泽尼克多项式泽尼克系数.docx

细心整理泽尼克多项式〔Zernike Polynomials〕，泽尼克系数什么是 Zernike Polynomials通常人们会运用幂级数绽开式的形式来描述光学系统的像差由于泽尼克多项式和光学检测中观测到的像差多项式的形式是相同的，因而它时时被用来描述波前特性〔泽尼克，1934〕但这并不意味着泽尼克多项式就是用来拟合检测数据的最正确多项式形式在某些状况下，用泽尼克多项式来描述波前数据具有很大的局限性比方说，当须要考虑空气扰动的时候，泽尼克多项式几乎没有什么价值同样地，我们也无法找到一组相宜的泽尼克多项式来描述单点金刚石车削加工〔single point diamond turning process〕中的制造误差为了精确地描述圆锥面光学元件〔conical optical elements〕的对准误差，必需对泽尼克多项式进展修正盲目地运用泽尼克多项式来表达检测数据只会导致糟糕的结果泽尼克多项式是由无穷数量的多项式完全集组成的，它有两个变量，ρ和θ，它在单位圆内部是连续正交的须要留意的是，泽尼克多项式仅在单位圆的内部连续区域是正交的，通常在单位圆内部的离散的坐标上是不具备正交性质的泽尼克多项式具有三个和其他正交多项式集不一样的性质。

⒈ 泽尼克多项式Z(ρ, θ)可以被化解为径向坐标ρ和角度坐标θ的函数，其形式如下：Z (ρ, θ) = R ( ρ ) G ( θ )，这里，关于角度的函数G(θ)是一个以2π弧度为周期的连续函数，并且满足当坐标系旋转α角度之后，其形式不发生变更，也就是旋转不变性：G (θ + α ) = G ( θ ) G ( α )其三角函数集形式如下：G(θ) = e± i m θ这里m是随意正整数或0⒉ 泽尼克多项式的其次特性质是径向函数R ( ρ ) 〔Radial Function〕必需是ρ的n次多项式，并且不包含幂次低于m次的ρ方项⒊ 第三特性质是当m为偶数时R(ρ)也为偶函数，m为奇数时，R(ρ)也为奇函数径向多项式R ( ρ )可以看作是雅可比多项式〔Jacobi polynomials〕的特例，记做它们的正交和归一化性质可由如下式子表示：上式中的δmn‘是克罗内克符号〔Kronecker delta〕，即当n=n’时，δmn‘=1当n≠n'时，δmn‘=0 并且它具有归一化的性质：在计算径向多项式时，为了便利起见，我们通常会将其分解成如下形式：其中的次数为2(n-m)，由下式给出：《光学原理》下册第9.2.1小节给出了上述径向函数的前几个m，n值的显函数形式。

通常我们会用实数形式的多项式〔正弦和余弦函数〕来代替复制数多项式，这样的话，波前像差函数W(ρ, θ)的泽尼克绽开式就有如下形式：这里W是平均波前差，An，Bnm，Cnm是多项式绽开系数由于”0级“项是个常数〔或者叫平移项〕1并且全部其他的泽尼克项在单位圆区域上的平均值是均为零，∴波前像差函数W的平均值就是这个“0级”项的系数A0，这样，上述公式就等价于：对于一个回转对称的光学系统来说，物体位于子午面内，因而波前像差相对于yz面是对称的，也就是只有θ的偶函数〔余弦项〕项是非零项对于一般状况，波前是不对称的，因而也就是同时包含两种三角函数形式泽尼克项下面给出了48项泽尼克多项式，外加一项常数项须要留意的是，读者并不须要严格遵照下文所示的依次排列这些泽尼克项，事实上在不同的应用和机构会接受不同的排列依次表中的#0项是个常数或者说是平移项〔piston term〕，这一项的系数也代表了平均光程差；而#1和#2项分别是x和y方向的倾斜项〔tilt terms〕，#3代表了聚焦，因此，#1到#3项代表了波前的高斯或者近轴特性；#4和#5项代表了像散和离焦，#6和#7项代表彗差和倾斜，而#8项代表了3级像差和离焦，也就是说#4到#8项为3级相差项；同样地，#9到#15项代表了5级像差，而#16到#24项代表了7级像差，#25到#35项代表了9级像差，#36到#48项代表了11级像差。

2.1 极坐标形式的泽尼克多项式2.1 笛卡尔坐标系下的泽尼克多项式2.1 OSC泽尼克多项式很多早期的用泽尼克多项式来对干预图样做计算机分析的工作，是在上个世纪七十年头，由亚利桑那高校光学科学中心〔OSC，Optical Sciences Center〕的John Loomis进展的OSC泽尼克多项式接受了n从1到5，以及n=6，m=0的项n=m=0的常数项〔piston term〕也用来做干预图样分析，但是这一项并不包含在泽尼克多项式中因此，OSC泽尼克多项式包含36项，外加一项平移项〔piston term〕这也是在光学设计软件OSLO和Code V中接受的形式泽尼克多项式的图形1 n=1～6，m=0时的泽尼克多项式的三维图2 像散：2x2-ay2，其中a∈(-4, 4)3 彗差：2ρ2x+ax，其中a∈(-5, 3)； 2ρ2x+ay，其中a∈(-4, 4) 4 球差和离焦：ρ2(2ρ2+1.3a)，其中a∈(-5, 3)5 前36个泽尼克多项式泽尼克多项式常用于干预料试，而光学设计人员用的更多的那么是赛德尔像差多项式泽尼克多项式和赛德尔像差波前的初级和3级像差系数可以用泽尼克多项式来表示。

我们将波前函数用泽尼克项的Z0～Z8这九项来表示成如下形式：这些泽尼克项和像差的对应关系见表四表四：前9个泽尼克项和像差的对应关系Z0平移〔piston〕Z1x轴倾斜Z2y轴倾斜Z3离焦Z4像散@ 0° & 离焦Z5像散@ 45° & 离焦Z6彗差 & x轴倾斜Z7彗差 & y轴倾斜Z8球差 & 离焦接着将上述波前函数改写成如下形式：W(ρ, θ ) = W11 cosθ + W20 ρ2 + W40 ρ4 + W31 ρ3 cosθ + W22 ρ2 cos2θ由于这些泽尼克项中与视场无关，它们并非真正的赛德尔像差用干预料试的方法智能得到单个视场点的波前数据这使得场曲看上去像离焦，而畸变看上去像倾斜因此，要得到赛德尔像差，就必需测量必需数量的视场点我们可以遵照初级和3级像差的形式接着改写上述波前函数，也就是合并同类项，并用波前相差系数做等价替换，结果如下：W(ρ, θ' ) = Z0 -Z3 + Z8 平移〔Piston〕 + ( Z1 - 2Z6 )ρcosθ' + (Z2 - 2 Z7 ) ρ sin θ' 倾斜〔Tilt〕 + (2Z3 - 6 Z8 + Z4cos2θ‘ + Z5sin2θ' ) ρ2 离焦+像散〔focus + astigmatism〕 +3(Z6cosθ’ + Z7sinθ‘) ρ3 彗差〔coma〕 +6Z8ρ4 球差〔Spherical〕对上式中做如下恒等变换：便可得到如下所示的视场无关的波前相差系数：表五列出了上述视场无关像差多项式的度量〔Magnitude〕，符号和角度〔Angle〕。

留意离焦项的符号选择原那么是使得其系数的数值最小，像散符号的选取那么相反表五：用泽尼克多系数表示的3级像差留意：在计算角度值〔表中的Angle〕的时候，假如分母<0，angle ← angle + 180°波前差的RMS值和P-V值假如波前像差可以用3级像差多项式来表示的话，我们就可以很便利地用每种3级像差所反映出来的波数来描述波前像差这种方法在仅有一种3级像差存在的状况下尤为便利而对于更加困难一些的波前像差，我们也可以很便利地得出其波前的P-V〔peak-to-valley〕值〔有时候也叫做P-P值〕，其数值就是实际波前和志向波前之间的最大偏差，包括正向和负向两个方向比方，假如正向的波前最大偏差⒑+0.2波长，负向最大的波前偏差为-0.1波长，那么这个波前差的P-V值就是0.3波长虽然用P-V值来描述一个波前质量很简洁便利，但缺简洁引起误导一个波前差的P-V值比拟大的光学系统的实际性能有可能会优于一个波前差的P-V值相比照拟小的系统这样，用RMS波前差来描述波前质量会更有意义一些下述方程定义了圆形光阑下的波前差σ及其方差σ2ΔW ( ρ, θ )是相对于志向球面波的偏差，其单位通常为波长数。

ΔW是平均波前光程差〔OPD〕 62〕假如将波前像差用泽尼克多项式的形式表示的话，波前差的方差就可以很简洁地通过泽尼克多项式的正交关系计算出来最终的结果〔单位圆形区域〕如下： 〔63〕表五给出了圆形光阑下的波前差σ和平均波前像差之间的关系公式〔62〕可以用来计算表五中给出的值的σ值而一般的3级像差就可以通过泽尼克多项式的简洁线性组合表示，然后运用公式〔63〕计算波前差的方差。