波动方程.pdf

第一章波动方程Wave Equations齐 海 涛htqi2008@2010-9-28齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-281 / 101目录...1方程的导出、定解条件...2达郎贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-282 / 101学习要求...1掌握波动方程及各种定解条件的提法与物理背景; ...2掌握求解定解问题的方法 (行波法和分离变量法); ...3掌握能量积分估计; ...4掌握特征线与特征锥.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-283 / 101...1方程的导出、定解条件...2达郎贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-284 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.1........偏微分方程: 含有未知函数及其偏导数的方程 (描述自变量、未知函数及 其偏导数数之间的关系);PDE的解: 如存在函数具有方程所需要的各阶连续偏导数, 且将它代入方 程时能使方程成为恒等式, 则称该函数为方程的解;PDE的阶 (order): PDE所含有的未知函数最高阶偏导数的阶数.F(x,y,u(x,y),ux(x,y),uy(x,y)) = F(x,y,u,ux,uy) = 0F(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy) = 0齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-284 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.1........偏微分方程: 含有未知函数及其偏导数的方程 (描述自变量、未知函数及 其偏导数数之间的关系);PDE的解: 如存在函数具有方程所需要的各阶连续偏导数, 且将它代入方 程时能使方程成为恒等式, 则称该函数为方程的解;PDE的阶 (order): PDE所含有的未知函数最高阶偏导数的阶数.F(x,y,u(x,y),ux(x,y),uy(x,y)) = F(x,y,u,ux,uy) = 0F(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy) = 0齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-284 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.1........偏微分方程: 含有未知函数及其偏导数的方程 (描述自变量、未知函数及 其偏导数数之间的关系);PDE的解: 如存在函数具有方程所需要的各阶连续偏导数, 且将它代入方 程时能使方程成为恒等式, 则称该函数为方程的解;PDE的阶 (order): PDE所含有的未知函数最高阶偏导数的阶数.F(x,y,u(x,y),ux(x,y),uy(x,y)) = F(x,y,u,ux,uy) = 0F(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy) = 0齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-284 / 101什么是偏微分方程?1.ux+ uy= 0transport2.ux+ uuy= 0shock wave 3.utt− uxx+ u3= 0wave with interaction4.ut+ uux+ uxxx= 0dispersive wave 5.uxx+ uyy= 0Laplace’s equation 6.utt+ uxxxx= 0vibrating bar7.ut− iuxx= 0quantumn mechanics 8.(cosxy2)ux− y2uy= tan(x2+ y2)齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-285 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.2........如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的, 则称此方程是线性方程 (linear), 反之称为非线性方程 (nonlinear);如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总体来说是线性的, 则称它 为拟线性方程 (quasilinear);如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线行的, 则称它为完 全非线性方程 (fully nonlinear).如果方程包含有不含未知函数及其偏导数的项, 此方程称为非齐次方程 (nonhomogeneous), 反之称为齐次方程 (homogeneous);齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-286 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.2........如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的, 则称此方程是线性方程 (linear), 反之称为非线性方程 (nonlinear);如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总体来说是线性的, 则称它 为拟线性方程 (quasilinear);如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线行的, 则称它为完 全非线性方程 (fully nonlinear).如果方程包含有不含未知函数及其偏导数的项, 此方程称为非齐次方程 (nonhomogeneous), 反之称为齐次方程 (homogeneous);齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-286 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.2........如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的, 则称此方程是线性方程 (linear), 反之称为非线性方程 (nonlinear);如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总体来说是线性的, 则称它 为拟线性方程 (quasilinear);如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线行的, 则称它为完 全非线性方程 (fully nonlinear).如果方程包含有不含未知函数及其偏导数的项, 此方程称为非齐次方程 (nonhomogeneous), 反之称为齐次方程 (homogeneous);齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-286 / 101什么是偏微分方程?.Definition 1.2........如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的, 则称此方程是线性方程 (linear), 反之称为非线性方程 (nonlinear);如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总体来说是线性的, 则称它 为拟线性方程 (quasilinear);如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线行的, 则称它为完 全非线性方程 (fully nonlinear).如果方程包含有不含未知函数及其偏导数的项, 此方程称为非齐次方程 (nonhomogeneous), 反之称为齐次方程 (homogeneous);齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-286 / 101什么是偏微分方程?.Example 1.3........(1)uxy= 0;(2)aux+ buy= 0;(3)ux+ yuy= 0.解:(2) 如果引入向量 n = (a,b) = ai + bj,则aux+ buy= gradu · n =∂u ∂n= 0.故 u(x,y) 沿向量 n 必为常数. 因而 u(x,y) 仅依赖于 bx − ay, 即方程的 解为 u = f(bx − ay).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-287 / 101什么是偏微分方程?.Example 1.3........(1)uxy= 0;(2)aux+ buy= 0;(3)ux+ yuy= 0.解:(2) 如果引入向量 n = (a,b) = ai + bj,则aux+ buy= gradu · n =∂u ∂n= 0.故 u(x,y) 沿向量 n 必为常数. 因而 u(x,y) 仅依赖于 bx − ay, 即方程的 解为 u = f(bx − ay).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-287 / 101什么是偏微分方程?另解: 作变量代换ξ = ax + byη = bx − ay.根据复合函数链式求导法则, 得ux=∂u ∂ξ∂ξ ∂x+∂u ∂η∂η ∂x= auξ+ buη,uy=∂u ∂ξ∂ξ ∂y+∂u ∂η∂η ∂y= buξ− auη.故由 aux+ buy= (a2+ b2)uξ= 0 知 uξ= 0. 因而方程的解为 u = f(η) = f(bx − ay).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-288 / 101什么是偏微分方程?.练习........(1)4ux− 3uy= 0,u(0,y) = y3;(2)ux+ 2xy2uy= 0.(1)u(x,y) = (3x + 4y)3/64;(2)u(x,y) = f(x2+1 y).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-289 / 101什么是偏微分方程?.练习........(1)4ux− 3uy= 0,u(0,y) = y3;(2)ux+ 2xy2uy= 0.(1)u(x,y) = (3x + 4y)3/64;(2)u(x,y) = f(x2+1 y).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-289 / 101弦振动方程的导出d’Alembert, Jean Le Rond (1717-1783)法国数学家. 在力学、流体力学、偏微方面有基本贡献, 也是最早建议严 格化极限概念的数学家.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-2810 / 101弦振动方程的导出微元分析法: 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦, 其长为 l, 在外 力作用下在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的运动规律.弦是均匀的: 弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略, 因此可视为一根曲 线, 其线密度 ρ 是常数;弦在一平面内作微小横振动: 即弦的位置始终在一直线附近, 而弦上各点 均在同一平面内垂直与该直线的方向上微小振动;弦是柔软的, 它在形变时不抵抗弯曲. 弦上各点间的张力方向与弦的切线 方向一致, 而弦的伸长形变与张力关系服从Hooke定律. 另外, 跟张力相 比, 弦的重量完全可以略去.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-2811 / 101弦振动方程的导出微元分析法: 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦, 其长为 l, 在外 力作用下在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的运动规律.弦是均匀的: 弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略, 因此可视为一根曲 线, 其线密度 ρ 是常数;弦在一平面内作微小横振动: 即弦的位置始终在一直线附近, 而弦上各点 均在同一平面内垂直与该直线的方向上微小振动;弦是柔软的, 它在形变时不抵抗弯曲. 弦上各点间的张力方向与弦的切线 方向一致, 而弦的伸长形变与张力关系服从Hooke定律. 另外, 跟张力相 比, 弦的重量完全可以略去.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-2811 / 101弦振动方程的导出. . O. x. u. x. x + ∆x. T(x,t). α1. T(x + ∆x,t). α2根据牛顿第二定律, 首先讨论不受外力作用时弦振动的情形. 如图建立坐 标系, u(x,t) 表示弦上各点在 t 时刻沿垂直于 x 方向的位移.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-9-2812 / 101弦振动方程的导出在弦上任取一弦段 (x,x + ∆x), 其弧长为∆s =∫x+∆xx√1 +(∂u∂x)2 dx ≈∫x+∆xxdx = ∆x.(1.1)故由Hooke定律知, 弦上每一点所受张力与时间无关, 可将 x 点处的张力 T(x,t) 记为 T(x), 其方向总是沿着弦在 x 点处的切线方向. 小弦段水平方向 合力为零, 即 T(x + ∆x)cosα2− T(x)cosα1。