二轮专题复习(10)：数学综合问题.doc

鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化中心资料 初三中考第二轮总复习——数学综合问题中考第二轮专题复习十：数学综合问题学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 D 第13页 咨询热线：0757-86307067 13760993549（吉老师）一、【知识网络梳理】数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现．解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤．解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键．题型1方程型综合题这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．题型2函数型综合题函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．题型3几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1． 几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2． 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3． 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4． 解几何综合题应注意以下几点：（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系．（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化．（3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法．（4） 注意灵活地运用数学的思想和方法．解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．二、【知识运用举例】例1（05安徽省六安市）已知关的一元二次方程 有实数根．（1）求的取值范围（2）若两实数根分别为和，且求的值．例2（05北京市）已知关于的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．（1）求实数的取值范围．（2）当时，求a的值．例3（05重庆市） 如图2－4－18，，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD＝，且AB、AE的长是关于的方程的两个实数根．（1）求⊙O的半径．（2）求CD的长．例4．（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数根．（1）求x1，x2的值；（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．例5．（07茂名市）已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值．例7（05贵阳市）如图2－4－20，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围．例8（05吉林省） 如图2－4－21，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．例9（05湖南省娄底市）已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满足条件（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分△CPQ的面积？求出、所满足的条件． 例10（05桂林市） 已知：如图2－4－23，抛物线经过原点（0，0）和A（－1，5）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线与轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，），求四边形EOMD的面积．（用含的代数式表示）（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？请求出此时点P的坐标．例11（07上海市）如图9，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点A作轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．（1）若的面积为4，求点B的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线AB的函数解析式．图9解例13．（07北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点O，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．例14．（07宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．解：（1）如图2，点P即为所画点．(答案不唯一．点P不能画在AC中点) （2）如图3，点P即为所作点．(答案不唯一) （3）连结DB， 在△DCF与△BCE中， ∠DCF＝∠BCE， ∠CDF＝∠CBE， ∠ CF＝CE． ∴△DCF≌△BCE(AAS)， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD． ∴∠PDB＝∠PBD， ∴PD＝PB， ∵PA≠PC ∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．例15．(07南充市) 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．CAMBxyODE解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），∵　抛物线过点A和B，则　　　　解得　 则抛物线的解析式为　． 故　C（0，2）． （说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l是　x＝4．∵　Q（8，m）抛物线上，∴　m＝2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，∴　AQ＝． 又∵　B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，∴　PQ＋PB的最小值＝AQ＝．CAMBxyODEQPK图①l　　CAMBxyODE图②（3）如图②，连结EM和CM．由已知，得　EM＝OC＝2．CE是⊙M的切线，∴　∠DEM＝90º，则　∠DEM＝∠DOC．又∵　∠ODC＝∠EDM．故　△DEM≌△DOC．∴　OD＝DE，CD＝MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．则　OE∥CM． 设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴　　　解得　直线CM的解析式为．又∵　直线OE过原点O，且OE∥CM，则　OE的解析式为　y＝x． 例16．(07宿迁市) 如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切． （1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；（2）当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．解：⑴圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下： ⑵圆的直径等于正方形的边长一半时，覆盖区域的面积不是最大.理由如下： 设正方形的边长为a，圆的半径为r 覆盖区域的面积为S ∵圆在正方形的内部，∴0＜r≤ 由图可知：S＝a2―[（a―4r）2＋4r2－πr2] ＝a2―[（20―π）r2―8ar＋a2] ＝―(20―π) r2＋8ar ＝―(20―π)(r―)2＋∵ 0＜ ＜∴当r＝ 时，S有最大值 ∵ ≠∴圆的直径等于正方形的边长一半时，面积不是最大．已知抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B左侧，抛物线与y轴的交点为C。

（1）用含m的代数式表示OA+OB-OC的值； （2）若OC=O。