第四章 波动学基础.doc

第十章波动学基础本章学习目标1、 理解机械波形成和传播的条件2、 掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波表达式的方法3、 了解波的叠加原理，理解波的相干条件4、 掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件5、 理解波的干涉、了解行波和驻波本章教学内容§10-1波动的基本概念§10-2平面简谐波波函数§10-3波的能量§10-4波的叠加§10-1机械波的形成波长周期波速一、机械波1. 机械波的定义机械振动在弹性介质中传播形成机械波机械振动称为波源，参与振动传播 的物质为介质水波，绳形成的波，弹簧形成的波，声波等2. 产生机械波的必要因素：(1) 首先要有一个振动的物体，即波的激发源，称为波源2) 波源的外面，还得有能够随波源而振动的介质，称为弹性介质，故机 械波又称为弹性波形成机械波必须要求介质有弹性，没有弹性或完全刚性的介质内是不能形成 机械波的在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系的已经开始振动的质 点要依靠这种弹性力的作用来维持振动，还没有开始振动的质点也要依靠这种弹 性力的作用而陆续介入振动，使振动的状态传播出去，形成波动由此可见，波 源和弹性介质是机械波产生的两个必要条件3. 波的分类按照波速和质点振动速度的方向之间的关系，我们可以把波分为横波和纵波 两个类型。

1)横波我们来分析一个简单的、理想的模型，看机械波是如何由波源产生并在介质 中传播的如下图所示，一根绳子沿兀轴放置，绳子的左端点有一个波源，它 在进行简谐振动波源带动绳子，就有波不断从点生成，并沿x轴向前传播 波的图形称为波形，对于机械波来说，波的传播过程也就是波形推进的过程波 的传播速度称为波速，观察表明，波在绳子上是匀速传播的随着时间的延续，可以看到，波源随时间的余弦振动在空间被匀速地展开，也生成一条余弦曲线， 曲线沿着波的传播方向不断向前平移为了不分散注意力，在图中我们只作出了 从匸0开始从点发出的波形（实际上波形应该是一直向前伸延的）在什么讨论中，有一点应该注意，就是要把波的传播速度和质点的振动速度 区分开来在图中可以看出，波速是振动状态传播的速度，它是匀速率的，波一 直向前传播；而波动中介质质点的振动速度是质点的运动速度，是往复变化的， 质点在平衡位置附近来回运动而并不随波逐流下面我们定量地讨论这个模型我们用兀表示波动中各质点的平衡位置，用 y表示它们振动的位移于是，图中点的振动方程为儿=A cos（曲——）U0时（见最上面一个图），点的相位是■兀/2,它的位置在平衡位置，且在向 正方向运动。

到匸％时，点的相位变为0,它的位移为正最大点的 下一个考察点点的位置在平衡位置，且在向正方向运动，即相位为■兀左，这正 是匸0时点的相位到匸772时，点的相位为tt/2,它的位置在平衡位置，且 在向负方向运动点的相位为0,点下一个考察点〃点的相位为切/2,… 到匸：T时，从o点开始，沿传播的方向看过去,a、b、c、d各点的相位依次为3龙/2、、 龙、龙/2、0、讥Z2,是由近及远依次落后的2）纵波在波动中，如果质点振动的方向和波的 传播方向相互垂直，这种波称为横波如前 面知识点图中的绳波就是横波，横波的图象 是峰谷相间的图形如果在波动中，质点的 振动方向和波的传播方向相互平行，这种波 称为纵波如下图中所示，将一根弹簧水平 放置，扰动弹簧的左端使其沿水平方向左右 振动，就可以看到这种振动状态沿着弹簧向右传播纵波的图象是疏密相间的图形在空气中传播的声波也是纵波4、机械波的特征从上一个知识点的图中我们可以看出谐波的传播有如下两个基本特点：1 ）各质点振动的周期与波源相同，都等于7,即它们在进行同频振动2）若我们在同一时刻（例如刚才分析的匸丁时刻）考察各点的相位，振动的 相位是从波源开始由近及远依次落后的。

若我们在不同的时刻考察同一个相位， 例如讥Z2这个相位，从前面的图中可以看到，匸0时它在点，匸加 时到达a 点，然后才到方、c、d点，是在由近及远地向前推进，这就是波的传播概念波 的传播实质上是相位的传播，相位传播实质上是在描述波动中各质点之间相位的 关系，它是波动中最基本的概念之一二、描写波动过程的物理量K周期T一个完整波通过介质中一点所需的时间，叫做波的周期，用T表示2、 波长简谐波传播时，其图象是周期性的，我们把波的同一传播线上两个相邻的同 相点（相位差为2兀）之间的距离称为波的波长，用2表示由此我们可以判定，相 距为整数个波长的两点的振动肯定是同相的（相差为N2”）3、 波速"波的传播实际上是振动状态即相位的传播，因而，波速实际上指的是相位的 传播速度，即相速度（相速）即在介质中波源的振动在单位时间内传递的距离 波速决定于波所处介质的弹性，即介质特性决定了波速一个完整波通过这一点 的过程中，该处的质点将进行一次全振动，所以波的周期就是该质点的振动周期, 也即是波动中介质的所有质点振动的周期容易理解，波速“、波长;I和周期T 三者之间有如下的简单关系211 = —T4、 频率"周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目。

u = vA5. 振幅（波幅）波在形成后，各个质元振动的振幅叫波的振幅或波幅除平面波外，介质中 各处的波幅一般是不相等的6、 波阵面.波前和波射线我们把波动过程中，介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面，简称波 面，把波面中走在最前面的那个波面称为波前由于波面上各点的相位相同，所 以波面是同相面波面是平面的波称为平面波（如下图（波面是球面的波称为 球面波（如下图（方））描述波的传播方向的有向曲线称为波射线简称波线在各向同性的介质中， 波线总是与波面垂直，且指向振动相位降落的方向所以，平面波的波线是垂直 于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，沿半径 向外传播的称为发散波，沿半径向球心传播的称为汇聚波d)平面波的波阵面和波线9)球面波的波阵面和波线(图中只画出球面波阵面的 一部分)§10-2平面简谐波波函数一、平面简谐波的波函数K什么是波函数在波动中，每一个质点都在进行振动，对一个波的完整的描述，应该是给出 波动中任一质点的振动方程，这种方程称为波动方程(或波函数)我们知道, 简谐波(余弦波或正弦波)是最基本的波，特别是平面简谐波，它的规律更为简单 我们先讨论平面简谐波在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播时的波动方程。

2、平面简谐波的特点我们在上一知识点中知道，(1) 平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同2) 对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等3) 因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依 次落后3. 平面简谐波函数设平面简谐波的周期为7；波长为儿 波速为”，对于波线上的两点，见下 图所示，若B点比人点距离波源要远/, /称为B之间的波程，就是波由人 点到B点所经历的路程一个振动状态从A点传到B点需要一段时间△=//“， 即4点的振动到达某一状态后，要过A/这么一段时间B点才到达这个状态，也 就是说，B点的振动要比4点在时间上落后 u△『=1 = " A B 4U /t由于4点和B点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振 动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A点和B点的相位差\(p = 2兀％ =/ / =CD —Tu u这表示B点距离波源比A点每远一个儿相位落后一个2益 从上式我们容 易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个入，则它们的振动同相； 若它们的距离为半整数个儿则它们的振动反相下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。

如下图所示，设有 一列平面简谐波沿兀轴的正方向传播，波速为“取任意一条波线为兀轴，设0 为x轴的原点假定0点处(即x=0处)质点的振动方程为儿=A cos(曲+ 0)现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为兀如上所述，P点和 0点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比0点到P点的波 程为兀，则P点的振动在时间上比0点落后Af = -, 「U故P点的振动为 P兀 : =y(x,t) = Acos[co(t——)+ ©] x xu也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比0点落后△0 = 2兀兰，故P点的振动为2y(x. t) = A cos(a)t 一 2兀一+ cp)不难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述它们都表 示的是波线上(坐标为兀)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿兀 轴方向前进的平面简谐波的波动方程4、波函数的意义x t Xy = Acos[a)(t——服如=冲 cos|]2 +(pu T 21、当兀固定时，波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点0振动 的相位差.\(p = -oj— = 一2兀一 idy(x,r) = y(x,r + T)，波函数具有时间周期性。

2、当/一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此 刻的波形△02 = % _02 = 2712^—^ =X波具有空间的周期性严勢"曲c畑+ 2兮+ %)例3、一简谐波逆着兀轴传播，波速"=&0〃心设t=0时的波形曲线如图所3、若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况(行波)5.波动过程中质点的振动速度与加速度介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把兀看作为定值，将y 对z求导数(偏导数)得到，记作空以常用的波函数为例，质点的振动速度为 ctv = — = 一仏 sin a)(t - —) dt u质点的加速度为y对f的二阶偏导数：a = 广? = —Aoj~ cos co(t —) dr u由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的二、平面简谐波波函数的求解例K见教材315页例2、有平面简谐波沿兀轴正方向传播，波长为儿 见下图如果兀轴上坐 标为加处质点的振动方程为ye = Acos(m + 0o],试求：(1)波动方程；(2)坐标原 点处质点的振动方程；(3)原点处质点的速度和加速度解：(1)如图所示，设考察点为兀轴上任意一点，坐标为兀从也到兀的波程为上任意一点的振动方程，即波动方程为按相位落后的关系，X处质点的振动相位比呵质点落后勿〒’故二轴兀—Xy = Acos 伽一 2兀 +% ]2(2)把兀=0带入上式，即得原点处质点的振动方程y = A cos(0/ + 2兀丸 + 0()]⑶原点处质点的速度为v() = -A0sin(0/ + 2兀单+ 0())dt A加速度为示。

求:⑴原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程；⑶肯7时的波形 曲线U(1)由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m，波长后2.0,故波的频率为角频率为⑸=2刊二加门从图中还可以看出，匸0时原点处质点的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为讥/2,故原点的振动方程为?o =0.02cos^/tf-(2) 设x轴上任意一点的坐标为兀，从该点到原点的波程为兀，按相位落后与X X距离的关系，兀处质点振动的时间比原点处质点超前厂纭，故兀轴上任意一点 的振动方程，即波动方程为?=0.02cosM+|)-J(3) 经过3774后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3X/4,也相当于向 右平移"4,如图中虚线所示我们看到，。