九年级数学下册第2章二次函数22二次函数的图象与性质第4课时教学课件湘教版.ppt

2.2 2.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质第第4 4课时课时1.1.经历把函数经历把函数y y＝＝axax2 2的图象沿的图象沿x x轴、轴、y y轴平移得到函数轴平移得到函数y y＝＝a(x+h)a(x+h)2 2＋＋k k的图象的探究过程，理解图象变换的实质的图象的探究过程，理解图象变换的实质. .2.2.能通过对函数能通过对函数y y＝＝axax2 2的图象进行平移的方法，画出函数的图象进行平移的方法，画出函数y y＝＝a(x+h)a(x+h)2 2或或y y＝＝a(x+h)a(x+h)2 2＋＋k k的图象的图象. .3 3. .经历探索经历探索y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称的图象特征，会用配方法求其对称轴，顶点坐标公式轴，顶点坐标公式. .观察图象观察图象, ,回答问题回答问题函函数数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2的的图图象象有有什什么么关关系系? ?它它是是轴轴对对称称图图形形吗吗? ?它它的的对对称称轴轴和和顶顶点点坐坐标标分分别别是是什么什么? ? 在同一平面直角坐标系中作出二次函数在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图象．的图象． 1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2 y=2x2观察这三个图象观察这三个图象是如何平移的是如何平移的. .?二次函数二次函数y=-0.5xy=-0.5x² ², ,y=-0.5(x+1)y=-0.5(x+1)2 2和和y=-0.5(x+1)y=-0.5(x+1)2 2-1-1的图象有什么关系的图象有什么关系? ?它们的开口方向它们的开口方向. .对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标分别是什么分别是什么? ? 画出函数画出函数y=-0.5y=-0.5（（x+1x+1））²-1²-1的图象，指出它的开口方向、的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x²y=-0.5x²经过怎样的变换可以得到经过怎样的变换可以得到抛物线抛物线y=-0.5(x+1)²-1y=-0.5(x+1)²-1？？【【思考思考】】 在同一平面直角坐标系中作出二次函数在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2+2+2, ,y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2-2,y=-3x-2,y=-3x² ²和和y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2的图象的图象 二次函数二次函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2+2+2与与y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2-2-2和和y=-3xy=-3x² ², ,y=y=-3(x-1)-3(x-1)2 2的图象有什么关系的图象有什么关系? ?它们是轴对称图形吗它们是轴对称图形吗? ?它们的它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? ?当当x x取哪些值时，取哪些值时，y y的值随的值随x x值的增大而增大值的增大而增大? ?当当x x取哪些值时，取哪些值时，y y的值随的值随x x值的值的增大而减小增大而减小? ? 【【跟踪训练跟踪训练】】【【规律方法规律方法】】二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)² ²+k+k与与y=axy=ax² ²的关系的关系 一般地一般地, ,由由y=axy=ax2 2的图象便可得到二次函数的图象便可得到二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象的图象:y=a(x-h):y=a(x-h)² ²+k(a≠0)+k(a≠0)的图象可以看成的图象可以看成y=axy=ax2 2的图的图象先沿象先沿x x轴整体向左轴整体向左( (右右) )平移平移|h||h|个单位个单位( (当当h>0h>0时时, ,向右平向右平移移; ;当当h<0h<0时时, ,向左平移向左平移),),再沿对称轴整体上再沿对称轴整体上( (下下) )平移平移|k||k|个个单位单位( (当当k>0k>0时，向上平移时，向上平移; ;当当k<0k<0时时, ,向下平移向下平移) )得到的得到的. . 因此因此, ,二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线, ,它它的开口方向、对称轴和顶点坐标与的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,ka,h,k的值有关的值有关. .抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k有如下特点：有如下特点：（（1 1）当）当a a＞＞0 0时，开口向上时，开口向上; ;当当a a＜＜0 0时，开口向下时，开口向下. .（（2 2）对称轴是直线）对称轴是直线x=h.x=h.（（3 3）顶点坐标是（）顶点坐标是（h h，，k k））. .1.1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标: :【【解析解析】】（（2 2）开口：向下，对称轴：直线）开口：向下，对称轴：直线x=-1,x=-1,顶点（顶点（-1-1，，-5-5））（（1 1）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=-3,x=-3,顶点（顶点（-3-3，， ））【【跟踪训练跟踪训练】】2.(1)2.(1)二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象与二次函数的图象与二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象有什么关系有什么关系? ?它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗? ?它的对称轴和顶点坐标它的对称轴和顶点坐标分别是什么分别是什么? ? (2)(2)二次函数二次函数y=-3(x-2)y=-3(x-2)2 2+4+4的图象与二次函数的图象与二次函数y=-3xy=-3x2 2的图的图象有什么关系象有什么关系? ? 对于二次函数对于二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2, ,当当x x取哪些值时取哪些值时,y,y的值随的值随x x值的增值的增大而增大大而增大? ?当当x x取哪些值时取哪些值时,y,y的值随的值随x x值的增大而减小值的增大而减小? ?二二次函数次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2+4+4呢呢? ? 【【解析解析】】(1)y=3x(1)y=3x2 2的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位得个单位得y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的的图象图象. .它是轴对称图形它是轴对称图形. .它的对称轴和顶点坐标分别是直它的对称轴和顶点坐标分别是直线线x=-1x=-1和和(-1,0).(-1,0).(2)(2)二次函数二次函数y=-3(x-2)y=-3(x-2)2 2+4+4的图象由二次函数的图象由二次函数y=-3xy=-3x2 2的图的图象向右平移象向右平移2 2个单位再向上平移个单位再向上平移4 4个单位而得个单位而得. . 对于二次函数对于二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2, ,当当x≥-1x≥-1时时,y,y的值随的值随x x值的增大而值的增大而增大增大. .当当x≤-1x≤-1时时,y,y的值随的值随x x值的增大而减小值的增大而减小. .二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2+4+4的增减性与的增减性与y=3(x+1)y=3(x+1)2 2相同相同. .3. 3. 心理学家发现，学生对概念的接受能力心理学家发现，学生对概念的接受能力y y与提出概念所与提出概念所用的时间用的时间x x（单位：（单位：min)min)之间满足函数关系之间满足函数关系y=-0.1xy=-0.1x2 2+2.6x+2.6x+43(0≤x≤30),y+43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强值越大，表示接受能力越强. .（（1 1））x x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x x在什在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （（2 2）第）第10min10min时，学生的接受能力是多少？时，学生的接受能力是多少？（（3 3）多长时间时，学生的接受能力最强？是多少？）多长时间时，学生的接受能力最强？是多少？(1)(1)当当0≤x≤130≤x≤13时时, , 学生的接受能力逐步增强学生的接受能力逐步增强; ; 当当13≤x≤3013≤x≤30时时, , 学生的接受能力逐步降低学生的接受能力逐步降低. .(2)(2)当当x=10x=10时，时，y=59.y=59.(3)(3)当当x=13x=13时，学生的接受能力最强为时，学生的接受能力最强为59.9.59.9.【【解析解析】】y=-0.1(x-13)y=-0.1(x-13)² ²+59.9+59.9提取二次项系数提取二次项系数配方配方: :加上再减去一次项加上再减去一次项系数绝对值一半的平方系数绝对值一半的平方整理整理: :前三项化为完全平前三项化为完全平方式方式, ,后两项合并同类项后两项合并同类项化简化简配方法配方法再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标. .x x…-2-2-1-10 01 12 23 34 4… …292914145 52 25 514142929…列表列表: :根据对称性根据对称性, ,选取适当值列表计算选取适当值列表计算. .∵a=3>0,∴∵a=3>0,∴开口向上开口向上; ;对称轴对称轴: :直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2).x=1●(1,2)通过图象你能看出通过图象你能看出当当x x取何值时取何值时y y随随x x的增大而减小，当的增大而减小，当x x取何值时，取何值时，y y随随x x的增大而增大吗？的增大而增大吗？当当x<1x<1时，时，y y随随x x的增大的增大而减小，当而减小，当x>1x>1时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大. .在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上，同学们，你们想到了什么？图象从左到右斜向上，同学们，你们想到了什么？画出画出y y＝＝ x x2 2－－6x6x＋＋2121的图象的图象. .【【解析解析】】配方得：配方得：y y＝＝ x x2 2－－6x6x＋＋2121＝＝ (x (x－－6)6)2 2＋＋3.3.由此可知，抛物线由此可知，抛物线 的顶点是点（的顶点是点（6 6，，3 3），），对称轴是直线对称轴是直线 x x＝＝6.6.y y＝＝ x x2 2－－6x6x＋＋2121【【跟踪训练跟踪训练】】提取二次项系数提取二次项系数配方配方: :加上再减去一次项加上再减去一次项系数绝对值一半的平方系数绝对值一半的平方整理整理: :前三项化为完全平方前三项化为完全平方形式形式, ,后两项合并同类项后两项合并同类项化简化简一般地一般地, ,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax²+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标法推导出它的对称轴和顶点坐标. . 你能把函数你能把函数y=axy=ax²+bx+c²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？通过配方法化成顶点式吗？抛物线的顶点式抛物线的顶点式因此因此, ,二次函数二次函数y=axy=ax²+bx+c²+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线. .根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 【【跟踪训练跟踪训练】】【【解析解析】】（（1 1）直线）直线x=3,x=3,顶点（顶点（3 3，，-5-5））. .（（2 2）直线）直线x=8,x=8,顶点（顶点（8 8，，1 1））. .（（3 3）直线）直线x=1.25,x=1.25,顶点（顶点（1.251.25，，-1.125-1.125））. .（（4 4）直线）直线x=0.75,x=0.75,顶点（顶点（0.750.75，，9.3759.375））. .1.1.（鄂州（鄂州··中考）二次函数中考）二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（（a≠0a≠0）的）的图象如象如图所示，下列所示，下列结论①①a a、、b b异号；异号；②②当当x=1x=1和和x=3x=3时，函数，函数值相等；相等；③③4a+b=0.④4a+b=0.④当当y=4y=4时，，x x的取的取值只能只能为0 0．．结论正确正确的个数的个数为（（ ））A.1A.1　　　　 　　B.2B.2　　 　　C.3C.3　　　　　　D.4D.4答案答案: :C C 则 的值分别为（的值分别为（ ））A.0A.0，，5 B.05 B.0，，1 C.-41 C.-4，，5 D.-45 D.-4，，1 1，，2.2.（安徽（安徽··中考）若二次函数中考）若二次函数 配方后为配方后为答案答案: :D D 3.3.（福州（福州··中考）已知二次函数中考）已知二次函数y y＝＝axax2 2＋＋bxbx＋＋c c的的图象如象如图所示，所示，则下列下列结论正确的是正确的是( )( ) A A．．a a＞＞0 B0 B．．c c＜＜0 0 C C．．b b2 2－－4ac4ac＜＜0 D0 D．．a a＋＋b b＋＋c c＞＞0 0答案答案: :D D x xy yO OA.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限4.4.（莱（莱芜··中考）二次函数中考）二次函数所示，所示，则一次函数一次函数的的图象不经过（象不经过（ ））答案答案: :D D的的图象如象如图5.5.（株洲（株洲··中考）已知二次函数中考）已知二次函数 (a(a为为常数），当常数），当a a取不同的值时，其图象构成一个取不同的值时，其图象构成一个““抛物线系抛物线系””．下图分别是当．下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图时二次函数的图象象. .它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 . .答案答案:【【规律方法规律方法】】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a≠0)+bx+c(a≠0)与与y=axy=ax2 2 (a≠0)(a≠0)的关系的关系1.1.相同点相同点: (1): (1)形状相同形状相同( (图象都是抛物线图象都是抛物线, ,开口方向相同开口方向相同). ). (2)(2)都是轴对称图形都是轴对称图形. . (3)(3)都有最都有最( (大或小大或小) )值值. .(4)a>0(4)a>0时时, , 开口向上开口向上, ,在对称轴左侧在对称轴左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小, ,在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y都随都随x x的增大而增大的增大而增大.a<0.a<0时时, ,开口向下开口向下, ,在对在对称轴左侧称轴左侧,y,y都随都随x x的增大而增大的增大而增大, ,在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y都随都随x x的增的增大而减小大而减小 . . 2.2.不同点不同点: (1): (1)位置不同位置不同.(2).(2)顶点不同顶点不同: :分别是分别是 和和(0,0).(0,0).(3)(3)对称轴不同对称轴不同: :分别是分别是 和和y y轴轴. .(4)(4)最值不同最值不同: :分别是分别是 和和0.0.3.3.联系联系: : y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a≠0)(a≠0) 的图象可以看成的图象可以看成y=axy=ax2 2的图的图象先沿象先沿x x轴整体左轴整体左( (右右) )平移平移 个单位个单位, ,（当（当 ＞＞0 0时时向右平移，当向右平移，当 ＜＜0 0时向左平移）再沿对称轴整时向左平移）再沿对称轴整体上体上( (下下) )平移平移 个单位个单位 ( (当当 >0>0时向上平时向上平移移; ;当当 <0<0时向下平移时向下平移) )得到的得到的. .1.1.二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象和性质的图象和性质y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标a>0a>0向上向上x=hx=h（（h,kh,k））a<0a<0向下向下x=hx=h（（h,kh,k））2.2.二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a≠0)+bx+c(a≠0)的图象和性质的图象和性质(1)(1)顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴. .(2)(2)位置与开口方向位置与开口方向. .3.3.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a>0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a<0)(a<0)由由a,ba,b和和c c的符号确定的符号确定由由a,ba,b和和c c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增的增大而减小大而减小. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, , y y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增的增大而增大大而增大. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, , y y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 根据图形填表：根据图形填表：忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效. . ————拉封丹拉封丹。