概率论与数理统计习题及答案.docx

概率论与数理统计习题1.11．用集合的形式写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A：（1）抛一颗骰子，观察向上一面的点数． A表示“出现奇数点”．（2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数． A表示“射击不超过3次”．（3）把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度．A表示“三段细棒能构成一个三角形”．2．把表示成n个两两互不相容事件的和．3． 在某班学生中任选一个同学，以A表示选到的是男同学，B表示选到的人不喜欢唱歌，C表示选到的人是运动员．（1）表述ABC及ABC；（2）什么条件下成立ABC=A；（3）何时成立C⊂B；（4）何时同时成立A=B与A=C．4．设A,B,C为三个随机事件，用A,B,C的运算及关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A,B,C中至少有一个发生；（4）A,B,C都发生；（5）A,B,C都不发生；（6）A,B,C中不多于一个发生；（7）A,B,C中不多于两个发生；（8）A,B,C中至少有两个发生．习题1.21．某城市共发行三种报纸A,B,C．已知城市居民订购A的占45%，订购B的占35%，订购C的占30%，同时订购A与B的占10%，同时订购A与C的占8%，同时订购B与C的占5%，同时订购A,B,C的占3%，求下列事件的概率：（1）只订购A；（2）只订购A与B；（3）只订购一种报纸；（4）正好订购两种报纸； （5）至少订购一种报纸；（6）不订购任何报纸；（7）至多订一种报纸．2．设在统计课考试中，学生A不及格的概率是0.5，学生B不及格的概率是0.2，两人同时不及格的概率是0.1，求：（1）两人中至少有一人不及格的概率；（2）两人都及格的概率；（3）两人中只有一个人不及格的概率．3．设A,B为两个随机事件，PA=0.7,PA-B=0.3，求PAB ． 4．设PA=PB=0.5，证明：PAB=PA B．5．设A,B为任意两个随机事件，证明：PA∪BA∪BA∪BA∪B=0．6．证明：在两个事件A,B中，只有一件发生的概率为PA+PB-2PAB．7．人体血型的一个简化模型包括4种血型和2种抗体：A、B、AB与O型，抗A与抗B．抗体根据血型与人的血液以不同的形式发生作用，抗A只与A、AB型血发生作用，不与B、O型血作用，抗B只与B、AB型血发生作用，不与A、O型血作用．假设一个人的血型是O型血的概率为0.5，是A型血的概率为0.34，是B型血的概率为0.12．求：（1）抗A、抗B分别与任意一人的血型发生作用的概率；（2）一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率．习题1.31．4张卡片上分别写有字母d,g,o,o，把它们随机地排列，求恰好组成“good”的概率．2．在1500个产品中，有400个次品，1100个正品，从中任取200个，求：（1）恰有90个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率．3．一个口袋里装有10只球，分别编有号码1,2, ,10，随机地从这个口袋里取3只球，求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率．4．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶．在搬运中所有标签脱落，交货人便随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色得到订货的概率是多少？5．进行一个试验：先抛一枚均匀的硬币，然后抛一个均匀的骰子．（1）描述该试验的样本空间；（2）硬币是正面且骰子点数是奇数的概率是多少？6．假设2个叫Davis的男孩，3个叫Jones的男孩，4个叫Smith的男孩随意地坐在一排9座的座位上．那么叫Davis的男孩刚好坐在前两个座位上，叫Jones的男孩坐在挨着的3个座位上，叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少？7．某码头只能容纳一只船．现知某日将独立地来两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性相等．若它们需要停靠的时间分别为3小时和4小时，那么有一只船需要等待进入码头的概率是多少？8．设在长度为T的时间段内，有长短不等的两个信号随机地进入了同一接收机，长信号持续的时间为t1(t1≪T)，短信号持续的时间为t2(t2≪T)．求两个信号互不干扰的概率．9．把长为l的线段任意折成3段，求它们能构成三角形的概率．习题1.41．已知PA=0.8, PB=0.7, PAB=0.8，求PA B.2．已知PA=0.3,PB=0.4,PAB=0.5，求PB(A∪B)． 3．据以往资料，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}＝0.6，P{母亲得病│孩子得病}＝0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}＝0.4．求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．4．若M件产品中有m件废品，今在其中任取两件．（1）已知取出的两件中至少有一件是废品，求另一件也是废品的概率；（2）已知两件中至少有一件不是废品，求另一件是废品的概率；（3）求取出的两件中至少有一件是废品的概率．5．为防止意外事故，矿井内同时安装了两个警报系统A与B．每个系统单独使用时，有效率A为0.92，B为0.93．在A失灵条件下B的有效率为0.85．求：（1）发生事故时，这两个警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B失灵条件下，A有效的概率．6．一顾客每次购买牙膏都选择品牌A或B．假定初次购买后，以后每次购买时他仍选择上一次品牌的概率为13．设该顾客第一次购买时选择A或B的概率相等，求他第一次和第二次都购买A牌牙膏而第三次和第四次都购买B牌牙膏的概率．7．假定一个箱子里共装有一个蓝色卡片和四个分别标记为A, B, C, D的红色卡片．设从箱子中一次随机地取出两个卡片．（1）若已知卡片A被取出，求取出的两个卡片都是红色的概率；（2）若已知至少取出一个红色卡片，求两个卡片都是红色的概率． 8．某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次就接通所要拨打的的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率又是多少？习题1.51．已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求以简化法检查为合格品的一个产品确实是合格品的概率．2．炮战中，在距目标250米、200米、150米处发射的概率分别为0.1、0.7、0.2，命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2．现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处发射的概率．3．已知男性有5%是色盲患者，女性有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人为男性的概率是多少？4．某种产品50件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.35，有1,2,3,4件次品的概率分别为0.25,0.2,0.18,0.02．今从某批产品中随机地取出了10件，检查出一件次品，求该批产品中的次品不超过2件的概率．5．将两条信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2:1．若接收站收到的信息是A，问原发信息也是A的概率是多少？6．一盒中装有15个球，其中9个是新球．第一次比赛时从中任取3个使用，但赛后都放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，（1）求第二次取出的都是新球的概率；（2）已知第二次取出的球都是新球，求第一次恰好取出2个新球的概率．7．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只是一等品；第二箱装30只，其中18只是一等品．今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中不放回地抽取零件两次，每次任取一只．求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率．习题1.61．设PA1=PA2=PA3=13, A1,A2,A3相互独立，求：（1）A1,A2,A3至少发生一个的概率；（2）A1,A2,A3恰好发生一个的概率；（3）A1,A2,A3最多发生一个的概率.2．一旦危险情况C发生，报警电路会闭合发出警报．借助两个或更多开关并联的报警电路可以增强报警系统的可靠性．现在有两个开关并联的报警电路，每个开关具有0.96的可靠性，问这个报警系统的可靠性是多少？如果要求报警系统的可靠性至少为0.9999，则至少需要多少只开关并联？假设各开关的闭合与否是相互独立的．3．求下图所示的两个系统的可靠性．假设元件i的可靠性为 pi，各元件正常工作与否相互独立．　　　　　3题图(a) 　　　　　　 3题图(b)4．根据以往记录的数据分析，某船只运输某种物资损坏的情况共有三种：损坏2% （记为A1），损坏10%（记为A2），损坏90%（记为A3），且PA1=0.8,PA2=0.15,PA3=0.05．现在从已被运输的物资中随机地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B）．求PA1B, PA2B,PA3B．（这里假设物品件数很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率．）5．将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它字母的概率都是1-α/2．今将字母串AAAA, BBBB, CCCC之一输入信道，输入AAAA, BBBB, CCCC的概率分别为p1 ,p2 ,p3p1 +p2 +p3=1．若已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的．）6． 设在第一台车床上制造一级品零件的概率为0.7，在第二台车床上制造一级品零件的概率为0.8；第一台车床制造了2个零件，第二台车床制造了3个零件．求这5个零件均为一级品的概率．7．设实验室产生甲类细菌和乙类细菌的机会是相等的．若某次产生了2n个细菌，求：（1）至少有一个是甲类细菌的概率；（2）甲、乙两类细菌各占一半的概率．8．设每次射击打中目标的概率是0.001，射击5000次，求至少击中两弹的概率．9．某人向一目标独立重复射击，每次击中目标的概率均为p(0