数理逻辑“四论”发展概述(论文).docx

大学研究生学位课程论文论文 题目 数理逻辑“四论”发展概述摘要：数理逻辑包括一阶逻辑、高阶逻辑、公理化集合论、模型论、递归论和证 明论等这部分内容基本上是数学化的，所以它也是现代数学的基础本文主要 就数理逻辑中的四论做简要的概述 关键词：数理逻辑、公理化集合论、模型论、递归论、证明论1．公理化集合论在四论中，公理化集合论是用现代公理化的方法重建康托尔集合论的研究 公理集合论的研究在我国起步较晚 1972 年王浩来华讲学，介绍了国外（包括他本 人）关于集合论的新研究此后我国学者开始了数理逻辑这一分支的研究工作南 京大学莫绍揆、中科院软件所张锦文、中科院数学所冯琦的研究可代表我国公理 集合论70—90年代的研究水平莫绍揆的研究着重在ZFC系统的归约问题他将 ZFC的八个公理作了若干归约和替代，证明了四个ZFC系统的变种此后他又构 造了一个新系统ZFC莫绍揆还研究了基数的方幕运算，重要结果是引入了两个 有限数列oK和fK,由它们刻画了方幕运算的本质⑴张锦文在国内外刊物上发表了 20 多篇集合论方面文章，其成果主要有：运用 布尔值模型方法建立了多种弗晰集合公理系统；证明Zaden的弗晰集合论是在强 蕴涵运算基础上的一种弱集合论的非标准模型；建立了适应于范畴论基础的聚合 的公理系统ACG，并建立了 ACG的层谱；还建立了一个称为强蕴涵运算的系统， 它不同于古典逻辑和直觉主义逻辑，以它构造的集论公理系统和模型也都具有鲜 明的特征冯琦在当前集合论热门领域有一系列重要成果。

[2]他提出了平面分划齐 一性的存在定理，建立了这种齐一性同大基数的联系，引进新的无穷博奕方法， 建立了齐一性的相容性他和美国学者M. Magidor, H. Wodin合作，给出关于实 数子集的正则性与实数理论在力迫扩张中的绝对关系方面的一系列定理在关于 稳定集和无穷反演原理方面，他揭示了强弱稳定性之间的差异与大基数间的重要 联系；系统地分析了二类反演原理与稳定集的局部结构的联系，刻画了在集论当 今发展中起重要作用的一类偏序集；建立了反演原理关于连续统假设的判定结论 冯琦的这些成果被国外一些学者在著作中引用河南大学的赵希顺构造了一个集论系统zPn，证明，对任意自然数n，zPn的 协调都在z系统中可证四川大学的张树果证明，souslin树在特殊的力迫扩张中是保持的中科院软件所的张再跃在大基数性质与险峻理想关系方面也有重要 研究成果[3]2. 模型论四论中，模型论是一个新兴的学科它是研究形式语言及其解释或者模型之 间关系的理论在模型论研究方面，找国学者的成果是非常丰硕的北京师范大 学的王世强有重要贡献他由60年代对格值逻辑的研究发展为对格值模型论性质 的研究他把二值模型论中超值基本定理和紧致性定理推广到多值模型论，并用 常量构作模型的方法证明某些有限格值时的省略型定理以及证明某些格值时的省 略型定理。

在对格值模型论的研究中，他给出了一批基础型概念、方法和定理 王世强特别重视模型论在数学和计算机领域的应用，写出这方面的专著和一些文 章他在培养我国模型论人才方面也有重大功绩，前后培养了近四十名模型论方 面硕士和博士，他们都在科研岗位上作出了成绩北京师范大学的沈复兴延续了王世强的工作，获得许多研究成果如给出格 值模型完备理论的判别方法；证明了强L-S—T定理、格值模型的初等链定理、 Robinson和谐定理、Craig插人定理、保持性定理、Scott同构定理、无穷长语言格 值模型的存在定理、降L-S—T定理等 他还定义了格值模型的有限力迫和generic 模型，证明了 generic模型的存在性在模型论判定问题方面，沈复兴也有出色的 工作[4]北京师范大学的罗里波在美国《符号逻辑杂志》和《纯逻辑和应用逻辑年刊》 上发表多篇文章.取得模型论研究的一些重要成果他解决了R. Vaught 40年前 提出的齐次模型猜想的一种情况；研究了塔尔斯基关于自由群的猜想，证明自由 群加人首字母函数后是不可判定的他研究了各种可换群的结构的判定和计算的 复杂性，将其计算复杂性的上界确定在时间三重指数和空间二重指数的范围之内。

北京大学的王捍贫提出了顺序混成系统的一种模型，能清晰地描述混成系统 中由于连续和瞬时动作的混合而引起的复杂的循环行为他还将可补格按同模的 分类问题推广到谓词演算按同模分类的问题北京航空航天大学的张玉平在将经典逻辑中提供的语义技术应用于研究非经 典逻辑方面，获得了有益结果 [5]3. 递归论四论中，递归论也可称为可计算性理论，它产生于对计算法的研究主要研 究可计算对象的计算复杂性和不可计算对象的结构，也是计算机科学的理论基础 它的目的是研究计算和相对计算的本质在 20世纪 30 年代曾产生过几种等价的 刻画计算本质的精确定义，其中主要有久一可定义函数，递归函数、图灵可计算 函数以及有波斯特产生系统定义的算法课产生集随着人们寻求谓词演算系统判 定过程的失败和著名的哥德尔不完全性定理的出现，人们开始转向对不可计算对 象的研究，并找到了许多不可计算的例子在这个基础上， 1939 年图灵引入了可 相对计算的概念，从此开始了相对可计算的研究20 世纪 50年代中期，弗里德 伯格和默契尼克各自独立地创造了有穷损害优先方法，证明了“存在两个不可比 较的递归可枚举的图灵度”， [6]解决了波斯特问题60 年代，神菲尔德和萨克斯 又各自独立地创造了无穷损害优先方法，证明了稠密性定理。

此后若干年中，人 们用无穷损害优先方法得到了一大批关于递归可枚举的结果70 年代，拉克朗又 创立了树构造方法，证明了拉克朗非分解定理成立这一方法现在已被其它领域 的研究中在最近的20年中，可计算枚举度理论主要进展都是应用该方法，获得 了一些重要的结果到目前为止，最显著的可定义性成果是库波 1990 年、 1993 年和1994 年的可定义性定理我国学者利用可计算枚举囿界极小定理获得了这一领域最新的一些进展4. 证明论四论中，证明论自 20 世纪20 年代希尔伯特创立以来也有很大发展20 世纪 20 年代初，希尔伯特提出了一个试图解决数学基础问题的证明论方 案，此方案的目的是：用能行的有穷的方法研究包括古典逻辑和古典数学的形式 系统，并论证其协调性等为实现这个方案， 1924 年阿克曼做了一些工作，并获 得了一些结果[7]1940 年，阿克曼用超穷归纳法给出算术的一致性的另一个证明此外，在20 世纪40 年代和 50 年代还有一些数理逻辑学家对算术的一致性作出了证明证明 论的下一步目标是要证明实数论的一致性，现已有一些中问结果，即对实数论作 某些限制后证明其一致性与哥德尔完全性定理有关，有两条关于模型论的定理：①德国逻辑学家罗文汉（Lowenheim）在1915年证明了一条定理，即如果一阶谓词 演算的一个公式是可满足的（即有模型），那么在自然数域（或可数无穷个体域）内 也可满足（即也有模型）。

有了完全性定理，罗文汉定理就成了完全性定理的一个 系定理②紧致性定理：一个命题集有模型当且仅当每个有穷子集有模型哥德 尔对这个定理给出了语义证明他提出此定理，是为了由它推出完全性定理的一 个推广定理5. 小结数理逻辑最早传人中国是在 1920 年当时，作为数理逻辑奠基人之一的罗素 在北京大学作了五大讲演在数理逻辑的讲题下，介绍了他创建的命题演算和类 演算 1922 年，傅种孙和张邦铭翻译了罗素的 Introduction to Mathematical philosophy，译名《罗素算理哲学》；1930年作为世界名著重印，更名为《算理 哲学》 1982 年商务印书馆出版了晏成书的译本，定名为《数理哲学导论》罗 素在这本书中较系统地介绍了他的逻辑主义观点以及逻辑演算的有关概念 [8]此后几年，我国又有许多学者如张申府、肖文灿、朱言钧等人发表文章或出 版译著，介绍数理逻辑中的集合论、谓词逻辑和逻辑哲学从 40 年代开始，数理逻辑进入了飞速发展的时期在逻辑演算中，非经典逻 辑的新分支不断涌现在我国，“四论”的成果也层出不穷有学者猜想，之后的一段时间，数理逻辑的发展特点将是四论的进一步完善 和发展，逻辑学自身的各理论将会相互渗透和融合，并且更应该注重理论的应用。

参考文献：[1] 张清宇，郭世铭，李小五.哲学逻辑研究[M].社会科学出版社，1997.[2] 王世强.独立于ZFC的数学问题[M].北京师范大学出版社，1992.[3] 王世强.数理逻辑与范畴论应用[M].北京师范大学出版社，1999.⑷ 杨东屏.可计算性理论[M].科学出版社，1999.⑸张健.逻辑公式的可满足性判定[M].科学出版社,2000.[6] 王元元.计算机科学中的逻辑[M].科学出版社，1989.[7] 王世强.模型论基础[M].科学出版社，1987.[8] 肖尔兹茼明逻辑史.北京：商务印书馆，1977, 10〜11.。