概率习题课课件.ppt
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第三章 习题课 例例例例1 1 设设设设( (X X, ,Y Y) )的概率密度是的概率密度是的概率密度是的概率密度是求求 (1) c的值；的值； （（2）两个边缘密度两个边缘密度 5c/24 ,c =24/5.解解 (1)故故 例例1 设设 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .(2)当当 时时当当 时时, 注意取值范围注意取值范围综上综上 ,当当 时时, 解解 (2) 综上综上 , 练习：练习： 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求( X,Y )关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度. 解解当当 时时,当当 时时,故故 当当 时时,当当 时时,故故 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，，其其面面积积为为A.若若二二维随机变量（维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称（则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关. 则则质质点点的的坐坐标标 (X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例 例例 2 设设(X,Y)服从如图区域服从如图区域G上的上的均匀分布，均匀分布，(1)求求(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)求求P(Y<2X)；；(3)求求F(0.5,0.5)。
O 0.5 1 xG解解 (1)区域区域G的面积为的面积为1(2) Y<2X，，G1y=2xy区域区域G1的面积为的面积为1P(Y<2X)(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)G2 例例3 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布. 乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布. 试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟的概率钟的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为所求为P( |X-Y | 5) ,甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率P(X
为连续函数1) 若若X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 定理定理3.2 设 设(X,Y)为二维随机变量，为二维随机变量，g(x,y)为二元连为二元连续函数 1若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 绝对收敛，则随机变量函数绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为的数学期望为 注意 注意①①，若，若(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合为二维连续型随机变量，其联合概率密度为概率密度为f(x,y). 有有 2若若(X,Y)为二维连续随机变量，其联合概率密度为为二维连续随机变量，其联合概率密度为f(x,y)且广义积分且广义积分 也就是说，对于二维连续型随机变量，计算也就是说，对于二维连续型随机变量，计算E[g(X)]用用定理定理3.2式比用定理式比用定理2.3计算方便计算方便 ②②但当但当(X,Y)为二维离散型随机变量时，由于求边为二维离散型随机变量时，由于求边缘分布律不复杂，用定理缘分布律不复杂，用定理2.3计算计算E[g(x)]稍简洁些稍简洁些 例例4 设二维随机变量 设二维随机变量(X,Y)只能取下列数值中的值：只能取下列数值中的值：(0,- -1),(- -1,1),(0,1),(2,- -1), 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为0.2,0.1,0.3,0.4. 求：求：(1)E(X2);(2)E(XY). 解解 由题意写出 由题意写出(X,Y)的联合分布律并计算边缘分的联合分布律并计算边缘分布律如下：布律如下： XY-102P{Y=yj}-100.20.40.610.10.300.4P{X=xi}0.10.50.41 XY-10200.070.180.1510.080.320.20练习：设联合分布率如下所示， 例例5 设 设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为解解 用定理 用定理3.2计算。
计算 例例6 6 已知已知(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3试确定常数试确定常数a,b，使，使X与与Y相互独立相互独立解解 先求出先求出(X,Y)关于关于X和和Y的边缘分布律的边缘分布律要使要使X与与Y相互独立，可用相互独立，可用pij =pi••p•j来确定来确定a,b P(X=2,Y=2)= P(X=2)•P(Y=2)，， P(X=3,Y=2)= P(X=3)•P(Y=2)，即，即因此，因此， (X,Y)的联合分布律和边缘分布律为的联合分布律和边缘分布律为YX12pi•11/31/61/222/91/91/331/91/181/6p•j2/31/3经检验，此时经检验，此时X与与Y是相互独立的是相互独立的 例例7 7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在矩形区域在矩形区域G={(x,y)|0≤x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1}上服从上服从均匀分布，若均匀分布，若试求试求(U,V)的联合分布律，并判断的联合分布律，并判断U与与V是否相互独立是否相互独立解解 (X,Y)在在G上服从均匀分布，则联合密度函数为上服从均匀分布，则联合密度函数为O 1 2 xy1y=xx=2yG (U,V)的联合分布律和边缘分布律为的联合分布律和边缘分布律为VU01pi•01/401/411/41/23/4p•j1/21/2经检验，经检验， U和和V不是相互独立的。
其中不是相互独立的其中P{U=0,V=0} P{U=0} •P{V=0} 中心极限定理可以解释如下：中心极限定理可以解释如下： 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的 在实际工作中，只要在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量的随机变量之和当作正态变量 一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理，即，即列维列维-林德贝格林德贝格(Levy-Lindeberg）） 解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数，次掷出的点数，k=1,2,…,100，，则则X1,X2,…,X100独立同分布，而且独立同分布，而且由中心极限定理由中心极限定理 二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。
当此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布当n充充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算为正态随机变量的概率计算 例例9 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每个人参加寿命保险，每人每年付人每年付12元保险费在一年内一个人死亡的概率为元保险费在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的的概率不少于概率不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？ 解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p)，，其中其中n= 10000，，p=0.6%，， np=60，， npq=59.64设设Y表示保险公司一年的利润，则表示保险公司一年的利润，则 Y=10000 12- -1000X于是由中心极限定理于是由中心极限定理(1)P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =1 P(X 120) 1 (7.769)=0; (2)设赔偿金为设赔偿金为a元，则元，则 P(Y≥60000)=P(10000 12- -aX≥60000) =P(X≤60000/a)≥0.99由中心极限定理，上式等价于由中心极限定理，上式等价于标准正态分布表标准正态分布表 例例10 现有一大批种子，其中良种占现有一大批种子，其中良种占1/6，今从其中任意，今从其中任意选选6000粒，试问在这些种子中，良种占的比例与粒，试问在这些种子中，良种占的比例与1/6之之差小于差小于1%的概率是多少？的概率是多少？ 解解 选一粒良种看成是一次随机试验，因此选选一粒良种看成是一次随机试验，因此选6000粒种粒种子看作是子看作是6000重伯努里试验，令重伯努里试验，令X表示表示6000粒种子中粒种子中的良种数，则的良种数，则X服从服从n=6000，，p=1/6的二项分布，的二项分布， 例例1111 设设X,Y相互独立，且两者都在区间相互独立，且两者都在区间[0,1]上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率的概率密度。
密度解解 X,Y的密度函数分别为的密度函数分别为由卷积公式由卷积公式O 1 2 zx1x=zx=z- -1当当0
