椭圆的几何性质ppt课件.ppt
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复习：1.椭圆的定义:在同一平面内，到两定点F1、F2的间隔和为常数〔大于|F1F2 |〕的点的轨迹叫做椭圆2.椭圆的规范方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2 一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由即即阐明：明：椭圆位于矩形之位于矩形之中 二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性在在之中，把之中，把---换成换成---，方程，方程不变，阐明：不变，阐明：椭圆关于椭圆关于---轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于---轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于---点对称；点对称；故，坐标轴是椭圆的对称轴，故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心原点是椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心 oxy 三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，阐明椭圆与？，阐明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？阐明椭圆与？阐明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：点：椭圆与它的与它的对称称轴的四个交点，叫做的四个交点，叫做椭圆的的顶点 oxyB2(0,b)B1(0,-b)A1A2*长轴、短、短轴：：线段段A1A2、、B1B2分分别叫做叫做椭圆的的长轴和短和短轴。
a、、b分分别叫做叫做椭圆的的长半半轴长和短半和短半轴长 四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率[1]离心率的取值范围：离心率的取值范围：1〕〕e 越接近越接近 1，，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，就越小，椭圆就越就越扁扁由于由于 a > c > 0，所以，所以1 >e >0[2]离心率离心率对椭圆外形的影响：外形的影响：2〕〕e 越接近越接近 0，，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，就越大，椭圆就越就越圆3〕特例：〕特例：e =0，那么，那么 a = b，那么，那么 c=0，两个焦点重，两个焦点重合，合，椭圆方程方程变为〔？〕〔？〕 标准方程图 象范 围对 称 性顶点坐标焦点坐标半 轴 长焦 距a,b,c关系离 心 率|x|≤ a,|y|≤ b|x|≤ b,|y|≤ a关于关于x轴、、y轴成成轴对称；关于原点成中心称；关于原点成中心对称〔 a ,0 〕,(0, b)〔 b ,0 〕,(0, a)( c,0)(0, c)长半半轴长为a,短半短半轴长为b.焦距焦距为2c;a2=b2+c2 例1知椭圆方程为16x2+25y2=400,并用描点法画出它的图形． 它的长轴长是： 。
短轴长是： 焦距是： 离心率等于： 焦点坐标是： 顶点坐标是： __ 外切矩形的面积等于： 108680 例例2 2．过适宜以下条件的椭圆的规范方程：．过适宜以下条件的椭圆的规范方程：〔〔1 1〕经过点〕经过点 、、 ；；〔〔2 2〕长轴长等于〕长轴长等于 , ,离心率等于离心率等于 ．．解解: :〔〔1 1〕由〕由题意，意， , ,又又∵∵长轴在在轴上，所以，上，所以，椭圆的的规范方程范方程为 ．．〔〔2 2〕由知，〕由知， ，，∴ ∴ ，， ，，∴ ∴ ，，所以所以椭圆的的规范方程范方程为 或或 ．． 例例3.3.知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P〔〔3 3，，0 0〕，〕，求椭圆的方程。
求椭圆的方程答案：答案：分分类讨论的数学思想的数学思想 课堂练习：课堂练习： 1．知椭圆的一个焦点将长轴分为 两段，求其离心率解：由题意，,即解得 2．如图，求椭圆 内接正方形ABCD的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B〔t,t)代入椭圆方程求得即正方形ABCD面积为 练习3：§知椭圆的方程为x2+a2y2=a2 (a>0且 )它的它的长轴长是：是： ;短短轴长是：是： ;焦距是：焦距是： ; 离心率等于离心率等于: ;焦点坐焦点坐标是：是： ;顶点坐点坐标是：是： ; 外切矩形的面外切矩形的面积等于：等于： ; 当当a>1时：： 。
当0
在解析几何之前的一切研讨圆锥曲线的著作中，没有一本到达象<圆锥曲线论>那样对圆锥曲线研讨得如此详尽的程度 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创建的自从有了解析几何，圆锥曲线的研讨才开辟了新的纪元小知识小知识 1.2.1椭圆的简单几何性质(二) 椭圆的第二定义 标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、、b b、、c c的的关系关系|x|≤ a,|y|≤ b关于关于x x轴、、y y轴成成轴对称；称；关于原点成中心关于原点成中心对称称(a,0)、、(-a,0)、、(0,b)、、(0,-b)(c,0)、、(-c,0)长半半轴长为a,a,短短半半轴长为b. a>bb. a>ba2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前同前(b,0)、、(-b,0)、、(0,a)、、(0,-a)(0 , c)、、(0, -c)同前同前同前同前同前同前复习复习 例例1：点：点P与定点与定点F〔〔2，，0〕的间隔和它到定直线〕的间隔和它到定直线x=8的间隔的比为的间隔的比为1/2，求点，求点P的轨迹方程，并阐的轨迹方程，并阐明轨迹是什么图形。
明轨迹是什么图形辨析辨析直接法：直接法：设动点设动点P〔〔x,y〕，那么〕，那么化简得：化简得：所以动点所以动点P的轨迹方程为：的轨迹方程为：轨迹轨迹 为椭圆为椭圆推行、点推行、点M〔〔x,y〕与定点〕与定点F〔〔c,0〕的〕的间隔与它到定直隔与它到定直线l：：x=a2/c的的间隔的比是隔的比是常数常数c/a〔〔a>c>0〕，求点〕，求点M的的轨迹椭圆的第二定的第二定义) 设设P(x0,y0)是椭圆是椭圆 上的一点上的一点,F1(c,0), F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点分别是椭圆的左焦点、右焦点,我我们把线段们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径焦半径. 该公式的公式的记忆方法方法为‘‘左加右减〞，即在左加右减〞，即在a与与ex0之之间，，假假设是左焦半径那么用加号是左焦半径那么用加号“+’’衔接，假接，假设是右焦半径用是右焦半径用“－〞号－〞号衔接．接． 练习、椭圆上恣意一点与焦点所在的线段叫做这练习、椭圆上恣意一点与焦点所在的线段叫做这点的焦半径，设椭圆点的焦半径，设椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上三上三点点P1、、P2、、P3，，F1、、F2为左右焦点，求证：假设为左右焦点，求证：假设P1、、P2、、P3三点的横坐标成等差数列，那么对应三点的横坐标成等差数列，那么对应三点的焦半径也成等差数列。
三点的焦半径也成等差数列 例例2、知点、知点A〔〔1，，2〕在椭圆〕在椭圆3x2+4y2=48内，内，F〔〔2,0〕是焦点，在椭圆上求一点〕是焦点，在椭圆上求一点P，使，使|PA|+2|PF|最小，求最小，求P点的坐标及最小值点的坐标及最小值 1、假、假设椭圆的的长轴长为200,短短轴长为160,那么那么椭圆上点到焦点上点到焦点间隔范隔范围是是A、、[40,160]B、、[0,100]C、、[40,100]D、、[80,100]2、、P是是椭圆 上点上点,F1、、F2是两焦点是两焦点,那那么么|PF1|·|PF2|的最大的最大值与最小与最小值的差是的差是 练习练习 3、椭圆、椭圆 的离心率为的离心率为A、、1/25B、、1/5C、、1/10D、无法确定、无法确定4、椭圆长轴长为、椭圆长轴长为10,短轴长为短轴长为8,那么椭圆上点到椭那么椭圆上点到椭圆中心间隔的取值范围是圆中心间隔的取值范围是A、、[8,10]B、、[4,5]C、、[6,10]D、、[2,8] 目的目的1、、进一步了解和掌握一步了解和掌握椭圆的第一定的第一定义、第二定、第二定义及其运用。
及其运用2、能利用、能利用椭圆的几何性的几何性质处理理问题作业P42 8、9测试反响7 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质( (三三) )----直线与椭圆的位置关直线与椭圆的位置关系系 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判判别方法方法(代数法代数法) 经过解直解直线方程与方程与椭圆方程方程组成的方程成的方程组，，对解的个数解的个数进展展讨论．通常消去方程．通常消去方程组中的一个中的一个变量，得到关于另一量，得到关于另一变量的量的一元二次方程．一元二次方程． (1)△△>0直直线与与椭圆相交相交有两个公共点；有两个公共点； (2)△△=0 直直线与与椭圆相切相切有且只需一个公共点；有且只需一个公共点； (3)△△<0 直直线与与椭圆相离相离无公共点．无公共点．通法噢通法噢 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k．．弦弦长公式：公式： 例例1：知斜率为：知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，，B两点，求弦两点，求弦AB之长．之长． 例例2：知椭圆：知椭圆 过点过点P(2，，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理达定理→斜率斜率韦达定理法：利用达定理法：利用韦达定理及中点坐达定理及中点坐标公式来构造公式来构造 例例2：知椭圆：知椭圆 过点过点P(2，，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲点差法：利用端点在曲线上，坐上，坐标满足方程，作差构造足方程，作差构造 出中点坐出中点坐标和斜率．和斜率．点点作差作差 例例2：知椭圆：知椭圆 过点过点P(2，，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直在直线x+2y-4=0上上而而过A,B两点的直两点的直线有且只需一条有且只需一条解后反思：中点弦解后反思：中点弦问题求解关求解关键在于充分利用在于充分利用“中点〞中点〞这一一 条件，灵敏运用中点坐条件，灵敏运用中点坐标公式及公式及韦达定理，达定理， oxy oxy问题：最大的间隔是多少？ 练习：：1、假、假设椭圆被被 的弦被〔的弦被〔4，，2〕平分，那〕平分，那 么么这弦所在直弦所在直线方程方程为〔〔 〕〕A、、x-2y=0 B、、x+2y- 4=0 C、、2x+3y-12=0 D、、x+2y-8=02、、y=kx+1与与椭圆 恰有公共点，那么恰有公共点，那么m的范的范围〔〔 〕〕 A、〔、〔0，，1〕〕 B、〔、〔0，，5 〕〕 C、、[ 1，，5〕〕∪∪〔〔5，，+ ∞ 〕〕 D、〔、〔1，，+ ∞ 〕〕 3、、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作的左焦点作倾斜角斜角为300的直的直线，， 那么弦那么弦长 |AB|= _______ , DC 变式变式1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有两有两个公共点个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?2.无论无论k为何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足( )A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点D 解：解：3.假设假设P(x,y)满足满足 ,求求 的的最大值、最小值最大值、最小值. 3、弦中点、弦中点问题的两种的两种处置方法：置方法： 〔〔1〕〕联立方程立方程组，消去一个未知数，利用，消去一个未知数，利用韦达定理；达定理； 〔〔2〕〕设两端点坐两端点坐标，代入曲，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
方程相减可求出弦的斜率 1、直、直线与与椭圆的三种位置关系及判的三种位置关系及判别方法；方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |AB|= = 〔适用于任何曲线〕〔适用于任何曲线〕 小小 结结 1、求椭圆、求椭圆 被过右焦点且垂直于被过右焦点且垂直于x轴轴 的直线所截得的弦长的直线所截得的弦长2、中心在原点，一个焦点为、中心在原点，一个焦点为F〔〔0，， 〕的椭圆被〕的椭圆被 直线直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆，求椭圆 方程作业作业P49 A组 8 9 10补充补充 椭圆的的简单的几何性的几何性质第四第四时椭圆的参数方程的参数方程中国香港中国香港 复习复习1.圆圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程的参数方程:2.圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程的参数方程:其中参数的几何意义为其中参数的几何意义为:猜测猜测椭圆椭圆 的参数方程为的参数方程为:θ为旋旋转角角参数方程的本质参数方程的本质: :三角换元三角换元 例题例题例例1.如如图,以原点以原点为圆心心,分分别以以a,b〔〔a>b>0〕〕为半径半径作两个作两个圆,点点B是大是大圆半径半径OA与小与小圆的交点的交点,过点点A作作AN⊥⊥Ox,垂足垂足为N,过点点B作作BM ⊥⊥ AN,垂足垂足为M,求当求当半径半径OA绕点点O旋旋转时点点M的的轨迹的参数方程迹的参数方程.xOyAMNB——此即此即为椭圆的参的参数方程数方程,其中 的几何其中 的几何意意义为——离心角离心角. xOyAMNB阐明阐明1.离心角离心角∠∠xOA与旋与旋转角角∠∠xOM的区的区别;2.由由图形可知形可知:椭圆上到中心上到中心间隔最隔最远的点的点为两两长轴端点端点,最最长间隔隔为了了a; 最近的点最近的点为短短轴两端点两端点,最短最短间隔隔为b. 圆和椭圆的参数方程的比较圆和椭圆的参数方程的比较名称方程参数的意义圆椭圆(a,b)为圆心心,r为半径半径a为长半轴长为长半轴长,b为短为短半轴长半轴长; 为离心为离心角角 练习练习把以下参数方程化为普通方程把以下参数方程化为普通方程,普通方程化为参普通方程化为参数方程数方程. 例例2.P(x,y)为椭圆为椭圆 上恣意一点上恣意一点,(1)求求x+y的取值范围的取值范围;(2)求求x2+y2的最值的最值.〔〔3〕求〕求 的取值范围的取值范围 例例3.在椭圆在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P,使使P到直线到直线l:x-y+4=0的间隔最小的间隔最小,并求出最小值并求出最小值思索思索:假设四边形假设四边形ACBD内接于椭圆内接于椭圆 ,且且A点横坐标为点横坐标为5,B点纵坐标为点纵坐标为4,求四边形求四边形ACBD的最大的最大面积面积. 例例4.知椭圆知椭圆 ,点点B(0,b),点点P是椭圆上是椭圆上动点动点,求求|PB|的最大值的最大值.思索思索:知点知点M(1,0),动点点P在在椭圆x2/25+y2/9=1上上,求求|PM|的最大的最大值与最小与最小值?当当M(m,0)时,|PM|的的最最值又如何又如何?(此此时需分需分类讨论) 小结小结(1)椭圆的参数方程及的参数方程及a,b,φ的几何意的几何意义.(2)椭圆的参数方程的运用的参数方程的运用. 作业作业1.在椭圆在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P,使使P到直线到直线l:x-y+4=0的的间隔最大间隔最大,并求出最大值并求出最大值2.求椭圆求椭圆 内接矩形面积的最大值内接矩形面积的最大值. 目的目的1、了解、了解椭圆的参数方程的参数方程,了解参数方程中系了解参数方程中系数数a、、b和参数和参数θ的几何意的几何意义;2、会用、会用椭圆参数方程参数方程处理有关理有关问题. 椭圆的的简单的几何性的几何性质第五课时习题课 例例1.如如图,F1、、F2是是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的左、右焦点的左、右焦点,当离当离心率在什么范心率在什么范围内取内取值时,椭圆上上总有点有点P使使PF1⊥⊥PF2.PxyOF1F2 变题1.椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)与与x轴正方向正方向交于点交于点A,假假设在此在此椭圆上上总存在点存在点P,使使OP⊥⊥PA,求求椭圆离心率的范离心率的范围.变题变题2.过椭圆过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点的右焦点F作作x轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交椭圆于点A、、B,假设假设 , 求椭圆离心率求椭圆离心率. 例题例题2.椭圆椭圆 的焦点为的焦点为F1,F2,点点P为其上的为其上的动点动点,当当F1PF2为钝角时为钝角时,求点求点P横坐标的取值范围横坐标的取值范围.变题3.过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点的右焦点F1作直作直线交交椭圆于点于点A、、B,左焦点左焦点F2，假，假设, ，求，求椭圆离心率离心率. 练习练习1、、椭圆 的两焦点的两焦点F1〔〔0,-c〕、〕、F2〔〔0,c〕〔〕〔c>0〕，离心率〕，离心率为 ，焦点到，焦点到椭圆上点的上点的最短最短间隔隔为 ，求，求椭圆方程。
方程 练习练习2.知椭圆知椭圆 ,过点过点P(5,2)作直线作直线l交椭圆于交椭圆于A,B两点两点,且且P恰为恰为AB的中点的中点,求直求直线线l的方程的方程.解解:设设A(x1,y1),B(x2,y2),那么那么有有(1)-(2)有有又点又点P为为AB的中点的中点,那那么么x1+x2=10,y1+y2=4所以所以,故直线故直线l的方程为的方程为:5x+8y-41=0点点P代入方程代入方程检验在在椭圆外外部部,因此点因此点P不能不能够是是椭圆弦的中点弦的中点,故此故此题无解无解. 。
