平面直角坐标系中的距离公式和中点公式.ppt

圆直线直线圆8.1.2 平面直角坐标系中的平面直角坐标系中的 距离公式和中点公式距离公式和中点公式 一般地，如果一般地，如果 A(x1)，，B(x2) ，则这两点的距离公式为，则这两点的距离公式为1.数轴上的距离公式数轴上的距离公式|AB|＝＝|x2－－x1|．　．　2.数轴上的中点公式数轴上的中点公式 　　一般地，在数轴上，　　一般地，在数轴上，A(x1)，，B(x2) 的中点坐标的中点坐标 x 　　满足关系式满足关系式x=xyBACA1A2B2B1O　　过　　过 A，，B 分别向分别向 x 轴作垂线轴作垂线AA1，，BB1，垂足分别为，垂足分别为 A1，，B1 ；； 如图所示．设如图所示．设 A(x1，，y1)，，B(x2，，y2) ．　．　　　过　　过 A，，B 分别向分别向 y 轴作垂线轴作垂线AA2，，BB2，垂足分别为，垂足分别为 A2，，B2 ；；　　其中直线　　其中直线 BB1 和和 AA2 相交于相交于 点点 C ．．xyBACA1A2B2B1O（（2））|AC| 与与 |A1B1| 关系如何？关系如何？　　　　 如何求如何求 |A1B1| ？？ （（1）以上四个垂足）以上四个垂足 A1，，B1，，A2，，B2 　　　　 的坐标分别是多少？的坐标分别是多少？（（5）你能表示出）你能表示出 |AB| 吗？吗？ （（3））|BC| 等于多少？等于多少？ （（4）在直角三角形中，如何求）在直角三角形中，如何求 |AB| ？？ 如图所示．设如图所示．设 A(x1，，y1)，，B(x2，，y2) ．．平面上两点间的距离公式平面上两点间的距离公式 A(x2 ，，y2)xyB(x2，，y2)O设点设点 A(x1，，y1)，，B(x2，，y2) ，则，则 因为因为　　x1＝＝2，，x2＝－＝－2，，y1＝－＝－4，，y2＝＝3，， 例例1　已知　已知 A(2，－，－4)，，B(－－2，，3) ，求，求 |AB| ．． 因此因此所以所以　　 dx＝＝x2－－x1＝－＝－2－－2＝－＝－4，， 　　dy＝＝y2－－y1＝＝3－－(－－4)＝＝7．．解：解：求两点之间的距离：求两点之间的距离：　（　（1））A（（6，，2），），B（－（－2，，5）；）；　（　（2））C（（2，－，－4），），D（（7，，2）．）． xyBAA1A2B2B1O　　过　　过 A，，B，，M 分别向分别向 x 轴作垂线轴作垂线AA1，，BB1，， MM1，垂足分别为，垂足分别为 A1，，B1 ，，M1 ；；如图所示．设如图所示．设 M(x，，y) 是是 A(x1，，y1) ，，B(x2，，y2) 的中点．的中点．　　过　　过 A，，B，，M 分别向分别向 y 轴作垂线轴作垂线 AA2，，BB2，， MM2，垂足分别为，垂足分别为A2，， B2 ，，M2 ．．MM1M2xyBAA1A2B2B1OMM1M2如图所示．设如图所示．设 M(x，，y) 是是 A(x1，，y1)，，B(x2，，y2) 的中点．的中点． （（4）你能写出点）你能写出点 M 的坐标吗？的坐标吗？ （（1）你能说出垂足）你能说出垂足A1，，A2，，B1，，B2，，M1，，M2的坐标吗？的坐标吗？（（2）点）点M是是AB中点，中点，M1是是A1，，B1的的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（（3））M2是是A2，，B2的中点吗？它们的的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？坐标有怎样的关系？　　在坐标平面内，两点　　在坐标平面内，两点 A(x1，，y1)，，B(x2，，y2)的中点的中点 M(x，，y) 的坐标之间满足：的坐标之间满足：中点公式中点公式 例例2　求证：任意一点　求证：任意一点 P(x，，y) 与点与点 P  (－－x，－，－y) 　　　　 关于坐标原点成中心对称．关于坐标原点成中心对称．证明证明 设设 P 与与P  的对称中心为的对称中心为(x0，，y0)，则，则 所以坐标原点为所以坐标原点为 P 与与 P  的对称中心．的对称中心． 求下列各点关于坐标原点的对称点：求下列各点关于坐标原点的对称点：A(2，，3)，，B(－－3，，5)，，C(－－2，－，－4)，，D(3，－，－5)．．例例3　已知坐标平面内的任意一点　已知坐标平面内的任意一点 P(a，，b)，，　　　　 分别求它关于分别求它关于 x 轴的对称点轴的对称点 P ，，　　　　 关于关于 y 轴的对称点轴的对称点 P  的坐标．的坐标．xyP(a，，b)OP P M（（1）如果点）如果点 P 与与P  关于关于 x 轴轴对称，对称，PP 与与 x 轴垂直吗？轴垂直吗？P  的横坐标是多少的横坐标是多少 ?（（2））PP 与与 x 轴的交点轴的交点 M 是是线段线段 PP  的中点吗？的中点吗？点点 M 的的纵坐标是多少？纵坐标是多少？（（3）你能求出）你能求出P  的纵坐标的纵坐标吗？怎么求的？吗？怎么求的？（（4）由以上分析，点）由以上分析，点P  的的坐标是多少？坐标是多少？（（5）你能求出）你能求出P  的坐标吗的坐标吗？？ 求下列各点关于求下列各点关于 x 轴和轴和 y 轴的对称点的坐标：轴的对称点的坐标：A(2，，3)，，B(－－3，，5),C(－－2，－，－4)，，D(3，－，－5)．．例例4　已知平行四边形　已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的三个顶点 A(－－3，，0)，， 　　　　 B(2，－，－2)，，C(5，，2)，求顶点，求顶点 D 的坐标．的坐标． 所以顶点所以顶点 D 的坐标为的坐标为 (0，，4) ．．解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 　　所以它们的坐标也相同．　　所以它们的坐标也相同．　　设点　　设点 D 的坐标为的坐标为 (x，，y) ，则，则解得解得 已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的三个顶点 A(0，，0)，，B(2，－，－4)，，C(6，，2)，，求顶点求顶点 D 的坐标．的坐标． 。