高考数学(理)二轮复习-第2部分-专题5-第1讲-直线与圆.docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）第1讲　直线与圆(小题)热点一　直线的方程及应用1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0).(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(A2＋B2≠0).例1　(1)(20XX宝鸡模拟)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)A.1 B.－2 C.1或－2 D.－答案　A解析　①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意.②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1.综上可得m＝1.(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　)A.x＋(－1)y－＝0 B.(1－)x－y＋＝0C.x－(＋1)y＋＝0 D.(－1)x－y＋＝0答案　C解析　如图所示可知A(，0)，B(1,1)，C(0，)，D(－1,1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋.整理为一般式即x＋y－＝0，x－y＋＝0，x－y＋＝0.故选C.跟踪演练1　(1)已知直线l1：xsin α＋y－1＝0，直线l2：x－3ycos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于(　　)A. B. C.－ D.答案　D解析　因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是(　　)A.－3x＋2y＋1＝0 B.3x－2y＋1＝0C.2x＋3y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0答案　C解析　解方程组得所以两直线的交点为(1,1).因为直线l的斜率为－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.热点二　圆的方程及应用1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2　(1)(20XX天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________.答案　x2＋y2－2x＝0解析　方法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.方法二　画出示意图如图所示，则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)抛物线x2＝4y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为________.答案　2＋(y－1)2＝解析　由抛物线方程x2＝4y，可知准线方程为y＝－1，F(0,1)，设P，∵|PM|＝|PF|，由抛物线定义，可知PM垂直于准线，可得M(x，－1)，又|PM|＝|MF|，可得＋1＝，解得x1＝2，x2＝－2，当x＝－2时，P(－2，3)，M(－2，－1)，△FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆圆心与重心重合，∴外接圆圆心坐标为，即，外接圆半径为r＝＝，同理可得当x＝2时，圆心坐标为，半径为，∴外接圆方程为2＋(y－1)2＝.跟踪演练2　(1)(20XX黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为(　　)A.－1 B.1 C.1 D.0答案　A解析　化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.则圆心坐标为(－k2，－1)，∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，∴直线y＝x经过圆心，∴－k2＝－1，得k＝1.当k＝1时，k4－4k＋1<0，不合题意，∴k＝－1.(2)(20XX河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________.答案　x2＋(y－3)2＝10解析　∵P(3,4)为C上一点，－＝1，解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，令x＝0，则y＝3，设外接圆圆心为M(0，t)，则M(0,3)，r＝|MB|＝＝，∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.热点三　直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3　(1)(20XX长沙市长郡中学模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝r(r1>0)，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r(r2>0)，圆C1与圆C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为________.答案　解析　根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A，B.当公切线AB与直线C1C2平行时，公切线AB斜率不为7，即r1≠r2，不妨设r10)与圆C：x2＋y2－2x－2y－23＝0，直线l与圆C相交于不同两点M，N.若||≤2|＋|，则m的取值范围是(　　)A.[，5) B.[2,5－3)C.(5,5) D.(，2)答案　B解析　圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝25，∴C(1,1)，圆C半径r＝5，若||≤2|＋|，则||2≤4|＋|2，即||2≤4||2＋4||2＋8，∴||2≤100＋100＋8||||cos∠MCN，∴||2≤100＋100＋200，∴||≤4，设圆心C到直线y＝－2x－m的距离为d，则2＝2≤4，解得m≥2(舍负)，又直线y＝－2x－m与圆C相交，可得d0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案　D解析　公共弦的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0.由得故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确.真题体验1.(20XX全国Ⅲ，理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A.[2,6] B.[4,8]C.[，3] D.[2，3]答案　A解析　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].2.(20XX全国Ⅱ，理，4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于(　　)A.－ B.－ C. D.2答案　A解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.3.(20XX浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案　－2　解析　方法一　设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4。