2024成都中考数学二轮专项训练：利用垂线段最短解决最值问题 (含答案).pdf

2024成都中考数学二轮微专题专项训练微专题利用垂线段最短解决最值问题模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短模型分析如图，已知直线/外一定点/和直线/上一动点3,求/、2 之间距离的最小值.通常过点/作直线/的垂线/瓦 利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.R R/r模型应用1.如图，在菱形4BCD中，对角线/C 与 2相交于点N4DC=604B=6,若点P为A D上的动点，连接O P,则O P的最小值为.第 1 题图2.如图，在矩形N5CD中，AC=8,/8/C=3 0点 P 是对角线NC上一动点，连接尸、C P为邻边作尸 C 0,连接P则线段尸的最小值为.第2 题图模 型 二“胡不归”问题(2014.28)模型分析问题：点/为直线/上一定点，点 2 为直线/外一定点，点尸为直线/上一动点，要使必尸+AP(O左1)的值最小.方法：1.找：找带有系数左的线段/P;2.构：在点2 异侧，构造以线段/P 为斜边的直角三角形；以 定 点/为 顶 点 作 尸，使 sin/N 4 P=&过动点P 作垂线，构造R t/P E；3.转化：化折为直，将必尸转化为尸E；4.求解：使得fc4P+3P=P E+3P,利用“垂线段最短”转化为求2尸的长.模型应用3.如图，在/8 C 中，/=90。

N2=60A B=2,若是 2 C 边上的动点，则 2/D C的最小值为./H C第 3 题图4.如图，在菱形/B C D 中，A B=A C=Q,对角线/C、8相交于点点 M 段/C 上,且/=3,点尸为线段AD上的一个动点，则的最小值是2-模型迁移5.如图，抛物线y=ax2+ax+c经过点/(I,0),8(0,一3)，C,其对称轴与x 轴交于点D.若尸为y 轴上一点，连接尸 ,求 生P 8+也P D 的最小值.第 5 题图微专题利用三角形三边关系解决最值问题模型分析背 景 展 示 如 图，已知点/、点 3 是平面内固定的两点，A8=%，点 C 是同一平面内一动点且BC=n.4H1.连接/C、8 c 在/3 C 中，根据三边关系，A B-B C A C =办 25ax+4经 过 的 三 个 顶 点，已知8Cx 轴，点4 在 x 轴上,点 C 在y 轴上，且/C=2 C(1)求 力,B,C 三点的坐标及抛物线的解析式;(2)在抛物线对称 轴 上 是 否 存 在 点 使 点 M 到 点/和 点 8 的距离之差最大？若存在，求所有符合条件的点”的坐标；若不存在，请说明理由.微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型（一个动点+两个定点）类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点4 2 位于直线/异侧，在直线/上找一点尸，使我+尸2 的值最小.解题思路：根据两点之间线段最短，出+所的最小值即为线段N 5 的 长.连 接 交 直 线/于点P,点 P 即为所求.模型演变问题：两定点4 2 位于直线/同侧，在直线/上找一点尸，使 以+P 2 的值最小.解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决.作点3 关于/的对称点B,连接/夕，与直线/交于点尸.注：也可以作点/关于直线/的对称点，连接 8,与直线/交于点P.模型应用1.如图，四边形ABCO是菱形，对角线/C、3。

相交于点A C=6 0 B D=6,点 P 是/C 上一动点，点 E 是4 8 的中点，则尸D+P E 的最小值为.2.如图，在矩形4BCD中，AB=5,A D =3,点尸是矩形内一动点，满足品&B=；S矩 形 力BCQ,则P A+P B的最小值为.第2题图模型迁移3.如图，一次函数夕=依+6 的图象与反比例函数y=%的图象相交于4(3,5)、B(a,3)x两点，与 x 轴交于点C第3 题图求反比例函数和一次函数的表达式；若点尸为y 轴上的动点，当尸8+尸取最小值时，求APC的面积.4.如图，已知抛物线y=-N 2x+3与 x 轴交于4,8 两点(点N在点8 的左侧)，与y 轴交于点C 点尸是该抛物线对称轴/上的一个动点，求出?周长的最小值.第4 题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点/、8 位于直线/同侧，在直线/上找一点尸，使得我一尸目的值最大.解题思路：根据两边之差小于第三边，|一P凶 最 大 值 即 的 长，连 接 并 延 长，与直线/交于点尸，点 P 即为所求.uH模型演变问题：两定点4 2位于直线/异侧，在直线/上找一点尸，使得以一依|的值最大.解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决.作 点 8关于/的对称点B,连接/Q并延长与直线/交于点尸.,4 4-_、-1-ftr/H61模型应用5 .如图，在 N 8 C 中，AB=3,/C=4,BC=5,E 尸是3c的垂直平分线，点 P是 E 尸上的动点，则|以 一 尸 的 最 大 值 为.-d：第 5 题图6 .如图，在等边 Z B C 中，4 5=4,4。

是中线，点 是 40的中点，点尸是4C上一动点，则B P-E P的最大值为./1 /Z lr /匚n n c第 6 题图7.如图，在正方形/B C D 中，4 8 =8,4 c 与 B D 交于点O,N是/的中点，点 m 在 3 C边上，且 3=6,P为对角线5上一动点，则尸初一PN的最大值为.第7 题图模型迁移8 .已知抛物线夕=x2-2 x8 与 x 轴交于点/、8（点/在 点 5的左侧），与y 轴交于点C,P是抛物线对称轴上的一个动点，当/8 p q 有最大值时，求点尸的坐标.模 型 二“一点两线”型（两个动点+一个定点）类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点 P 是N/O 3 的边2 上一定点，在 0 4 上 找 一 点 在2 上找一点N,使得+M N 的值最小.解题思路：要使PM+M N的值最小，设法将尸河、龙 W 转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决.作点尸关于/的 对 称 点 P,过点P 作 的 垂 线，分别与4 0 8 交于点M、N.模型应用9.如图，在 Rt/UBC 中，ZACB90,NC=6,BC=8,4D 是/A 4 c 的平分线.若 P,分别是4D,/C 上的动点，则 PC+尸。

的最小值为.第 9 题图1 0.如图，在菱形/B C D 中，AB=6,/=120点 M,N分别为BD,CD上的动点，则CM+MN的最小值为.第 10题图H类型二周长最小值问题模型分析问题：点 尸 是 的 内 部 一 定 点，在 CM上 找 一 点 在 03上找一点N,使得的周长最小.解题思路：要使尸儿W 的周长最小，即尸M+MN+PN的值最小，根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可解决.分别作点尸关于0 4、的对称点P、P ,连接P P交 O A、于点 M、N.4 好o H O H产模型应用1 1 .如图，在/B C 中，ABAC,/A 4 C=9 0为 AS上一定点，点 E,尸分别为边AC,8C上的动点，当）咒的周长最小时，则/E D=.i/Y 、c第 1 1 题图1 2 .如图，在 R tA/lB C 中，ZC=9 0,4 8=6 0在 8C上，且/4,点 ,尸分别为边4C,48上的动点，则即 周 长 的 最 小 值 为.模 型 三“一定长+两定点”型类型一异侧线段和最小值问题（“造桥”问题）模型分析问题：已知lu/2 之间距离为d,在/1，/2 上分别找M，N两点，使得A C V L/1,且/“+M N+N B的值最小.解题思路：要求/+MN+NB的最小值，血 W 为定值，即要求/M+2 V B 的最小值，通过平移构造平行四边形，将 NM、转化到同一条直线上.将点/向下平移d个单位到点,连接A B交直线h于点N,过点N作M N L h于点M.d；-1-3r/l、L 1 N、aH H模型应用13.如图，已知直线qb,a,6 之间的距离为4,点尸到直线的距离为4,点。

到直线b的距离为2,尸2也 1.在直线a 上有一动点4 直线b 上有一动点2,满足且以+A 8+2最小，则 功+20=.y P-7 -*,/.h第 13题图类型二同侧线段和最小值问题（平移型问题）模型应用14.如图，菱形48的边长为3,N B 4 D=6 0点、E,尸在对角线/C 上（点 E 在点歹的左侧），且 尸=1,则8 9 的最小值为.第 14题图15.如图，四边形N5CD是平行四边形，AB=4,BC=12,/ABC=60,点、E、尸是4 D 边上的动点，且 斯=2,则四边形2尸周 长 的 最 小 值 为.u第 15题图模型迁移16.如图，已知点/（3,1）,5（1,0）,尸是直线y=x 上的一条动线段，且尸/（点 0 在点 P 的下方），当/尸+P Q+Q 2 取得最小值时，求点的坐标.参考答案微专题利用垂线段最短解决最值问题1.学【解析】根据垂线段最短可知，当“与 垂 直 时，尸取得最小值.四边形ABC是菱形，AB=6,；.4D=4B=6,ACLOD.V Z A D C 60,/.ZADO=30,：.AO=3,D O=3 0 当 OPLAD 时，：SADO-A O D O-AD OP,;,O P=A O DO：.OP2 2 AD 2的最小值为史&.22.2由【解析】.四边形。

尸 C为平行四边形，二时，线段尸的值最小，最小值即为与 NC之间的距离，即点到 N C的距离，如解图，过点作O_L/C 于点,：AC=8,ZBAC=30,：.ZACD=30,/.C=C-cos30=4,：.DE=CD-sin30=2/3,即点到/C 的距离为2小，；线段尸的最小值为R i3.6【解析】如解图，作 点/关 于 的 对 称 点 H,连接44 A D,过点E L/C于点 E,在NBC 中，V ZB AC=90,ZB=60,AB=2,：.BH=1,AH=3,A A=2 0NC=30在 RtZCDE 中，E=4 C D,即 2D E=C D,；点/与点 H关于 对称，2=AD,：.AD+DE=AD+DE,.当4,D,三点共线时，N O+0E 有最小值，最小值为4 E 的长，此时，在 R t4 4 4 中，AE=AA-sin60=2而 也=3,二/D+D E 的最小值为3,2即 2/的最小值为6.4.?【解析】如解图，过点P 作尸3 c 于点过点河作 V，3 c 于 点 四 边 形/BCD 是菱形，./8=3 C：/8=N C=10,.NBC是等边三角形，./4 8 C=/N C 3=6 0。

菱形对角线互相垂直，/.ZB0C=9Q,：.ZO BC 30,:.PQ=%B,：.MP+PBMP22+尸由两点之间线段最短可知，当M、P、0 三点共线，即点与点N 重合时，MP+PQ取得最小值，最小值为 的长.：AM=3,：.CM=ACAM=1.V ZACB=60,：.MN=也CM=必,：,M P+-PB的最小值为厚.第4 题解图5.解：如解图，连接4 8,过点作4 s 于 点 交 y 轴于点P.PB+也PD=H(PB+PD),：.当PB+PD取得最小值时，必(9 2+尸 0 有最小值.：/(1,0),5(0)一 回；.0/=1,2=3，：.AB=2,/4 830,A ZBAO=60,PH=-PB,2-PB+PD=PH+PD,2.当点尸运动到点P 时，即、尸、三点共线，且时，1%+尸口有最小值，最2小值为的长.抛物线的对称轴为直线x=一：.OD=.24:在 RtZU8 中，Z A D H 90-Z 95=30,ADOA+OD=,2：.DH=AD-cos3Q,4：.-PB+PD 的最小值为“后，2 4：.P B+2 P D 的最小值为也x =笠而2 4 4;1/7呼 二；%I pI I第5 题解图微专题利用三角形三边关系解决最值问题I.B【解析】如解图，连接 CW,C N,在中，ZC=90,A。