B. 1：3 C. 9：1 D. 3：1例5.我国数据中继卫星“天链一号01星”于20XX年发射升空，经过4次变轨控制后，成 功定点在东经77°赤道上空的同步轨道，关于成功定点后，下列说法正确的是（ ）A. 运行速度大于 7.9km/s； B. 离地面高度一定，相对地面静止；C. 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大；D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度相等。

例6.如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高 度为h已知地球半径为R地球自转角速度为e0,地球表面的重力加速度为g，O为地球 中心.（1）求卫星B的运动周期;（2）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多少时间，它们再一次相距最近？答案：（l）2n\：'（R^ （2）gR22ngR2—o（R+h）3 oo四、 发射及变轨问题宇宙速度：① 第一宇宙速度（环绕速度）vl=7.9km/s.它是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆 周运动所必须具备的速度．② 第二宇宙速度（脱离速度） V2=ll.2km/s ．使物体挣脱地球束缚，成为绕太阳运行 的人造行星的最小发射速度．③ 第三宇宙速度（逃逸速度） V3=l6.7km/s ．使物体挣脱太阳的引力束缚的最小发射 速度，也称为“逃逸速度”1、 发射速度：是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无 能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道．① 宇宙速度均指发射速度② 第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度。

2、 运行速度：是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的速度，当卫星“贴着”地面运 行时，运行速度等于第一宇宙速度．例1.（2010.衡水模拟）为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年,20XX年被定为以“探 索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运 行，完成了既定任务，于20XX年3月1日16时13分成功撞月.如图所示为“嫦娥一号” 卫星撞月的模拟图，卫星在控制点开始进入撞月轨道.假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半 径为R,周期为T引力常量为G根据题中信息，以下说法正确的是（）A. 可以求出月球的质量B. 可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力C. “嫦娥一号”卫星在控制点处应减速D. “嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s 答案：AC例2、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1,然 后经点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道 1、 2 相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图20所示则在卫星分别在1、 2、 3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ D ）A、 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B、 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C、 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过 Q 点时的加速度D、 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过 P 点时的加速度例3. 20XX年1月国务院正式批准绕月探测工程，第一颗绕月卫星被命名为“嫦娥一号” 为月球探测后续工程积累经验当宇宙飞船到了月球上空先以速度v绕月球作圆周运动，为 了使飞船较安全的落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器作出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为 （（A）与v的方向一致(B) 与v的方向相反(C) 垂直v的方向向右(D) 垂直v的方向向左例 4. 启动卫星的发动机使其速度加大，待它运动到距离地面的高度比原来大的位置，再定 位使它绕地球做匀速圆周运动成为另一轨道的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比 ()(A) 速率增大(B) 周期减小(C) 机械能增大(D) 加速度增大练习5. 20XX年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨 道 I 进人椭圆轨道 II， B 为轨道 II 上的一点，如图所示关于航天飞机的运动，下列说法中 正确的有( )A. 在轨道II上经过A的速度小于经过B的速度B. 在轨道II上经过A到达B的过程中速度越来越大C. 在轨道II上运动的周期小于在轨道I上运动的周期D. 在轨道II上经过A的加速度小于在轨道I上经过A的加速度例 6、 ( 2008 山西太原)我国研制的“嫦娥一号”卫星于 20XX 年 10 月 24 日 18 时由长征三 甲运载火箭发射升空，星箭分离后在远地点做了一次变轨，进入到16 小时轨道，然后分别地月轨道驱小时轨道在 16 小时、24 小时(停泊轨道)、48 小时轨道(调相轨道)轨道近 地点，各进行了一次变轨，其中在调相轨道近地点变轨后， “嫦娥一 号”卫星进入地月转移轨道正式奔月，下列说法中正确的是( )A. “嫦娥一号”由24小时轨道变为48小时轨道时应让其发动机 在 A 点点火向后喷气B. “嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机 在 B 点点火向后喷气C. “嫦娥一号”沿24小时轨道在 B 点的速度大于沿24小时轨道 在 A 点的速度D. “嫦娥一号”沿48小时轨道在B点的加速度大于沿24小时轨道在B点的加速度例 7(20XX 年广东高考)图7 是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探 测，下列说法正确的是（）A. 发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B. 在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C. 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D. 在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力五、 双星模型 两个质量相差不多的星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点 匀速圆周运动。

抓住双星运动的特点，即周期相同是解决问题的关键还要注意运动半径和双星间的距离的关系：L = R + R，双星角速度：①—1 2 1 2 处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不 等于引力距离（这一点务必理解）弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置 标出相关量，可以最大限度减少错误例 1、宇宙中两颗相距较近天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆 周运动，而不至因万有引力的作用吸引到一起.（1） 证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比.（2） 设二者的质量分别为ml和m2,二者相距L,试写出它们角速度的表达式.例2.两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同 的匀速圆周运动现测得两星中心距离为 L ，其运动周期为 T ，求两星的总质量例3.两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量 分别为ml> m2，如右图所示，以下说法正确的是（ACD ）A. 它们的角速度相同.B. 线速度与质量成正比.C. 向心力与质量的乘积成正比.D. 轨道半径与质量成反比.例 4. 两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心作匀速圆周运动，这样 就不至于由于万有引力而吸引在一起，设两双星质量分别为m和M，M=3m。

两星间距为 L在相互万有引力的作用下，绕它们连线上某点O转动，则它们运动的角速度为多少？拓展题.（2006广东高考）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳。