计算方法作业集答案1.doc

参考答案第一章1 =1.7； =1.73； =1.732 2．有效数字的位数1四位2三位3四位4四位5六位注：本题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差限与有效数字的关系求得3． （1） 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） 0.50517； （3） 0.500024．设有位有效数字，由»2.4494……，知的第一位有效数字=2 令 可求得满足上述不等式的最小正整数=4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取»2.4495. 答：（1） ()的相对误差约是的相对误差的1/2倍； （2） 的相对误差约是的相对误差的倍6． 根据 = 注意当时，，即 则有7．设，， 由 ， 即当有初始误差时，的绝对误差的绝对值将减小倍而，故计算过程稳定8. 变形后的表达式为： （1）= （2）= （3）= = （4）==第二章1．绝对误差限, 对分8次n隔根区间的符号1[1.5，2.5]2.0-2[2.0，2.5]2.25-3[2.25，2.5]2.375+4[2.25，2.375]2.3125+5[2.25，2.3125]2.28125-6[2.28125，2.3125]2.296875-7[2.296875，2.3125]2.3046875+8[2.296875，2.3046875]2.30078125满足精度要求的根近似值为2.30。

2． (1) 隔根区间[0, 0.8]； (2) 等价变形 ； 迭代公式 (3) 收敛性论证：用局部收敛性定理论证4) 迭代计算：00.410.470020.425330.454140.435650.447560.439970.444880.441690.4436100.4423110.4432 满足要求的近似根为0.4433． (1) ； (2) ； (3) ；4．牛顿迭代公式为：列表计算n00.410.470130.0720.465590.00530.465570.00002根的近似值为0.46566． 只需讨论的情形. 此时自然取. 由迭代公式有 且(算术平均数与几何平均数之间的关系)注意当时 . 则可证对任意迭代法收敛第三章1． x1=2，x2=1，x3=1/22．3． L = ， U = y1 =14, y2 = -10, y3 = -72 x1 =1, x2 =2, x3 =34. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.005. B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1 (E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1.6. x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T7.∣a∣>2第四章1.u=u 0 1 2 3 4 5 6( 1 , 1 , 1 )( 4 , 2 , 4 )( 14 , 8 , 14 )( 50 , 28 , 50 )( 178 , 100 , 178 )( 634 , 356 , 634 )( 2258 , 1268 , 2258 )4.00003.50003.57143.56003.56183.56153.5615 相应近似特征向量为 = 2258 ， 1268 ， 2258 ） ，（ ）第五章1． 取=100、=121用线性插值时，»10.7143； 取=100、=121、=144用二次插值时，»10.7228。

2．选取插值节点为：=1.4、=1.5、=1.6，»1.94473．利用，并注意当时，对，，故有 而时，，故有 ，4. ==5. （1）用反插值法得根的近似值=0.3376；（2）用牛顿迭代法得根的近似值=0.3376676. 令 可求得£0.2498（或£0.2289）7. (1) (2) 第六章1． 正规方程组为 = ， 2． 正规方程组为 = ， 3． 取对数 相应的正规方程组为 = ， 4．正规方程组为 = ， 第七章1. 解：运用梯形公式：误差：运用辛浦生公式：误差：2. 解：（1）左矩形公式将f(x)在a处展开，得两边在[a,b]上积分，得由于（x-a）在[a,b]上不变号，故有，使从而有（2）右矩形公式将f(x)在b处展开，并积分，得（3）中矩形公式将f(x)在处展开，得两边在[a,b]上积分，得3. 解：（1）求积公式中含有三个待定参数A-1、A0、A1，故令求积公式对f(x)=1、x、x2准确成立，即解得 A-1=A1=h/3, A0=4h/3显然所求的求积公式（事实上为辛浦生公式）至少具有两次代数精确度。

又有故 具有三次代数精确度2）求积公式中含有两个待定参数x1、x2，当f(x)=1时，有故令求积公式对x、x2准确成立，即：解得，显然当求积节点取x1=0.68990，x2=-0.12660或x1=-0.28990，x2=0.52660时，求积公式具有两次代数精确度3）求积公式中含有一个待定参数α，当f(x)=1、x 时，有故令求积公式对f(x)=x2成立，即：得 α=1/12 显然：故具有三次代数精确度4. 解：函数值表格x17/68/69/610/611/62f(x)00.154150.287680.405470.510830.606140.69315T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.386295. 解：令，得N≥2.54.取N=3,则至少要取2N+1=7个节点处的函数值6. 解：按照事后误差估计公式计算列表如下：k等分2k012312480.920735490.939793280.944513520.945690860.001573410.00039245<10-30.946145880.946086930.946083310.00000393<10-50.00000024因此，由梯形公式得I≈T8=0.94569086,精确到10-3；由辛浦生公式得到I≈S2=0.94608693，精确到10-5。

若取I≈S4=0.94608331，则精确到10-6 精确到10-3的结果为 I≈0.946.7. 解：采用极坐标系，令x=2cosq，y=sinq，则椭圆的周长为 由于，因此I有一个整数，故要求结果有四位有效数字，需截断误差≤1/2×10-3列表计算如下：k等分2k012341248162．3561942．4199212．4221032．4221122．4221122．4411632．4228302．4221152．4221122．4216082．4220672．4221122．4220742．422113故取I=2.422113，周长为l =4I=9.6888.（1）：取h=0.1，三点公式取，得 （2）：取h=0.2， 三点公式取，得 注：精确解为第八章1. 计算结果为：2. 计算结果如下： 梯形法欧拉预-校法0.10.20.33. 计算结果如下：（8.32）的（8.34）的0.10.20.34．计算结果如下：四阶R-K解（8.37）的0.10.20.30.40.55．参照欧拉预-校格式的证明6. 对在，，处进行Lagrange插值，得插值多项式， 然后在区间上积分，即可得到所要结果。