信号与系统第2章连续信号的时域分析.ppt

1,第2章 连续信号的时域分析,所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都 用以时间 t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示 本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算在此基础上，介绍信号的分解这些分解方法是对系统进行时域、频域和复频域分析的基础此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法2,2.1 基本的连续信号,,2.1.1 正弦信号 对于信号幅度随时间按正弦或余弦规律变化的信号，可分别用正弦函数和余弦函数来描述，它们在相位上相差 π /2，统称为正弦信号连续时间正弦信号的时间函数表达式为 式中，A，ω 和 φ 分别为信号的幅度、角频率和初始相位其时间波形如图 2.1.1所示3,,图 2.1.1 正弦信号,4,,图 2.1.2 实指数信号的时间波形,2.1.2 实指数信号 实指数信号的时间函数表达式为,5,,2.1.3 复指数信号 复指数信号的一般函数表达式为 ①如果 s位于复平面的实轴上，此时 ω =0，s= σ 为实数，则 f（t）的表达式为实指数函数，表示上述实指数信号。

②如果 s位于复平面的虚轴上，此时 σ =0，s=jω由式（2.1.4）得,6,,图 2.1.3 复简谐信号的实部和虚部,7,,③如果 s既不在实轴上，也不在虚轴上，即 σ 和 ω 都不为零，则 s为复数 此外需要说明的是，在式（2.1.1）中，若正弦信号的角频率 ω 和初始相位 φ 都为零，则得 这是一个直流信号因此，直流信号可视为频率为零的正弦信号而在式（2.1.4）中，若设角 频率 ω 为零，也能得到式（2.1.6），因此也可将直流信号视为频率为零的复简谐信号8,,2.1.4 门信号 门信号又称为单脉冲信号，其函数表达式为 式中，A为门信号的幅度；τ 为脉冲的宽度，即脉冲持续的时间在此时间范围内，信号幅度恒定为 A，而在其余时间范围内，信号幅度恒定为零门信号的波形如图 2.1.5所示9,,10,,图 2.1.4 复指数信号的实部,11,,2.1.5 抽样函数信号 抽样函数信号又称为 Sa函数信号，其定义为 波形如图 2.1.6所示 由图可见，抽样函数信号在 t=0时幅度等于最大值 1，之后，幅度随 |t|的增加而逐渐振荡衰减，并且在 t=kπ（k为非零的整数）时，信号幅度都为零。

此外，抽样函数为偶函数与抽样函数信号相类似的，还有所谓的辛格信号，其定义为,12,,图 2.1.6 抽样函数信号,13,,从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合，如加减乘除、翻转平移和尺度变换、微积分运算等这里就介绍常用的几种基本运算 2.2.1 加减乘运算 信号的加减乘运算就是将参加运算的各信号在任意时刻的幅度进行加减乘，以得到一个新的信号如果已知信号的时间函数表达式，则只需对函数表达式进行运算和化简，即可得到相应信号的函数表达式2.2 信号的基本运算,14,图 2.2.1 信号的加减乘运算,15,,2.2.2 平移、翻转和伸缩变换 这几种运算都是将信号对自变量时间进行变换，或者将信号的波形沿时间轴进行变换平移变换又称为时移运算，指的是将信号的波形沿横轴向左或向右移动指定的时间间隔t0在信号的时间函数表达式中，就是将自变量 t替换为 t± t0如果假设 t0 为正实数，则取“ +”号表示向左平移，取“ -”号代表向右平移显然，将一个信号向左平移，表示将该信号提前；反之，将信号右移就是将该信号推后或者延迟16,,图 2.2.2 信号的翻转、平移和伸缩变换,17,,2.2.3 微分和积分运算 这两种运算用于将连续信号求导数和积分后以得到一个新的信号。

对信号 f（t）求 i阶微分，表示为 如果已知信号的时间函数表达式，可以用数学中对函数求导和求积分的方法和规则进行信号的求导和求积分运算如果已知信号的波形图，在很多情况下，根据求导和求积分的几何意义，对信号的波形图进行运算，可以直接分析得到相应的运算结果波形图18,,图 2.2.6 信号的微分,19,,图 2.2.7 信号的积分,20,,前面介绍的典型信号都可以用普通的数学函数进行描述在信号与系统的分析中，还广泛用到两个特殊的信号，即阶跃信号和冲激信号这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用 2.3.1 单位阶跃信号 单位阶跃信号的表达式为,2.3 阶跃信号和冲激信号,21,,图 2.3.1 单位阶跃信号,由图 2.3.1可知，在 t0时，信号的幅度变为 1；在 t=0时信号幅度发生跳变，跳变的高度为1在 t=0时，信号幅度没有定义，对应有一个间断点22,,单位阶跃信号的一个重要作用就是用于表示任意一个因果信号例如，将正弦信号乘以单位阶跃信号，得到因果正弦信号为 当 t0时，信号的幅度按正弦信号的规律变化同样，将实 指数信号与单位阶跃信号相乘，得,23,图 2.3.2 因果正弦信号和单边指数信号,在信号和系统分析中，单位阶跃信号的另外一个重要作用是用于列写分段信号的解析表达式。

例如，门信号的波形共分为 3段，其中有两段恒为零，而另外一段恒为 1，其解析表达式可以表示为,24,,2.3.2 单位冲激信号 单位冲激信号是对集中于一个瞬间时刻出现的物理量的理想描述其严密的数学定义和性质需要用到广义函数，这里从信号和系统分析应用的角度简单介绍其定义和相关性质 （1）单位冲激信号的定义 单位冲激信号可由门信号通过取极限而获得假设门信号面积为 1，将其宽度无限压缩，高度无限拉伸，并且在拉伸过程中始终保持面积为 125,,图 2.3.6 单位冲激信号的形成,26,,由此可见，单位冲激信号可以定义为 这个定义是由狄拉克提出的，故又将 δ（t）函数称为狄拉克函数或 δ 函数由以上定义还可得,27,,（2）冲激信号的性质 作为一个用特殊函数表示的信号，冲激信号具有一些特殊的性质 ①尺度变换性质 单位冲激信号与普通信号一样，也可以做伸缩变换或者尺度变换，即由 δ（ t）得到 δ（ at）变换后得到的信号也是一个冲激信号，但冲激强度变为原来冲激信号强度的 1/|a|该尺度变换性质表示为,28,,②奇偶性质 在尺度变换性质，若令 a = -1，则 式（2.3.8）说明，单位冲激函数 δ（t）是一个偶函数。

③筛选性质 筛选性质又称为采样性质，该性质的描述为,29,,图 2.3.8 冲激信号的筛选性质,30,,（3）冲激信号的微分和积分 单位冲激信号的导数又称为冲激偶，记为 δ′（t），它也是一个冲激函数，并且满足,31,,根据单位冲激信号的形成过程及定义不难得到冲激信号的积分为,32,,为了便于研究信号的传输和处理问题，在信号的分析中，经常需要将一个复杂的信号分解为若干典型信号之和的形式这些简单信号称为原信号的分量通过分解，可以更加深刻地认识信号的特性此外，对一个 LTI系统，如果事先已经求出系统在某些基本信号作用下的响应，则可根据 LTI系统的线性、时不变等特性，求出由这些基本信号按照某种方式合成的任意输入信号作用下系统的输出响应因此，信号的分解也是系统各种分析方法的基础2.4 信号的分解,33,,2.4.1 直流分量和交流分量 信号的直流分量也就是其平均值，它是一个恒定不变的常数原信号中除去直流分量后，剩下的部分称为信号的交流分量因此有 式中，D 和 fA（t）分别为信号 f（t）的直流分量和交流分量直流分量的计算公式为,34,2.4.2 偶分量和奇分量 如果信号的函数表达式为偶函数，则该信号称为偶信号；如果信号的函数表达式为奇函数，则称为奇信号，即将满足,35,,一般来说，任意一个信号 f（ t）不一定是偶信号或奇信号，但都可以分解为一个偶信号fe（t）和一个奇信号 fo（t）之和，即 式中，fe（t）和 fo（t）分别称为信号 f（t）的偶分量和奇分量。

容易证明，fe（t）和 fo（ t）与原信号f（t）之间的关系分别为,36,,2.4.3 脉冲分解 对于连续信号 f（t），还可以将其分解为无穷多个位于不同位置的单脉冲信号的叠加，如图2.4.3（a）所示图 2.4.3 连续信号的脉冲分解,37,,38,,在连续信号和系统的时域分析中，卷积积分运算是一个相当重要的数学工具式（2.4.11）实质上就是将连续信号 f（t）与 δ（t）进行卷积积分运算通过卷积积分，任何信号都可以分解为一系列冲激信号或脉冲序列的叠加，从而为在时域中连续 LTI系统零状态响应的求解提供了一种基本的方法2.5 卷积积分,39,,2.5.1 卷积积分的定义 对两个连续信号 f1（t）和 f2（t），其卷积积分的表示符号及定义为 2.5.2 卷积积分的图解法 由上例可知，根据定义进行卷积积分运算时，根据信号的表达式正确划分 τ 的不同区间并确定相应的积分上下限是十分关键的，而这主要决定于积分函数中的阶跃函数为了简化对这些问题的分析，可以采用图解法求两个信号的卷积积分40,,①换元将两个信号中的自变量 t替换为 τ，分别得到 f1（ τ）和 f2（ τ） ②翻转将信号 f2（ τ）做翻转变换，得到 f2（- τ）。

③平移给定 t=t0，将 f2（- τ）沿横轴平移 t，得到 f2（t- τ） ④相乘将 f1（ τ）和 f2（t- τ）相乘得到 f1（ τ）f2（t- τ） ⑤积分对 f1（ τ）f2（t- τ），从 -∞ 到∞ 取积分，得到当 t=t0 时卷积积分的结果，即 f（t0）41,,2.5.3 卷积积分的性质 卷积积分实际上是一种数学运算，具有一定的运算规则和性质在具体进行运算时，充分利用这些性质可以简化求解过程 （1）卷积代数 与代数四则运算一样，卷积运算符合交换律、分配律和结合律这些性质分别描述为,42,,（2）微积分性质 对两个连续信号中的一个信号求导数后再与另一个信号进行卷积运算，卷积结果等于原来两个信号卷积结果的导数43,,（3）时移性质 对连续信号的卷积积分，假设 （4）任何信号与单位冲激信号的卷积 任何一个连续信号与单位冲激信号的卷积积分等于该连续信号，即,44,,45,,。