03解答题知识点分类-北京市高考数学真题三年（2020-2022）分类汇编.doc

03解答题知识点分类-北京市高考数学真题三年（2020-2022）分类汇编一．利用导数研究函数的单调性（共1小题）1．（2022•北京）已知函数f（x）＝exln（1+x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．二．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）2．（2021•北京）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，并求其最大值和最小值．3．（2020•北京）已知函数f（x）＝12﹣x2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率等于﹣2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）在点（t，f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t），求S（t）的最小值．三．等比数列的性质（共1小题）4．（2020•北京）已知{an}是无穷数列．给出两个性质：①对于{an}中任意两项ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一项am，使得＝am；②对于{an}中任意一项an（n≥3），在{an}中都存在两项ak，al（k＞l），使得an＝．（Ⅰ）若an＝n（n＝1，2，…），判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若an＝2n﹣1（n＝1，2，…），判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列．四．数列的应用（共2小题）5．（2022•北京）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．6．（2021•北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an} 为ℜp数列：①a1+p≥0，且a2+p＝0；②a4n﹣1＜a4n（n＝1，2，…）；③am+n∈{am+an+p，am+an+p+1}（m＝1，2，…；n＝1，2，…）．（Ⅰ）如果数列{an}的前四项为2，﹣2，﹣2，﹣1，那么{an}是否可能为ℜ2数列？说明理由；（Ⅱ）若数列{an}是ℜ0数列，求a5；（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在ℜp数列{an}，使得Sn≥S10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．五．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共1小题）7．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）六．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）8．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9．（2021•北京）在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E（X）．（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设Y是检测的总次数，试判断数学期望E（Y）与（Ⅰ）中E（X）的大小．（结论不要求证明）七．正弦定理（共2小题）10．（2021•北京）在△ABC中，c＝2bcosB，∠C＝．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．条件①c＝b；条件②△ABC的周长为4+2；条件③△ABC的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝﹣；条件②：cosA＝，cosB＝．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．八．解三角形（共1小题）12．（2022•北京）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．九．直线与椭圆的综合（共3小题）13．（2022•北京）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．14．（2021•北京）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点A（0，﹣2），以椭圆E的四个顶点围成的四边形面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（0，﹣3）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB、AC分别与直线y＝﹣3交于点M、N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．15．（2020•北京）已知椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．一十．直线与平面所成的角（共2小题）16．（2022•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（2020•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．一十一．二面角的平面角及求法（共1小题）18．（2021•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E为A1D1的中点，B1C1交平面CDE交于点F．（Ⅰ）求证：F为B1C1的中点；（Ⅱ）若点M是棱A1B1上一点，且二面角M﹣FC﹣E的余弦值为，求的值．参考答案与试题解析一．利用导数研究函数的单调性（共1小题）1．（2022•北京）已知函数f（x）＝exln（1+x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．【解析】解：（Ⅰ）对函数求导可得：，将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝0代入导函数可得：f′（0）＝1，故在x＝0处切线斜率为1，故y﹣0＝1（x﹣0），化简得：y＝x；（Ⅱ）由（Ⅰ）有：g（x）＝，，令，令x+1＝k（k≥1），设，恒成立，故h（x）在[0，+∞）单调递增，又因为h（0）＝1，故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）单调递增；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．二．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）2．（2021•北京）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，并求其最大值和最小值．【解析】解：（Ⅰ）f（x）＝的导数为f′（x）＝＝，可得y＝f（x）在（1，1）处的切线的斜率为﹣4，则y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x﹣1），即为y＝﹣4x+5；（Ⅱ）f（x）＝的导数为f′（x）＝＝，由题意可得f′（﹣1）＝0，即＝0，解得a＝4，可得f（x）＝，f′（x）＝，当x＞4或x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣1＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）递减．函数y＝f（x）的图象如右图，当x→﹣∞，y→0；x→+∞，y→0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值1，且为最大值1；在x＝4处取得极小值﹣，且为最小值﹣．所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间为（﹣1，4）；f（x）的最大值为1，最小值为﹣．3．（2020•北京）已知函数f（x）＝12﹣x2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率等于﹣2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）在。