函数的解析式求法的思维导图讲解及针对性测试题.doc

函数的解析式求法的思维导图讲解及针对性测试题把两个变量之间的函数关系用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达 式，简称解析式用解析式表示函数的优点是函数关系清楚，易从自变量的值求出其对应的函 数值，便于用解析式来研究函数的性质求函数.f(劝的解析式常用的方法有：一、若已知函数的类型时，可用待定系数法求解待定系数法：在解决问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一 些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这种思维方法叫做待定系数法例1：已知函数/*(兀)为一次函数,且/[/(x)] = 2x-l,求/G)的解析式思维导图：第一步:设/(兀)=总+/?伙工0) T第二步：求/[/(x)] = k(kx + b) + b第三步:T令疋x + £b + b = 2x-l T第四步：列方程求解T第五 步：写出/(兀)的解析式解:v/(x)为一次函数,设f(x) = kx+b(k^0)f则 f[fM] = /(Ax+ /?) = k(kx+b)+b,由已知得k2x + kb + b = 2x-l,比较系数得\k2 =-2 \k = 41 \k = -41\ ,解得｛ /-或｛ l〔如 b = -1 [/7 = 1-V2 [/? = 1 + V2/. /(x) = +1-V2 或 /(x) = -V2x +1 + V2例2.己知/⑴是二次函数,若/(0) = 0,且/(x+l) = /(x) + x+l,求/(兀)。

思维导图：第一步:由已知设/(x) = ax1 + bx(a 0) 第二步：求/(兀+ 1)=q(x + 1)，+/?(兀+1) T 第三步:T 令 a(兀+ 1)，+/?(x + l) = ax2 +bx + x+lt第四步：列方程求解a,bi第五步：写出/(兀)的解析式解：因为/(兀)是二次函数，且/(0) = 0,故设/(x) = ax2 +bx.(a0),则 /(兀 + 1) = a(x +1)? + h(x +1) = ax2 + (2a + b)x + d + b,2d + b = b + l a + b = i21a- —2小结：待定系数法求函数解析式的步骤如下:第一步：设出所求函数含有待定系数的解析式，如一次函数解析式设为y = kx+ b伙HO),反比例函数解析式设为y = £伙工0),二次函数的解析式设为 /(x) = ax1 + bx + c, (d H 0)；第二部：把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；第三部：解方程或方程组，求出待定系数的值；第四部：将所求待定系数的值代回原式二、已知f[g(x)] = h(x)9求于(兀)时,可用换元法或配凑法：配凑法：以配凑的方式把函数式的一边变换成所给变量的函数形式，然后用变量兀替 换。

换元法：若已知y = f[g(x)]的解析式，求/(x)的解析式，可用此法，具体步骤是：令/ = g(x),由t = 求出兀，即用f表示兀，代入y = f[g(x)]中，得出/(/),即可得到/(兀)的解析式例1：已知/(1+丄)=土一 +丄，求/(X)oX X法一(换元法)：思维导图：第一步：设l+- = r t第二部：用r表示x,即x =— x t-12T第三步：把兀=丄代入土二+丄，整理T第四步：把/换成兀,t-\ X X既得f(x)c解：令 1+丄=/,/€(-oo,l)U (1,4-00),则有 X =—,x r-1代入-^+—中，可得/(r)= r2-r+i,即 /(x) = x2 -x+L xe (-ooj)U (l,+oo)o法二(配凑法)：思维导图：第一步：由上二+丄配凑出1+丄T第二步：用XX" X X代换1+—，既得f(X) O解：・・・/(1+丄)=丄+丄+ 1=(1+丄)2_(丄+ 1) + 1XXX X X又1 +丄H1,/. /(x) = X2 -x+l , XG (-00,1) U (1,+°°) 0三、方程组法：将函数中的自变量X适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程， 从而两个函数方程组成的方程组中，通过消元，得到所求函数的解析式。

例1：已知函数/G)满足V3/(%)- /(-) = x2,求/(x)的表达式X思维导图：第一步：令兀=丄，则有能/(丄)-/XX—T第二步：把两式联X X X立起来，解方程组，求得/(X) O解：・・・V^f(X)-/(丄)=/ (1)令2丄，则有V3/C-)-/(%) = ^7 (2)X X X联立(1)、(2)式消去/(丄)得，/(x) = |(V3x2+4)2 JT例2：己知/(兀)是偶函数,g(x)是奇函数，且/G) + g(x) =」一，求/(兀)和g(x) ox-1思维导图：第一步：令兀二一X，则有/(-%) + g(-x) =一! 第二步：利用-x-1奇偶性方程可化为/(x) -g(x) =———> 第三步：把两式联立起 -X-1来，解方程组，求得f(x) > g (兀)0解：•••/(>)+ g(x) = —\ (1)x-1令乳=一兀，则有 f(-x) + g(-x)=—-—-x-1又/'(X)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)-g(x) = —^―- (2)-x-1联立(1)、(2)式解得，| X/W = -5—，g(兀)=-^―, (x H ± 1)兀「一1 -1四、利用函数的奇偶性求解析式例1：设/(无)是定义在R上的奇函数，当兀>0时，/(x) = F+x + i,求函数/(兀)的解析式。

思维导图：第1步：设%<0 ,则-兀>0 T第二步：把-X代入/(X)= X2 +X+1 ,T第三步:利用奇偶性转化求出/(%) T第四步:求出/(0) = 0 ,并写出/(%) o 解：当兀>0时，则一x>0,由已知得f (-x) — (―x)~ + (―兀)+1, 即/ (—兀)=兀~ — X+1 ,又/(X)是定义在R上的奇函数，/(-%) = -/(%),・°・ f (x) — —%2 + X — 1 ,又 V /(o)= -/(0), /. /(0) = 0 ox2 + x + l,(x>0)・•・/(%) = <0 ,(兀=0)—兀？ + %—1,(% < 0)小结：此类问题的一般步骤是：第一步：“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，兀求设在哪个区间；第二步：把-X代入已知区间的解析式；第三步：利用/(X)的奇偶性写出/(-%)或-/(兀)，第四部:求出/(X)o五、针对性测试题：1 Y1 •已知/(! + -) =—,求/(兀)的解析式x \-x1 — r 1 — r22•已知/(—^) = —求/(兀)的解析式1 + X 1 + JT3. 已知 /(x) + 2/(-x) = x2 + 2x,求 /(x)的解析式。

4. 已知#*(兀)一/(1 一兀)=一疋+兀$ -1，求/(兀)的解析式5. 已知/(兀)为二次函数，/(兀+ l) + /(x —1) = 2兀2_2兀+ 4,求/(兀)的解析式6. 已知/(兀)为偶函数,且当兀>0吋,/(兀)"+ 2兀一3,求/(兀)的解析式。