2022年2022年六年下册奥数试题-数的整除特征二全国通用含答案.pdf

第 2 讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125 等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识1）能被 7、11 和 13 整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11 或 13 整除，那么这个数就能被7、11 或 13 整除2）能被 11 整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11 的倍数重点难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13 整除的数为什么有上面的特征学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解例如：443716，判断它能否被7、11、13 整除的方法是： 716443=273因为 273 能被 7 整除，所以443716 能被 7 整除；因为273 不能被 11 整除，所以 443716 不能被 11 整除； 因为 273 能被 13 整除，所以 443716 能被 13 整除记忆要理论联系实际经典例题例 1用 1、 9、8、8 这四个数字能排成几个被11 除余 8 的四位数？思路剖析能被 11 整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除。

一个数要能被11 除余 8，那么这样的数加上3 后，就能被11 整除了，于是得到被11 除余 8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11 整除，那么这个数就是被11 除余 8 的数解答要把 1、9、8、8 排成被 11 除余 8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上 3 记作 q，且 p 和 q 的差能被11 整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，qp=209=11，所以 1988 是被 11 除余 8 的四位数如果一个数被11 除余 8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11 除也余 8，因此除 1988 外，还有 1889、8918 与 8819 共四个被11除余 8 的四位数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例 2如果下面这个41 位数能被 7 整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析对于数 555555，由于 555 555=0 是 7 的倍数，根据能被7 整除的数的特征，555555 也能被 7 整除；同理999999 也能被 7 整除，所以和也能被 7 整除，所以我们可以把这个41 位数分成几个数的和，其中部分能被7 整除。

解答=+5599，上式等号右边的三个加数中，第一个和第三个加数都能被7 整除，由此可推出5599能被 7 整除，所以55 99 能被 7 整除根据能被7 整除的数的特征，9955=44 也能被 7 整除，可推理得内应为6例 3有一堆苹果，要装在46 个箱子里，其中有45 个大箱子和一个小箱子，而小箱子装的苹果只相当于大箱装的数量的一半，现有个苹果， 如果规定按箱子大小平均分装苹果数是否能办到？思路剖析由于大小箱子装的苹果的数量不一致，不便于解题，所以我们可以统一成小箱子，则应有2 45+1=91个小箱子，那么是否恰好装完，并符合要求，关键是看总苹果数能否被91 整除，由于91=713，所以由整除的性质，只需要考虑 7、13 是否能整除总苹果数由于 13 整除 4979，而 7 整除 497949794979，那么必定有91 整除 497949794979，因为99 3=33，所以容易推出91 整除，所以能把苹果按规定装入箱子中解答245+1=91（个）， 713=91，因为 13 整除 4979，7 整除 497949794979，所以 91 整除 497949794979，则 91 整除。

名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 答：可以做到按箱子大小平均分装苹果例 4求能被 26 整除的六位数思路剖析因为 26=213，所以由整除的性质得能分别被 2 和 13 整除所以解此题可以从 2 整除入手解答因为 2 整除，所以 y 可能取0、2、4、6、8又因为13 整除，所以13 能整除与的差当 y=0 时，由于 13 整除 910，而 13 又要整除与 910 之差，所以13 整除又因为=100 x+19=（713+9）x+19=713x+9x+13+6 ，所以根据数的整除性质得13 整除9x+6，经试验可知，只有当x=8 时， 13 整除 9x+6，所以当y=0 时，符合题意的六位数是819910当 y=2 时，因为 13 整除，所以 13 整除与 912 之差，而 912=910+2，所以13 整除与 2 之差；与前面的相仿，=713x+13+9x+6 ，所以 13 整除 9x+6 2，即13 整除 9x+4。

经试验可得，只有当x=1 时， 13 整除 9x+4所以当y=2 时，符合题意的六位数是 119912同理，当y=4 时， 13 整除 9x+64，即 13 整除 9x+2，经试验可知，当x=7 时， 13 整除 9x+2，所以当y=4 时，符合题意的六位数是719914同理， 当 y=6 时， 13 整除 9x+66， 即 13 整除 9x 经试验可知， x 无解 （因为 x 是的最高位数码，所以x 0）所以当y=6 时，找不到符合题意的六位数同理，当 y=8 时， 13 整除 9x+68，即 13 整除 9x2经试验得，只有当x=6 时， 13整除 9x2所以当y=8 时，符合题意的六位数是619918答：满足本题意条件的六位数共有819910、119912、719914 和 619918 四个例 5从 0、1、 2、3、4、5、6、7、8、 9 这十个数中选出5 个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13 同时整除，这个数最大是多少？思路剖析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 这道题如果从10 个数字中选出5 个不同的数，组成一个五位数，再逐个判断每个五位数能否同时被3、5、7、13 整除，那是非常麻烦的。

可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13 这四个数两两互质，且 35713=1365， 那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数那我们只需用一个自然数去与1365 相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意，五位数中不能出现相同数字）解答设 1365 a（a 是自然数）的积是要求的五位数，可知：1365a100000，则 a73当 a=73 时，这个五位数是136573=99645，数字重复了，舍去；当a=72 时，这个五位数是 136572=98280，数字重复；当a=71 时，这个五位数是136571=96915，数字重复；当 a=70 时，这个五位数是95550，数字重复；当a=69 时，这个五位数是94185，符合题目条件所以，这个数是94185点津这道题从整体入手，先用3、5、7、13 相乘得 1365，在五位数中通过找1365 的最大倍数得到解答最后用枚举的方法时，虽然要计算1365 与 73、72、71、70、69 的积，但比起漫无边际地去找这样的五位数要简便得多例 6求能被 26 整除的六位数思路剖析由于 26=213，所以原数能被26 整除，转化为原数既能被2 整除，又能被13 整除。

解答因为要求的数能被2 整除，所以个位数字只能是0、2、4、6、81）当 B=0 时，数能被 13 整除根据能被13 整除的数的特征，必有（930=11）是 13 的倍数试算知 13 47=611所以差数是611，逆推出A=32）当 B=2 时，数能被 13 整除，必有（ 932A19= 13）是 13 的倍数试算知 131=13，所以差数为13，逆推出A=93）当 B=4 时，数能被 13 整除，必有（ 934A19= 15）是 13 的倍数试算知 1355=715，所以差为715，逆推出A=24）当 B=6 时，数能被 13 整除，必有（ 936A19= 17）是 13 的倍数试算知 117 是 13 的倍数，逆推出A=85）当 B=8 时，数能被 13 整除，必有（ 938A19=19）是 13 的倍数，试算知 819 是 13 的倍数，从而推出A=1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以，所求的六位数共有五个，即：319930，919932，219934，819936，119938。

例 7用数字 6、7、 8 各两个组成一个六位数，使它被168 整除这个六位数是多少？思路剖析168=356，3 与 56 互质因为6+6+7+7+8+8=42 ，42 是 3 的倍数，所以用6、7、8 各两个组成的所有六位数都能被3整除 问题转化为使组成的六位数能被56 整除因为 56=78，7 与 8 互质，所以只要组成的数能被7 整除，又能被8 整除即可要能被8 整除，只要看末三位数，如果能仅用6、7、8 各一个数组成能被8 整除的三位数，那么把它连写两遍得到的六位数就合乎要求而用6、 7、8 各一个数不难组成被8 整除的三位数解答768 能被 8 整除， 768768 也就能被8 整除，它又能被7 整除，而7 与 8 互质，所以它能被 7 与 8 的积 56 整除 7+6+8+7+6+8=42 ，3 整除 42，所以 768768 能被 3 整除，由于3与 56 也互质，因此，768768 就能被 3与 56 的积 168 整除点津本题初看无处下手，但是我们应用整除性质“一个数能被互质的两个自然数整除，就一定能被这两个互质数的积整除”，把问题逐步转化，实现了化难为易的目的例 8甲、乙两人进行了下面的游戏。

两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字之一组成一个六位数的一位，数字可重复如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N 整除，就算甲胜设N 小于 15，那么当N 取哪几个数时，乙才能取胜？思路剖析我们列出乙不能获胜的N 的取值情况N 取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就能使六位数不能被N 整除，乙不能获胜N=5，甲可以在六位数的个位填一个不是0 或 5 的数，甲就获胜解答如果 N=1，很明显乙必获胜如果N=3 或 9，那么乙在填最后一全数时，总是把六位数字之和凑成3 的整倍数或9 的整倍数因此乙必获胜当 N=7、11、 13 时是本题最困难的情况注意到 1001=71113，乙就有一种必胜的办法我们从左到右数这六位数，把第一位与第四位，第二位与第五位，第三位与第六位配对，甲在一对数位的一位上填上某一个数字后，乙就在这一对数位的另一位上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除，因为若按我们的方法得到的六位数是，由于这个六位数就能被7、1。