MMs排队模型答案解析.docx

§ 3 M/M/s排队模型一、单服务台模型（即M/M/1/x/g或M/M/1） 到达间隔：负指数（参数为九：到达率）分布； 服务时间：负指数（参数为卩：服务率）分布； 服务台数：1；系统容量：无限；排队长度（客源）：无限； 服务规则:FCFS.1.队长的分布设p = P{N = n} n = O，1，2，...为系统平稳后队长 nN的概率分布，则由九九 …九 -(1) C 二 n 1 n 2 0 , n = 1,2,...(累积服务率)n 卩卩…卩n n-1 1⑵p二1/(1+^ C ) (无客的概率)0 ! nn=1(3) p = C p , n = 1,2,... (有n 客的概率)n n 0及九=X , n = 0,1,2，…和卩=卩,n = 1,2，…,并记n np =—（服务强度，一般p < 1）可得'—)n—=pn, n = 1,2,...故有 Pn =P nPo, n = 1，2，...其中 P0 = 1/(1+艺 C ) = 1/(1+^P n )P nn =0-1r丄］ j-p丿-1=1 -p.因此 p = (1-P)pn,n = 0,1,2,....无客的概率：po = 1-p ,至少有一客的概率P 服务台处于忙的概率=繁忙程度（即服务强度）=服务机构的利用率如单位时间,九=2, R = 5,则 ，即40%在忙.2.几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数二平均排队长可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中，顾客在系统中逗留时间服从参数为的 负指数分布，即密度分布函数:f (t)二(卩—九)e-(—)t, t > 0. 分布函数：F(t) = P(T < t) = 1 — e-(口-九)t, t > 0. 于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间W = E[T]」;|LX 一 k(4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间T +服务时间V ,即qT = T + Vq故W = E(T ) + E(V) = W +丄，从而得q q 卩W = W -丄=-=pwq H 卩一九另外还可得到（时间与空间关系）：L二九W和L =九Wq q这两个常称为Little公式.各公式可记忆如下：九由九和卩T服务效率P =,从逗留时间W =―丄 T等待时间W =PWH —入 q队长L = XW —排队队长L = pL或L =1Wq q q还可导出关系W = W + —和 L = L + 九- q 卩 q 卩3.服务机构的忙期B和闲期I分析(1)因为忙期=至少一客的概率P，闲期=无客的概率1-P忙期时间长度/闲期时间长度=-^~1-P(2)因为忙闲交替，次数平均T平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=P1-P91=占⑶又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性 9任闲时刻起,下一客到达间隔仍为九负指数分布1 - 19平均闲期=下一客到达间隔一91 =九 九9平均忙期=B = -JP-11 -p九1p-九即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的.例1 一个铁路列车编组站,设待编列车到达时间 间隔负指数分布，平均到达率2列/h;编组时间服从 负指数分布，平均20min可编一组.已知编组站上 共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车 只能停在站外或前方站.求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数；(2) 每一列车的平均停留时间；(3)等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前 方站时，每列车的费用为a元/h,求每天由于列车在 站外等待而造成的损失.c c 九 2 1解这里九=2,卩=3,p= = < 1卩 3(1) 列车的平均数L = = 2(小时)1-P(2) 列车的平均逗留时间e L 2 AW = 一= = 1（小时）九 2等待编组的列车平均数r , ,24L = L —p= 2 -=〒（列）q 3 3等待编组时间2W = p W =—（小时）q 3记列车平均延误（2道满，不能进站）时间为W°,则W 二 W - P{N > 2}二 W - (1 - p - p - p )0 0 1 2=0.296(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用E = 24 九 W a = 24 x 2 x 0.296 x a = 14.2a （元）0例2某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达 过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间服从负指 数分布，平均需要6 min.试求：(1) 修理店空闲的概率；(2) 店内恰有3个顾客的概率；(3) 店内至少有1个顾客的概率；(4) 在店内的平均顾客数；(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间；(6) 等待服务的平均顾客数；(7) 每位顾客平均等待服务时间；⑻ 顾客在店内等待时间超过10min的概率.九 2解这里 九=4,卩=1/ 0.1 = 10, p= = < 1卩 5(1)修理店空闲的概率p 二 1 -p 二 1 -2/5 二0.6 0⑵ 店内恰有3个顾客的概率P3 = P3（1-P）七A1-二5丿（3 丫 匚 215丿=0.038(3) 店内至少有1个顾客的概率P{N > 1}二 1 - p 二 p 二 2/5 二 0.40(4) 在店内的平均顾客数T P 2/5 入"L = = = 0.67 (人)1 -p 1 - 2/5 '丿(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间W = — = 0.67 〜10(min) 九4(6) 等待服务的平均顾客数L = p L = 0.4 x 0.67 = 0.268(人) q(7) 每位顾客平均等待服务时间L 0.268W = —q = 沁 4（mm）q九 4⑻ 顾客在店内等待时间超过10min的概率.P{T > 10} = e-1°i _丄6-15=e-i = 0.3679.二、多服务台模型（即M/M/s/x/g或M/M/s） 到达间隔：负指数（参数为九：到达率）分布； 单台服务时间：负指数（参数为卩：服务率）分布; 服务台数:s;卩=卩=L =卩=卩1 2 s系统容量：无限； 排队长度（客源）：无限;服务规则:FCFS.数据分析设p = P{N = n} n = 0,1,2,...为系统平稳后队长nN的概率分布，则九=九,n = 0,1,2,...n和系统的服务率|np, n 二 1,2,3,..., sn [sp, n = s, s +1,...、 P 九 [记p = = ,则当P <1时，不至越排越长，s s sp s称p为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. s由前面的(1),(2)和(3)公式得（九 /y）n n = 123 sn!（九 / y） s （九'（九 / y） nI sy丿S!Sn-S芈 p , n = 1,2,3,..., s n!P n———p , n > s、s ! sn-s 0其中P ss !(1—P )s当n > s时，顾客要等待.记这个等待的概率为P sps!(1-p ) osc(s, p) = £ pn n - s 称为Erlang等待公式.(1)平均排队长(n - s) pnn - s+1p P s V1=—0 (n - s) P n-ss! sn-s+1n=1ss !(1—p )2或 l = C(£ip)p(2)正在接受服务的顾客的平均数s = S np + s 艺 pn=sn =0十 1 np n=乙 p +s pn=0n! o s!(1—p ) o=po pP s-1歹 1 P n-1Jn-1)! + (s- 1)!(1-p )n=l s=ps与s无关.奇!(3)平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾 客数二L +p .q对多台服务系统，仍有Little公式：W二卓二W-丄 q 九 卩例3考虑一个医院医院急诊的管理问题.根据统计 资料，急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数 分布，平均每0.5h来一个；医生处理一个病人的时 间也服从负指数分布，平均需要20min.该急诊室 已有一个医生，管理人员现考虑是否需要再增加一 个医生.解这是一个M/M/s/g模型，有九 2九二2,卩=3,p= =牙,s = 1,2卩 3由前面的公式，结果列表如下指标 車型 一 ・ s=1s=2空闲的概率p0 33305有1个病人的概率p,0.2220.333有2个病人的概率p0.1480.111平均病人数L20.75平均等待病人数T1.3330.083q病人平均逗留时间W10.375病人平均等待时间W0.6670.042q病人需要等待的概率P{T >0}0 667(=1 p )0 167(=1-p - p )等待时间超过0.5小时的概率P{Tq>0.5}0.4040.022等待时间超过1小时的概率P{T >1} 0.2450.003如果是一个医生值班，则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口，顾客的到达服从泊松过 程,平均到达率每分钟九=0.9人/min.服务（售票） 时间服从负指数分布，平均服务率卩=0.4人/min.现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型，其中s = 3,® = 2.25, p =P sA=225=1 < isp 3 4由公式可得:n!n-0(1)整个售票处空闲概率P0七乍+ s!(1 -P )spo _ 2.25o—2251—225^—2^ 1 _ 0.0748+ + +0!1! 2!3! 1 - 2.25/3⑵平均排队长L =q s!(1 -p )2sr 0.0748 x2.253 -3/43!(1/4)2L 二 二 1.70(人)q ~平均队长:L = L + 九 / p = 1.7 + 2.25 = 3.95 （人）q（3）平均等待时间L 1.70W =t = = 1.89 （min）q 九 0.9平均逗留时间W = W +1/r = 1.89 +1/0.4 = 4.39（分钟） q⑷顾客到达后必须等（即系统中顾客数已有3）的概 率c(3,2.25)二P s - p0 -s!(1—P )2.253 - 0.07483!-1/4二 0.57.在上例中，若顾客到达后在每个窗口前各排一队，且中途不换队，则M/M/3/g 3个M/M/1/g如下图所示(b).窗口1窗。