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几何学的发展一、近代射影几何——综合几何的发展自从笛卡儿等人创立解析几何以后，代数的和分析的方法统治着几何学，综合的方法受到了排斥．但 是，优美而直观、清晰的几何方法，一直吸引着不少几何学家．19 世纪初，不少著名的数学家指出， 综合几何——用综合的方法对几何进行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此应该积极努力地来复兴 和扩展综合几何．以庞斯列(J. v. Poncelet, 1788—1867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方法 进行探讨．他们取得了丰硕的成果，这些成果在 19 世纪早期是几何学的主流．为了和笛卡儿的解析几 何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近代综合几何.实际上，这种近代综合几何是17世纪帕斯卡、德扎格等人开创的射影几何的复兴，因而又被人称 为近代射影几何.综合的欧几里得几何学在 19 世纪初取得了一些新成果，产生了数以百计的新定理.19世纪综合几何的主要成就是射影几何学的复兴.射影几何学在17世纪曾有过突出的成就，但却 被解析几何、微积分淹没了.数学家们经过论战，终于在 19 世纪为综合几何赢得了较高的地位.综合几何尤其是射影几何在19世纪的兴起主要应归功于以蒙日(G. Monge，1746—1818)为首的法 国数学家.他是法国拿破仑时代数学界的导师，也是一位优秀的教师，大批的优秀几何学家都是在他的 直接教导和影响下成长起来的，其中就有庞斯列和卡诺.射影几何学的复兴始于卡诺(L. N. M. Carnot, 1753—1823),他是蒙日的学生，物理学家S.卡 诺的父亲.他是受蒙日的影响研究几何学.1803年，出版了《位置几何学》(Geome-triedePosition), 1806年版了《横截线论》(Essai SurLa theorie des transversales)，在这些书中，他导出了完全四 边形和完全四角形的性质，并且引入了种种有价值的射影几何理论，他试图证明射影几何方法并不比解 析几何方法逊色.庞斯列在俄罗斯的监狱中给纯粹的几何方法注入了新的生命力. 1822年，他的研究成果《图形的 射影性质》(TraitQ desproprietQs projectives des figures)在巴黎出版.这本书内容极为丰富， 它所研究的是那些在射影时保持不变的性质.平面图形的某些度量性质(如距离、角度)在投影时有所变 化，但有些却不变，如四条相交于一点的直线被一截线所割，截点分别是A，B，C，D，则(AB：BC): (AD : DC)不变.他称(AB : BC) : (AD : DC)为点列的反调和比或交比.他详细讨论了交比、射影对应、对 合变换、圆上虚渺点等基本概念.庞斯列在射影几何方面的工作以三个观念为中心：(1)透射的图形；(2)连续性原理；(3)圆锥曲线 的极点与极线.以这些观念为中心，他奠定了射影几何的基础.19世纪射影几何的一个重要成就是建立了对偶(duality)原理.庞斯列等人认识到，涉及平面图形 的定理，如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”，重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的.这 是为什么呢？为此数学家们展开了争论，庞斯列队为配极关系是其原因.热尔岗(Joseph —Diez Gergonne, 1771—1859)则坚决主张对偶原理是一个普遍性原理，适用于除 了涉及度量性质之外的一切陈述和定理，配极关系是不必要的中介．他首先引入“对偶性”这个术语来 表示原定理与新的对偶定理之间的关系．他还注意到在三维的情形中点与面是对偶的元素，线的对偶元 素是自身．热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的定理并排写在原来命题的旁边．下面我们看 看德扎格定理及其对偶：德扎格定理 德扎格定理的对偶如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O那么对应边相交的三个点在同一条 线上.如果有二个三角形，联接对应边的点在同一条线0上，那么 对应顶点相连的三条线过同一个点.我们看到德扎格定理的对偶也是正确的，实际上它是原来定理的道定理．瑞士数学家施泰纳(J. Steiner，1796—1863)建立了射影几何学的严密系统，他把卡诺在完全四边 形方面的工作推广到空间多边形，完成了点列、线束、二项曲线及曲面的理论，讨论了圆锥曲线的种种 性质.其主要著作是1832年出版的《几何形的相互依赖性的系统发展》(Systematische Entwicklungder Abh ngigkeit geometrischen Gestalten Voneinaader)，这本书的主要原理是运用射影的概念从简单 的结构(如点、线、线束、面、面束)建造出更复杂的结构. 1867年他又对射影几何的原理作了详细说 明.施泰纳从开始研究几何时就使用对偶原理，他把圆锥曲线的对偶化称为线曲线，把作为点的轨迹的 通常的曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一条线曲线.在圆锥曲线的情形就构成对偶曲线.利用圆锥 曲线的对偶概念，可以把许多圆锥曲线定理如帕斯卡定理换成其对偶命题.沙勒(M. Chasles，1793—1880)指出，从对偶原理来看，在射影几何中线可以同点一样基本.他引 进了一些新的术语，如把“交比”称为“非调和比”，称将点变成线、线变成点的变换为对射，等等.长期以来，人们对射影几何与欧氏几何的关系一直不清楚. 1847年，德国数学家斯陶特(K. G. C. V. Staudt，1798—1867)出版的《位置几何学》(Geometrie der Lage)澄清了这方面的关系， 他指出，射影几何完全可以摆脱长度的概念.例如：“交比”是一个基本概念，他把坐标是容 和 疝爲的四点的交比定凳为二1，遺样童濫4瓦2 —瓦4地不依靠长度和迭合的概念就得到了建立射影几何的基本工具.因此，他指出射影几何学实际上比欧氏 几何还基本，射影几何学是与距离和角的大小无关的学科，欧氏几何实际上可以看作射影几何的特例.这 样，斯陶特完全摆脱了代数和度量的关系，建立了“纯粹”的综合几何理论.射影几何从古希腊起就已出现， 17世纪德扎格、帕斯卡又进一步发展了，到19世纪中叶，已经发 展成了一门十分成熟的学科，占据着几何学乃至数学的重要地位.二、非欧几何的建立从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足 人们的审美要求．这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了．于 是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功．尽管如此，19 世纪以前依 然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412一485年)、沃利斯、萨凯里 (G. Saccheri, 1667—1733)、克莱罗、兰伯特、勒让德、普雷菲尔(J. Playfair, 1748—1819)等等.萨凯里的工作最值得重视，在1733年发表的论文中，他从一个四边形ABCD开始，其中A和B是直 角，且AC = BD,(图13. 2)易证ZC=ZD，欧氏几何平行公设相当于ZC，ZD是直角这个论断，于是 他在下列两种情形中选择：(1) 钝角假设：ZC、ZD是钝角;(2) 锐角假设：ZC、ZD是锐角.他首先证明第1种情形不可能.其次，他在考虑第二个假设时，没有得到任何矛盾，并且得到了许 多有趣的定理，本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何，但他缺乏理论勇气，以“结论不 合情理”而否认了.胜利的果实滑到嘴边又溜走了.数学王子高斯在18世纪就知道要证明平行公设是徒劳的，并且在15岁时已经掌握了能够存在一种 逻辑几何的思想，其中欧氏平行公设不成立，他在思想上是非常解放的，丝毫不会为传统观念所左右， 也不为科学泰斗所吓倒•从1813年他就开始发展新几何，起初他称反欧几何(anti-EuclideanGeometry)，星空几何，最后称非欧(Non —Euclidean)几何，他认为非欧几何在逻辑上是相容，并且具 有欧氏几何一样的可应用性.但他在行动上一向谨小慎微，怕受人奚落，不为人理解，不敢发表离经叛 道的、但被他认为是正确的学说.1826年2月12日，俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了《论几何原理》一文①，宣告 了非欧几何的创立.1835—1837年，他发表《具有平行的完全理论的几何新基础》，较好地表达了他 的思想，他称他的新几何为“虚几何”. 1840年用德文出版了《平行理论的几何研究》(GeometrischeUntersuchun — genZurTheoriederparalle-llinien)，在双目失明后仍口授出一部关于他 的几何的完全新的说明，于1855年以《泛几何》而出版.几乎与此同时，匈牙利军官波尔约(J. Bolyai)在1825年左右已建立起非欧几何思想，并于1832 —1833年以《绝对空间的几何》一文作为其父沃夫冈•波尔约(WolfgangBolyai，1775—1856)《为好 学青年的数学原理论著》的附录出版了.他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何.高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明，平行公设是欧氏 几何中独立的和必不可少的，非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题，并从与此组成的一组新公理中，重新建立一种几何．罗巴切夫斯基放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点(C)作垂线a垂直于已知直线(AB)，并从该点向直线作 平行线；记F(a )%a和平行线间的角”.在图13. 3中，A ES 13. 3-过点C的所有直线关于直线AB可以分成两类，一类直线与AB相交，另一类不相交.直线p与q 属于后一类，构成相交与不相交两类直线的边界.F(a )是AB的垂线a与过C的AB的平行线间的角， 称为平行角•在罗巴切夫斯基几何中，过C与AB平行的直线有无穷条•这正与欧氏几何中“过定直线 外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照.若F(a)=歩则得出欧氏平行公i殳.若FOM*』则当咸小到0腹珑⑵増加且趋于彳当孃成无限大时，F⑥将减小而趋于零.因此，三角形的内角之和恒小于n，且随着三角形面积的增大而减小，当面积趋于零时，它就趋于n .“假设三角形内角和小于n，就导致出圆随半径的增长不趋于直线，而趋于一特种曲线，我们称它为极 限圆.球面在这种情况下也趋向于一曲面，类似地，我们称它为极限球面.”然后罗巴切夫斯基转向新几何的三角学部分•设想一个球面三角形A J BC,其球面中心为A(图1阴).苜先他确定了结果是=亡一住、亡为自然对数陶底。

由此恋F(©m f(+対=仔.对于图 13. 4 中的球面三角形，他给出了公式ctgF(a )=ctgF(c)sinA，sinA = cosB sinF(b)，sinF(c) =sinF(a)sinF(b).“一般说来，在直角三角形中，a, b为直角边，n -23为各角和，则有AT(?-11b+i丿2 + i丿因而三角形越小，它的各角之和同两直线的区别越小.”根据对无穷小三角形的研究，罗巴切夫斯基还得出了曲线y = f(x)在(x, y)处的弧微分公式于是，半径为r的圆周长c=n (er-e_r)，圆面积A=n(丿1随后，他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理.非欧几何的一种形式——罗巴切夫斯基 几何已经建立起来，“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在于自然界中，那也 可以存在于我们的虚想之中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相利用，却开拓了一个新的、 广阔的领域.”非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义.它使人们认识到，平行公设不能在。