同济大学第六版高数练习册答案上册.doc

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节 极限存在准则 两个重要极限1. 0；1；1；0；2；2/3 2. ;3. 证明：{}显然单调递增，，若，则3 {}单调有界，{}收敛，不妨设=a , 则有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解：第七节 无穷小的比较1.（B） 2. （A）3. 证明： 令 ， 当时，4. 解：（1）==（2）==（3）=（4）（5）==1/2（6）==（7）第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解： 在x=0 不连续，且x=0 为函数的第一类间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性1. B 2. 解：（1） 原式= （2）原式=-1 （3）原式=（4）原式=3. 解：由初等函数的连续性可知在连续， 在x=0处间断 在处连续总上可得的连续区间为（第十节 闭区间上连续函数的性质1.证明：令，则在连续，且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一个界于1与2之间的实根2. 证明：令在联系，且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一个界于0与2之间的实根，所以原命题成立。

3. 证明：令，则在上连续，并且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一点，使得，即至少存在一点，使第一章测试题一．选择题1．D 2.C 3.C 4.A 5.B二.填空题1. 2 2. 2 3. 4. 5. 2三.计算题1. 原式2.原式3.原式4.原式5.原式6.原式四 五.处连续 为无穷间断点 为可去间断点处连续六.设存在一点,使 使又无零点, 矛盾 七.设则 由零点定理至少存在一点, 使得, 即第二章 导数与微分第一节 导数概念1、(1) (2) 2、k3、(1) (2)4、 ； 5、（，），（，）6、解：因为 所以在处连续 因为 所以在处可导第二节 函数的求导法则1、2、3、或4、求下列函数的导数（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 5、解： 当时而当时，因为所以不可导（也可由函数在处不连续得它在处不可导）综合练习题1、证：2、证明： （1）设是奇函数，且可导 即 （2）设是偶函数，且可导即 另：也可用复合函数求导法 （1） （2）3、解：由于在处不连续，因此在处不可导 4、（1）（2）（3）（4）5、解：当时，，所以在处连续当时，，即在处可导，且但其导函数为当时，在处不连续 当及时 有 从而在处连续。

6、（1）（2）（3）7、解： 第三节 高阶导数1、解： 2、解：3、解： ……综合练习题1、（1）（2） 2、 代入方程即得证3、 4、第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率1、2、3、4、5、解：两边分别对x求导得 移项整理得： 6、解：两边取自然对数得 两边分别对x求导得 移项整理得： 7、解：8、解： 当时，由得，于是 从而综合练习题1、解：当时，两边取对数得两边对x求导得 移项整理得 2、解： 第五节 函数的微分1、 （1） （2） （3）（4） （5）2、（1）（2）（3）注：也可按微分的定义式先求然后写出微分第二章测验题1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C3、计算题（1）解：两边对x求导得 于是 （2）解： （3）解：由于 所以（4）解：设第三章3.11.否， 2.是，3.证明：设,由于，所以又由于 ，所以，即。

4.设，显然，在上连续，在内可导，，由罗尔定理知，至少存在一点，使，即方程必有一个小于的正根5.要证，只要证即可设，，两函数在满足柯西定理，则至少有一点使得，即可得到，得证3.21.-1，-4 2.1，13.(1)原式===(2)原式=(3)原式=(4)原式==(5)设=== =所以，原式=(6)原式=3.31.解 所以2.原式= = =3.利用的麦克劳林展式得 综合练习题1.略2.解：分别给出在时的泰勒展式 （1） （2） （3）(3)-(2)得： 3.原式= =-3.41. 错误2. 解 令，解得在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小当时，函数取得极大值8，当时，函数取得极小值-127 令，解得在区间，，，在区间，，而在内连续，故在和内曲线为凹，在内曲线为凸3. 解 ，因为点（1，3）为曲线的拐点故，解得4. 证明：令 在上单调增加又，即5. 证明：设， 在内， 曲线在内为凹弧 即3.51.（1）错误（2）错误（3）正确）（4）错误（5）错误2. 13. 解 令，求得驻点 因，故在处取得极大值，极大值为；因，故在处取得极小值，极小值为4. 解 因在处取极大值3，在处取极小值 故，， 即 解得，5. 解 令，求得驻点 由于，，，经比较在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。

6. 证明： 存在常数，使得当时， 即为极小值3.61. 解 定义域为奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在上进行 列表如下++————的图形拐点单增凸极大值点单减凸图略2. 解 定义域为无奇偶性，周期性有铅直渐近线，因为 列表如下+——+———+++的图形单增凸极大值点单减凸单减凹极小值点单增凹图略3.71. 2 2.3. 解，，由曲率公式，得，令，解得，而故曲线曲率最大点的坐标为3.81. 解 设，因为在连续，且，故由零点定理知在内至少有一个使又因为所以在上单调增加于是在内的零点是唯一的，即方程在 区间有唯一实根以下用二分法求这个根的近似值 中点符号0010.500+100.5000.250+200.2500.125—30.1250.2500.188+40.1250.1880.157—50.1570.1880.173—60.1730.1880.267+70.1730.2670.220+80.1730.2200.196+90.1730.1960.185+100.1730.1850.179—110.1790.1850.182—120.1820.1850.183+130.1820.1830.1833.43. 错误4. 解 令，解得在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小当时，函数取得极大值8，当时，函数取得极小值-127 令，解得在区间，，，在区间，，而在内连续，故在和内曲线为凹，在内曲线为凸。

为拐点3. 解 ，因为点（1，3）为曲线的拐点故，解得4. 证明：令 在上单调增加又，即5. 证明：设， 在内， 曲线在内为凹弧 即3.51.（1）错误（2）错误（3）正确）（4）错误（5）错误2. 13. 解 令，求得驻点 因，故在处取得极大值，极大值为；因，故在处取得极小值，极小值为4. 解 因在处取极大值3，在处取极小值 故，， 即 解得，5. 解 令，求得驻点 由于，，，经比较在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值6. 证明： 存在常数，使得当时， 即为极小值3.63. 解 定义域为奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在上进行 列表如下++————的图形拐点单增凸极大值点单减凸图略4. 解 定义域为无奇偶性，周期性有铅直渐近线，因为 列表如下+——+———+++的图形单增凸极大值点单减凸单减凹极小值点单增凹图略3.74. 2 5.6. 解，，由曲率公式，得，令，解得，而故曲线曲率最大点的坐标为3.82. 解 设，因为在连续，且，故由零点定理知在内至少有一个使又因为所以在上单调增加于是在内的零点是唯一的，即方程在 区间有唯一实根。

以下用二分法求这个根的近似值 中点符号0010.500+100.5000.250+200.2500.125—30.1250.2500.188+40.1250.1880.157—50.1570.1880.173—。