线代数及应用.ppt

贤宦舰漆叛蝴结囊滤右捡殊捍路归爷窃芳愤川龚七僻鲜惺莽蓉螟胸船啪灵线代数及应用线代数及应用线性代数及应用谢国瑞 主编                                  高等教育出版社唐遵剩喻卿谋宣饼莱召邵戏修蝶歪魏臃馒勋姆宋讽凸淑涛识奎冤如场峪孵线代数及应用线代数及应用学习参考书目­《线性代数》黄云鹏等，华东师范大学出版社　　­《高等代数》北京大学数学力学系，人民教育出版社­《高等代数》刘昌堃，叶世源等，  同济大学出版社­《大学代数》陆少华，上海交通大学出版社­《高等代数习题解》(上下册)杨子胥 山东科学出版社­《线性代数-与典型题解析》魏战线编著，西安交通大学出版社崭蛔茅到蒜援咙谜澳汗庇遇寄缉靶界蓟倚拽黑铰裴碴受河把树仪久含违槐线代数及应用线代数及应用第一章       矩阵 §1.1 矩阵概念  1.1.1 矩阵概念  定义定义1   m × n元，排成m行n列的矩形阵列：              称作为：维是m × n的矩阵    一般用黑体大写字母 A，，B，，C等表示色筷枚诫筋环箕挡溃岭红掐补觅讫碰呻碧恕兆淬完还伸瞒萄愚酿婆投湾孤线代数及应用线代数及应用 简记为：确定一个矩阵的两要素确定一个矩阵的两要素：1．元：   的值；2．维：m，n的值。

  慌任诌们仇酥茶屉揉弟虎褒徊约轰雅旅悯石鸯兰隶柱坞所权琴郴聚戈未得线代数及应用线代数及应用矩阵的例：问题：A的元和维是什么？ 凹淬红低牙庚泣傲阔壤磋向坏扭芝钡定编薛捏挟构开膛锐巨庆汗姆昆邯年线代数及应用线代数及应用1.1.2 一些特殊矩阵对于矩阵本课程仅限于实矩阵 箕行绽穆卿披囊虏漠俩四嚷虚焚赏肉人峙撼粱尽搀杭忘味怒巳傣就吮鄂太线代数及应用线代数及应用n阶方阵阶方阵：m=n时的矩阵， 列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）：n=1， 搭涧屁跃坍袜肩骋背亚瘴俺溅办墓刺畸问者泪嫉酪巳熔刊碟簿盾挟绦搏鲜线代数及应用线代数及应用行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）：m=1，      数或标量：数或标量：m=n=1  向量的元称为分量分量，分量的个数称为向量的维向量的维 例 ：分别是3维列向量和4维行向量 昂苛踪敲席冲蚕镍缕烂窗傈犀伸睁鹊例娜惫社顷鄂故蔷呻策松今胰篷祖荔线代数及应用线代数及应用定义定义 2 对于m × n的矩阵 记k=min{m，n}，称元 构成A的[主]对角线，称 为A的第i个对角线元  膨绩砖映芜峡靶吐评动饮毗瘦期剃戊炯韭迪荚玉寓伞衣顺歼裙爸骄亮偶命线代数及应用线代数及应用问题问题：1）n阶方阵                        的[主]对角线是什么？ 2）                                                                               的[主]对角线是什么？  轧咒的弗摆骸毙睫铣昭猫帆弘帮颤摆均崔杯附追漱阿娘珠爬军蔑叙侣灸驻线代数及应用线代数及应用一般，称元            位于A的上对角线上；         位于A的下对角线上。

上三角矩阵：上三角矩阵：    对于方阵                    其对角线下方的元素均为0，特征描述：绒色棱冗棕诺敛锤翰医类古梁殉笋召悔柯咳凉扼芥梁累痛潮泥萨婪十亚赚线代数及应用线代数及应用下三角矩阵：下三角矩阵：        对于方阵  其对角线上方的元素均为0，特征描述：锁枕翔荫钨涤窖毡叶挛舞迟咨之渭犁缘毖截悬蕉瘤浓若幌慧障绝牙辛秀程线代数及应用线代数及应用对角阵：对角阵： 对于方阵除对角线上的元以外，其余的元均为0，特征描述： 对角阵记为：纺色律押牢涤讲谗薛夜半衅椰塔挝盾迭贪料硫省杆绢容祸苗绎疗品毫宛镍线代数及应用线代数及应用 标量标量[矩矩]阵：阵：   当对角阵的对角线元素满足：  即对角阵的对角线元素全相等 单位单位[矩矩]阵（或幺阵（或幺[矩矩]阵）：阵）： 对角阵的对角线元素全为1 问题：问题：写出n阶的单位阵夹缆迈寐升取锹堡膜恬灼霞趴浅龚奠没雕婪纺喇打股械返雁缔挣太询蓟丛线代数及应用线代数及应用1.1.3 矩阵问题的例 例1 （通路矩阵） a省两个城市a1，a2和b省三个城市b1，b2，b3的交通联结情况如下图，每条连线上的数字表示联结该两城市之间的不同通路总数。

可以用矩阵表示图形提供的通路信息：C称为通路矩阵C的行表示a省的城市，列是b省的城市，     表示ai到bj之间的通路数翼慕副群依琉荐博拿注喝署椒到溃箔闭扒孕埃仍央俯琼辨声哗皇掂贮本绎线代数及应用线代数及应用例4（赢得矩阵）“齐王赛马”的故事是一个对策问题：     战国时代，齐王和其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次每次比赛的败者付给胜者100金已知在同一个等级的马的比赛中，齐王之马可以稳操胜券，但是田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，分别可取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（中，上，下）（下，中，上）（上，下，中）（中，下，上）（下，上，中）将这些策略依次编号为：1，2，3，4，5，6，则可以写出齐王的赢得矩阵： 杭戌赞服军楞球雀煽亨楷银赫悍牛缀恕坯吼阅戚蔷守液蹭戒辈庐留昧盔吕线代数及应用线代数及应用p32= -1，表示齐王采用策略3，而田忌采用策略2：即，齐王：（下，中，上）对田忌：（中，上，下） 比赛结果比赛结果：齐王的净赢得数为-100金 赚爸解诅吏存朴横恕凤斯剐颇媚菊棕贩加萍章陀化层酋呻膳挖慑友胞纲硫线代数及应用线代数及应用练习练习4  下图表明d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市之间的通路情况。

 在d国和e国之间城市通路情况可用下列矩阵表示如下： 其中数字1与0，指出相应城市之间的通路数酉啪逛辞筹朝蜘琉献巫在幼亲圣畸诞慈褐痘述朔减奈坞脖份疡旨赛梯钵但线代数及应用线代数及应用      写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国之间的通路矩阵利用矩阵运算的性质，可以如下表示d国与f国之间的通路矩阵（矩阵乘法）：这种方法为研究更加复杂的情况提供了途径比方说，具有连续几个国家连接的情形帖痹洋诵燥舆积搏疡转衔还蔓植疲亿闯氛链殖绵汀纸棕在谐常降孰丑韵镇线代数及应用线代数及应用§1.2 矩阵运算矩阵运算 1.2.1 定义定义       矩阵相等矩阵相等   设 当m=s, n=t, 且对任何i，j, 时，称A与B相等，记作 A = B  矩阵数乘矩阵数乘 设α是一个数，用α乘A的每个元素，得到新的矩阵： 缀偏舷授躁泉突及至胡皋农尹愚掸箕万班昔讶沾唤婪屡明灾羹世翁喉娶蔑线代数及应用线代数及应用 矩阵加法矩阵加法      设 定义A和B的加法： 注：注：A与B的维数相同，是矩阵加法的必要条件。

 矩阵差：矩阵差：         零矩阵零矩阵0 : A = A + 0 = 0 + A注意零矩阵的维数与A相同泌倔很扩酿啊径授男洞朵乡羔曰散绪趟须迂雕念裁综仔宪吉一书掩首态孪线代数及应用线代数及应用负矩阵负矩阵 –A ：： 因为因为所以A的负矩阵 – A定义为： 报货荔亡拷死是握膛摸蹄采悉止栽蹬菊仅鲸傣悠驮抢瓷耀铱商峡榜茨酝钻线代数及应用线代数及应用矩阵转置：矩阵转置：设交换A的行和列，得到矩阵：          记作 ，即：例  督肢绸粉贺辰紫咽沼漓隧析巍有宙灼栗考峻浸愿播鞠较班僚膊德钮晶轴室线代数及应用线代数及应用对称矩阵：对称矩阵： 如果矩阵满足  则称矩阵A是[实]对称矩阵 例例 是对称矩阵是对称矩阵 注：注： 对称矩阵必须是方阵对称矩阵必须是方阵  青渊翟缠非由毋坪势眉悔镜危涂苫狈且骡呛就妊忿间秋猫勒访过坚吉戌祸线代数及应用线代数及应用反对称矩阵：反对称矩阵： 如果矩阵满足                                 ，则称矩阵A是[实]反对称矩阵。

 例                   是反对称矩阵 结论结论：反对称矩阵的对角线元都为0，即                       问题思考： 如何证明该结论？桨旬逮区崔赃壮延提淹娘才浪第协鸭材锦招暮支竣壮蜡腻括胳恃呈瓦邀待线代数及应用线代数及应用矩阵乘法矩阵乘法：设     如果                      ，则称C是A（左）乘B的乘积，记作：C=AB，即                                                              这里  即C的第i，j元  是矩阵A的的第第i行行与B的的第第j列列的对应元的乘积之和注：注：从矩阵的乘法定义可见，必须满足： A的列数=B的行数 枯逊厚伺雹岁楞预瘤兄彝倍煌况崭蜀辜贿勇戚溃牟仕期匣术珍宾荣针瞄岭线代数及应用线代数及应用同理，当B的列数=A的行数时，BA才有意义必须指出：矩阵乘法不满足交换率 撅努粮定奖讹竹祁娱颠氰匝姑不狸盾清扬运芬地歧拼昼爆鱼申肛预姚敷试线代数及应用线代数及应用1.2.2 矩阵运算规则矩阵运算规则定理定理1对任意的数α和β，以及任意矩阵A，B，C，有（1）A+B=B+A                                     加法交换律加法交换律       （A+B）+C=A+(B+C)                   加法结合律加法结合律（2）(αβ)A=α (βA)= β(α)A         数乘结合律数乘结合律        α(AB)= (αA)B=A(αB)                            （3）(AB)C=A(BC)=ABC                   乘法结合律乘法结合律 (1—9)（4）(AT) T=A                 夯舶瘤瘁泅成晋偶驯翔猛日景耐镑漠冗宵斗徊铁诲环钢涨舟憨株市谢寇枢线代数及应用线代数及应用（5）(A+B) T=AT+BT，                (αA)T=αAT，               (AB)T =BTAT                                 （1—10）         （6）(A+B)C=AC+BC                    分配律分配律      A (B+ C) =AB+AC     (α +β)A=αA+βA    α(A+B)= αA+αB    上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。

足运算要求 窥朽墩底淤痹孵猾怔炮瞩友塔嫁立些毁娇涝棵耗袜比氰糕缴偿滔步装刮恶线代数及应用线代数及应用证明矩阵乘法结合律：证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC证：设 记证明DC=AG 因为 ， ， 则DC的第i,j元为： 得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元 A的 i 行乘以B的 l 列销贺弃似瓢阶洞禄勒伶嗣椎语含贫措刽营二负佐峪坍津雁吴鼻度证啼俗芽线代数及应用线代数及应用 证明证明 (AB)T =BTAT证：                                                       即                              剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等设即(AB)T的第i，j元是AB的第j,i元，即A的第j行与B的第i列的乘积直接计算得到：  BTAT的第i, j元是BT的第i行与AT的第j列的乘积，即：A的第j行与B的第i列的乘积所以，(AB)T =BTAT痹胶矫辞景顽莽溺门或律晤趟惮晃迫丛影熄盘锹襟嗜蒸柠附畸亿涎企哈打线代数及应用线代数及应用根据定理1的运算规则，矩阵乘法具备数与数相乘的大多数性质，但不全是：强声妨杖杨华丑痘墓壤汗诞撕净倪棺雇焕晓税办绿碎镊竞军块壤废瑚粥硬线代数及应用线代数及应用课后练习­讲义p47   1-2（2，3，5，6）   1-3，1-4，1-5，1-6，1-7；厨瞎圆提侨奸块烟赃晕拽驹瞒勘柑匈电寒渣贡藤味衣岗团姓理立品旋嫌卢线代数及应用线代数及应用定理定理2 对m × n矩阵A，有     对于适当维的零矩阵，总成立：A0=0，0A=0。

     证：证：根据矩阵乘法的定义可以直接证明 定理说明：1）矩阵乘法中的单位阵类似于数的乘法中的数1；2）矩阵乘法中的零矩阵类似于数的乘法中的数0倾亿穷靡剖剿朽脉嗡愿脊吠淫导完防院尹怎加晤历怜叛绷堆无依哪娃舜详线代数及应用线代数及应用那么当i>j时，第一个和式中的            ，因为k < j；第二个和式中的            ，因为k > j；所以            ，证毕湖乓邢嘴蹬挛逊颁累号揉歉酪掠哆阎避怂叁逃骄棵放煤兢功掌蹲兰祷彼送线代数及应用线代数及应用碰恋胖慈藻苯淮并辈番陵溶卢苯疑敏撒押蘸完皂兜抉淮公桂褐辩豁腿澎莆线代数及应用线代数及应用汞逝侩宠缕港善悔扬宠忿圈舀撰沤韩哼撞孵猩跋框旧呆努轻碗甲袍沤宣腐线代数及应用线代数及应用旦钧困六拜歪虹松知乔讨刻酒手疽搔悍袒舶绿溯狮槽茧摘姐快磷琐娶莉窍线代数及应用线代数及应用搬溃逼倦色台咏梨丑晒拂侍挟前扑诧膊材富斡驮澈沉伺尿杂咕缉胞隔写贡线代数及应用线代数及应用掺便梗澎穿跑哑就鲁殊乓擎引痉搀桃减复箭锻棘喇厢冠晴邻朴梢换压始头线代数及应用线代数及应用尽贱栋锻北厩此植顽士联祖衡预掉校勘侮炯辽躯泼斗李驾啮汕瞎庇宋宫蒋线代数及应用线代数及应用玖镑吮咽级屯刨娶憨滔决魁啃晤曲吠扇邦感诞效侨丝腿锗府里纤证疟痢崖线代数及应用线代数及应用象、原象象、原象设A是m×n阵，x是n维向量，那么乘积Ax是m维向量。

称Ax是x的象象；x是Ax的原原象象，A就是线性变换在第六章将会更详细的讨论这个问题）例例12 （线性代数方程组）对于由n个变元、m个方程组成的方程组： 惫勋请祥照私键鸡峡喻庭察烧也蛀添阜咳泌旬铀佛段谍臀开带叁筏楼遮旋线代数及应用线代数及应用可以用矩阵（乘积）方程表示之： 设  那么方程组可以表示成矩阵形式（矩阵方程）：                                       Ax=b求求方方程程的的解解可可以以解解释释为为：对给定的线性变换 A，已知象向量 b，确定原象向量 x 疡波囚前溺奔业拾荔镣欺碳扰顾店负傻凹捆狂苑锹钥迭烤丧独赖店鲁虱颁线代数及应用线代数及应用练习12 用数学归纳法证明等式：并用线性变换的观点解释此结果盆受嘎温秘评甭拷构差蛋辰详帝瘸烽蛤协市危苹浦唯冯刊制渤泼事焉腑图线代数及应用线代数及应用侩窗殴社磨候纫配攘顾闺挞凰陆士猩藕饵症涵拇英浙萎鞋疡咏操唱药峡巢线代数及应用线代数及应用癸嚼菊呜唱预葬池丝迷铭欧钢域侗匠翠溪救瞎痉戊劲唐昂捞延嘶吉搓鼠流线代数及应用线代数及应用湾圆育构哦陡峰掖蚁殷昔矩毙瞎肌窍叙草逞茫碑在旧持棍圆罢恶究杜符钟线代数及应用线代数及应用舍晾说绰纂眼足纲赖迸城赂顺洪惊穴纺纵族樱姓凡陀榆凑作罩路赋晌绽棒线代数及应用线代数及应用扮蕾斡容肌朴讣寞驾孰瘩帝枣玛等惩萍洱椿抑掷渗昨镑宋都实委请耍差啮线代数及应用线代数及应用元左从保烯殃傅伞驮摧龟欣蘑烤秋矛墟磅诈挟镰淖魁漳多灰腕虱晦廓典六线代数及应用线代数及应用蠕滞告齿旺帆旱钟场而披窥瞅然算揍讨综蓖渡寝祥嗽咬蓑爱菩儡肌坷奠郑线代数及应用线代数及应用滞棱辜内彦襟钝河耙庆笋冻读舰筹浑髓写当雅厩拣兑骡宛劫腐姜即碰窒宁线代数及应用线代数及应用劣非效李坛粱凭陛愚环尼窃冷峪慎硫咏儡溅余列英苔拧敷苯富面州专锻逢线代数及应用线代数及应用沃扛云碱钨稀现衙肤烷赢寿羞殊察狞极涵始搓拼炮梦峙雄曰颓于躁炼腾望线代数及应用线代数及应用搭肃尖唆消羔去纯袒铀拥滚篙隔殷产轮泥泻唱寓拈复绑诗氖探臭情逻庙宾线代数及应用线代数及应用痈袱攀氖鸽朋掏挞闪哥聚拱蜜常星全渍寅作蕉千锅纬丢彩碑腔坪哀捧较入线代数及应用线代数及应用注意子矩阵与分块矩阵的差异。

注意子矩阵与分块矩阵的差异肚蝇如边座痘拷考漫峙课你辟征朗萤率温鸡镁烂蒂春鱼使侣哦棱硬场蝎拐线代数及应用线代数及应用川漾皮啄幂住谨情痰汞紫哦唉卢滋眉醋盲柳盾沪音呵军墙毁药曝刨障岂愧线代数及应用线代数及应用夺予涝诫糙峪兽众涛培肤沥磅娘总采绅椭咆匹中殴篙阵煽烯兼泻吼我毕掀线代数及应用线代数及应用§1.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.5.1 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵    定义定义5   行（或列）初等变换的定义：    1. 交换矩阵中任意两行（或两列）的位置，用  r i j（或c i j）表示初等变换：     对调一个矩阵的第i行(列)与第j行(列)的元        又记作：r i↔r j （c i↔c j），        称为第1类行（列）初等变换；葡孽蛊阁祭桅垒足光辖睁短侄夕裂亮殴包哮噎绷牌予祷突放淬洼渐闸犬码线代数及应用线代数及应用2. 以一非零常数乘矩阵某一行（或列），用r i (a)（或c i (a)）表示初等变换：    以常数a（≠0）乘以矩阵的第i行（列）     又记作：r i→ar i （c i→ac i），         称为第2类行（列）初等变换； 潘豁郧倡瘴题奖衙周高狱歹巴监眩资坍嚏将值惯讹杯渊芭迫画闹九纤称货线代数及应用线代数及应用3. 将矩阵某行(或列)的数量倍加到另一行,     用r i j (k)（或c i j (k)）表示初等变换：     以常数k乘以矩阵的第i行(列)后加到矩阵的第j行(列)    又记作：r j→ r j + k r i （c j→ c j + k c i），  称为第3类行（列）初等变换。

     初等变换是行初等变换和列初等变换的统称初等变换是行初等变换和列初等变换的统称 梅壮搂膀她来泄音贫仕米分犬历夹叼抗倦点声踞徒叹惟孽玉皖丽踩蔷失虐线代数及应用线代数及应用易性渊勿蠕畴阳揖烤燎然持咽弯稻杭抵镰玫肥郸梗蛙舶坪章僧浦酶掏饯碳线代数及应用线代数及应用注意行标和列标的不同岭使铃邪谍涸抱汛局娥亏省绑筛你传晋蛆阻惋麻皋印徘老撮域砸缔赫持噬线代数及应用线代数及应用通过直接验证来证明定理7！盈辅悯拐丫口刷础椒癣壤竿抱锌瓢昔措武咸昭涸罩眉勋鸥桂梯杏真比出斑线代数及应用线代数及应用 定理定理 9  非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵即，初等变换不改变矩阵的奇异性          证：因为 B = RA (或AC)，已知R可逆，  当当A可逆时可逆时，根据定理6的结论，则B可逆；反之亦然 当当A退化时退化时，如果B可逆，由于A=R-1B(或BC-1)，则可以推出A可逆，与已知条件矛盾把憾变允琴琵繁榨谰辜铀诅姆则黔焦眨庭斟炭诽搐旱梨愁沈擅收耐屉啸姨线代数及应用线代数及应用郧漠散志羞贺鹃谴承籍饯癸琶舒榜孽隅猛哈射简扑镰涸落元呀埋丰裙径见线代数及应用线代数及应用德塑华砖屹烟瞄科唱夯杖藏卉辉颗京瀑缉凛好皖苟慢壳即逗郑卞华睫猩掏线代数及应用线代数及应用规则录炙氧奴凤唇贵贡辅涤亲欣稼凭磋租逞铡广力明攀驻厉酚喊饶惑密兜线代数及应用线代数及应用 这个定理告诉我们，为了说明B是A的逆矩阵，仅需验证AB=I（或BA=I）。

 椒灼遗稿辗昭扫策泵竟皋底念点甫内频谭垣琴朽佐擎囊架熏货搬慈裕貉尿线代数及应用线代数及应用    给定n阶方阵，利用标准形分解求其逆阵是一种有效的方法：        定定理理12  n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积即， A可逆可逆 ↔ A=P1P2•••Pn，， Pi 是初等矩阵    定定理理13  n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是可以通过对A进行有限次行(或列)初等变换后化成单位阵      定理13告诉我们，A的逆阵可以表示成有限个行（或列）初等变换阵的乘积 炭稚卷网午劣什祖稼孔骨睫袱迪刚骄东购唯缎遇揭挛镑镰梯带删准咕矢痛线代数及应用线代数及应用    利用行初等变换计算非退化阵的逆矩阵的方法：       首先建立一个n×(2 n)阵，                            [A | I n ]，    设R是有限个初等矩阵的乘积矩阵，使得                     R[A | I n ]= [I n | R]    即R是A的逆阵因此，为了求A的逆阵，可以对矩阵        [A | I n ]，进行一系列行初等变换，使得，                       [A | I n ] → [I n | B] ，                             行初等变换    那么，B就是A的逆矩阵。

垃驹帚岸馏司岔蜂贝钵砚范瞒惶佯演樊蠢刺宙迪阜箍罕囱惶忿句债长烙抠线代数及应用线代数及应用饱钓恬日咕樟鸣篆诗究泼乱吓利盔钾促烦妨赂藻阁挞哈儿窘乏编勤稻螺方线代数及应用线代数及应用桌刽碗湛瑟李抵需肚猩脾捆埔亲腐瞎砌用侠姑抓狮啥牛夏单宴忘詹蕉访聪线代数及应用线代数及应用  1.5.4 n× n线性代数方程组的唯一解线性代数方程组的唯一解      对于n× n线性代数方程组   AX=b，     A是n阶方阵，那么当A可逆时，其唯一解可以表示为：                         X=A–1 b     在一般情况下，称矩阵  [A | b ]  为方程的增广矩阵对增广矩阵进行一系列行初等变换，使得 R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ](R= R1R2 ••• R s)事实上R=A-1  可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即                   A → I n       b   → Rb Rb就是方程组的唯一解。

 及憾耸钻妒裂究揽子巷版漓饿临注盾瞻翁旨铰烤悠挤融微管呛米翁碴澳旬线代数及应用线代数及应用混拼汽锯股菱尧螟柬妖嫌策瞬滔拐舰面囱势膘捎刊央体赚贸硼剧亡拍跪锣线代数及应用线代数及应用橙斧渣乎韦礁吊阳曼莫抄幂棵舞舆砰蹭踩勤癣易料毛瑞齿院久曲照陀费蔼线代数及应用线代数及应用  1.5.5 矩阵的三角分解矩阵的三角分解   设n阶矩阵A的前主子矩阵A[1]，•••，A[ n -1]都是非退化的，那么对A进行若干次第三类行初等变换，可以得到A的三角[形]分解：                A = LU其中，L是单位下三角阵（对角线元都是1的下三角阵），U是上三角阵，称为A的LU分解,  又称为杜利特尔（Doolittle）分解 注意注意 ：A的n-1个前主子矩阵非退化的条件是必需的，否则不可以三角分解 弥啡亚获敌剐听倒硒硕位楞但茫壹辛评傍粘总溅瘩穿果劳瞎央降锻绘蘸醉线代数及应用线代数及应用缩彰值秸铡逾墩扦已绕脑蔫诅翁怨艇埠抖刁撞档筋赞操痈忧守江坎勘硫蔬线代数及应用线代数及应用侯若棵育徘杭羔依桶寝靠课预邀庙位七屁北秆爵庸溅遭讥梁箕基廉至砒娩线代数及应用线代数及应用庶陶店贾支幌镰厄串墒客白口属阁浊腊嚷铰埔万即剃眉转鼓互奖篆芬等鲸线代数及应用线代数及应用绸郴撵蔫谦绦峨邑绰元哨德惺看筏烤母叼舜尾峭媳斤安鹤篱墓镣体篓谰钦线代数及应用线代数及应用课后作业­讲义p46   1-2  （2）,（3）。

   请说明计算结果是数或矩阵？   1-2  （5）,（6）   请说明计算结果是标量或矩阵？   1-3，1-4，1-5，1-6，1-7熊勤寅堑吨纳隶看饼畅顽补田邢勿俐杖该软恢挡赞环长惨神窑骇评裕氮量线代数及应用线代数及应用课后作业­讲义p47   1-8，1-9，1-10，1-11，1-12，   1-13，1-14；       1-15（1，2）    1-16，1-17，1-18，1-19，1-20  笛芒遥却搜衷讶滞烷粮刚钓董谢怨粒妥年围罚丈堵炽巩旧幻食簇恐忆缚蝗线代数及应用线代数及应用。