常微分方程总复习幻灯片.ppt

常微分方程总复习常微分方程总复习2021/8/22021/8/21 1内容总结内容总结l绪论绪论l一阶常微分方程的初等解法一阶常微分方程的初等解法l一阶常微分方程初值问题解的基本理论一阶常微分方程初值问题解的基本理论l高阶线性方程高阶线性方程l一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组l非线性微分方程（稳定性）非线性微分方程（稳定性）2021/8/22021/8/22 2绪论绪论内容总结内容总结微分方程、常微分方程、初值问题微分方程、常微分方程、初值问题（（Cauchy问题）、方程的解、通解、特解、问题）、方程的解、通解、特解、积分曲线、线素、线素场、微分方程和解的积分曲线、线素、线素场、微分方程和解的几何意义，几个常见的微分方程模型几何意义，几个常见的微分方程模型2021/8/22021/8/23 3基本要求基本要求1、熟练掌握微分方程的所有基本概念；、熟练掌握微分方程的所有基本概念；2、会针对一些简单的背景建立微分方程模型、会针对一些简单的背景建立微分方程模型并求解2021/8/22021/8/24 4一阶常微分方程的初等解法一阶常微分方程的初等解法内容总结内容总结变量可分离方程、齐次方程、齐次的扩变量可分离方程、齐次方程、齐次的扩展类型、一阶线性方程、展类型、一阶线性方程、Bernoulli方程、恰方程、恰当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解类型）、变量代换。

类型）、变量代换基本要求基本要求1、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；2、会使用一阶线性方程的通解公式证明有关、会使用一阶线性方程的通解公式证明有关结论；结论；3、会解简单的积分方程、会解简单的积分方程.2021/8/22021/8/25 5一阶常微分方程初值问题解的基本理论一阶常微分方程初值问题解的基本理论内容总结内容总结一阶初值问题的存在及唯一性定理、解一阶初值问题的存在及唯一性定理、解的延拓定理、解对初值连续依赖性定理（连的延拓定理、解对初值连续依赖性定理（连续性定理）、解对初值的可微性定理续性定理）、解对初值的可微性定理.基本要求基本要求1、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握Picard逐次逼近法的基本过程（五个命题）逐次逼近法的基本过程（五个命题）2021/8/22021/8/26 62、掌握解的延拓定理（会完整叙述，弄、掌握解的延拓定理（会完整叙述，弄清不同的区域形态下延拓的最终情况）；清不同的区域形态下延拓的最终情况）；3、会阐述解对初值的连续依赖性定理和、会阐述解对初值的连续依赖性定理和连续性定理；连续性定理；4、会阐述解对初值的可微性定理，会写、会阐述解对初值的可微性定理，会写出解对初值的偏导数公式出解对初值的偏导数公式.2021/8/22021/8/27 7高阶线性微分方程高阶线性微分方程内容总结内容总结ln阶线性微分方程的形态、齐次方程、非齐阶线性微分方程的形态、齐次方程、非齐次方程次方程l齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、Wronsky行列式（行列式（W行列式判定函数相关性）、行列式判定函数相关性）、齐线性方程的基本解组和通解结构齐线性方程的基本解组和通解结构.l非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通解结构解、常数变易法解结构解、常数变易法l复值函数定义、分析性质、运算法则；复指复值函数定义、分析性质、运算法则；复指函数的定义性质、函数的定义性质、Euler公式公式2021/8/22021/8/28 8l常系数线性方程的基本解组求法（特别重要）常系数线性方程的基本解组求法（特别重要）lEuler方程方程l常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的非齐次项、待定系数法和复值函数法非齐次项、待定系数法和复值函数法l几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程的降阶（重点）的降阶（重点）l二阶线性方程的幂级数解法（了解）二阶线性方程的幂级数解法（了解）2021/8/22021/8/29 9基本要求基本要求l熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构结构l熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括Euler方程）方程）l熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线性方程的求解（待定系数法、复值函数法）性方程的求解（待定系数法、复值函数法）l熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到一熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到一个非零解的前提下求出另一个线性无关的解）个非零解的前提下求出另一个线性无关的解）l幂级数解法（了解即可）幂级数解法（了解即可）2021/8/22021/8/21010一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组内容总结内容总结l一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶线性方程转化为等价的线性方程组线性方程转化为等价的线性方程组l 齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表示，基解矩阵的有关性质示，基解矩阵的有关性质l非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式，非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式，通解公式，特解公式通解公式，特解公式l矩阵指数，矩阵指数的性质矩阵指数，矩阵指数的性质l常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）2021/8/22021/8/21111l常系数非齐次线性方程组的求解常系数非齐次线性方程组的求解基本要求基本要求n熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构结构n熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解（重点）（重点）n熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的求解求解2021/8/22021/8/21212试卷结构试卷结构u填空题填空题20分分1、基本概念；、基本概念；2、基本结论、基本结论u计算题计算题50~60分分各种类型的微分方程的求解（各种类型的微分方程的求解（7~9题）题）u应用题应用题10分左右分左右常微分方程建模并求解常微分方程建模并求解u证明题证明题10分左右分左右2021/8/22021/8/21313微分方程复习2021/8/22021/8/214141、基本概念微分方程　微分方程　凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．叫微分方程．微分方程的阶　微分方程的阶　微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解　微分方程的解　代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．式的函数称为微分方程的解． 2021/8/22021/8/215151、基本概念线性微分方程：线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．微分方程．性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线常系数线性微分方程性微分方程　　2021/8/22021/8/21616通解通解　如果　如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．解叫做微分方程的通解．特解特解　　确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．叫做微分方程的特解．初始条件初始条件　　用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题　　求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．叫初值问题．1、基本概念2021/8/22021/8/21717(1) (1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2、一阶微分方程的解法2021/8/22021/8/218182021/8/22021/8/219192021/8/22021/8/220202、一阶微分方程的解法(2) (2) 齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换2021/8/22021/8/22121齐次方程．齐次方程．（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程．否则为非齐次方程．(3) (3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程．化为齐次方程．2、一阶微分方程的解法2021/8/22021/8/22222(4) (4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程方程称为齐次的．方程称为齐次的．方程称为非齐次的方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1、、2、一阶微分方程的解法2、非齐次微分方程的通解为、非齐次微分方程的通解为2021/8/22021/8/223232021/8/22021/8/22424(5) (5) 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.2、一阶微分方程的解法解法　解法　 经过变量代换化为线性微分方程．经过变量代换化为线性微分方程．2021/8/22021/8/22525例例3 32021/8/22021/8/226263、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法 型型接连积分接连积分n次，得通解．次，得通解．2021/8/22021/8/227273、可降阶的高阶微分方程的解法特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得2021/8/22021/8/228283、可降阶的高阶微分方程的解法2021/8/22021/8/229293、可降阶的高阶微分方程的解法2021/8/22021/8/23030特点特点 型型解法解法3、可降阶的高阶微分方程的解法2021/8/22021/8/23131例例6 6解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为3、可降阶的高阶微分方程的解法2021/8/22021/8/23232（（1 1）　二阶齐次方程解的结构）　二阶齐次方程解的结构: :4. 4. 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构2021/8/22021/8/23333（（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构2021/8/22021/8/23434例例7 7解解（１）　由题设可得：（１）　由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得2021/8/22021/8/23535（２）　原方程为（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为2021/8/22021/8/23636５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.2021/8/22021/8/23737特征方程为特征方程为５、二阶常系数齐次线性方程解法2021/8/22021/8/23838特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法５、二阶常系数齐次线性方程解法2021/8/22021/8/23939６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法　　待定系数法待定系数法.2021/8/22021/8/24040６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法2021/8/22021/8/24141二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为2021/8/22021/8/24242代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为二、典型例题2021/8/22021/8/24343例例2 2解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为二、典型例题2021/8/22021/8/24444原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为二、典型例题2021/8/22021/8/24545由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为二、典型例题2021/8/22021/8/24646例例3 3解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为二、典型例题2021/8/22021/8/24747由由解得解得二、典型例题2021/8/22021/8/24848故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即二、典型例题2021/8/22021/8/24949解解例例4 4则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得二、典型例题2021/8/22021/8/25050解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得二、典型例题2021/8/22021/8/25151测 验 题2021/8/22021/8/25252测 验 题2021/8/22021/8/25353测 验 题2021/8/22021/8/25454测 验 题2021/8/22021/8/25555测 验 题2021/8/22021/8/25656测 验 题2021/8/22021/8/25757测 验 题2021/8/22021/8/25858测 验 题2021/8/22021/8/25959测验题答案2021/8/22021/8/26060测验题答案2021/8/22021/8/26161部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。