贾浩帅小波分析.doc

基于MATLAB的变压器故障信号处理摘要：介绍小波分析的基本理论，运用小波的多分辨率分析对变压器故障信号进行分析，然 后利川小波消噪原理分别川软阈值消噪和破阈值消噪对信号进行处理，最后结合小波模极人 值原理对信号的进行奇异性检测，找到故障发生的位置关键词：多分辨率分析软阈值消噪硬阈值消噪模极大值奇异性分析一小波分析的基本理论小波分析(Wavelet Analysis)或多分辨分析(Multiresolution Analysis)是傅里叶分析仪 发展史上里程碑式的进展，也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶其皐础理 论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析，涉及到电子工程、电气工程、通信工程利计 算机工程等，其同时具有理论深刻和工程应川1-分广泛的双重意义小波(wavelet),即小区域的波，是一种特姝的长度右限(紧支集)或快速衰减，H均 值为0的波形1. 小波函数小波函数的确切定义为：设p(/)为一平方可积函数，即中⑴ 若其傅里叶变换仔(0)满足条件:(1-3)则称p(/)为一个基木小波或小波母函数称式(1-3)为小波函数的可容许条件把小 波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比，傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限 制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则和不对称。

傅里叶分析是将信号分解成一•系列 的不同频率的正弦波德叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些 函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的信号局部的特性用小波函数來逼近尖锐 变化的信号显然要比光滑的止弦曲线要好将小波母函数0⑴进行伸缩和平移，就可以得到函数中」):a, r g R a>0(1-4)式也a为仲缩因子，厂为平移因子，中为依赖于参数“和厂的小波基函数，由于尺度因子a和平移因子「是连续变化的值，因此称%⑴为连续小波基函数它们是由 同一组母函数0(f)经伸缩和平移后得到的-组函数序列小波奇函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当“逐渐增大吋，棊函数申小的吋间 窗口也逐渐变大，而其对应的频域窗口也相应减小，中心频率逐渐变低相反，当a逐渐减 小时，基函数$”(/)的时间窗口逐渐减小，而其频域窗口相应增大，中心频率逐渐升高小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时I'可窗和频率窗 都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具冇较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率，所以被称之为数学显微镜2. 小波变换小波变换的含义：把一称为基木小波的函数0(f)做位移7■后，再在不同尺度a下与待 分析信号x (t)做内积：WTk = -j= £ x (t) ^-)dt a>0等效频域表示是：X (i//\aco)A(o式中,X G 0(力)分别是x (t), 0(f)的傅里叶变换。

小波变换具有以下特点和作用：(D 具有多分辨率(也叫多尺度)的特点，可以rh粗到细地逐步观察信号2) 我们也可以把小波变换看成川基木频率特性为肖(血)的带通滤波器在不同尺度d下 対信号做滤波3) 适当地选择基本小波，使肖⑴在时域上为有限支撑，修⑺)在频域上也比较集中， 便可以使小波变换在时、频两域祁具有表征信号局部特征的能力，这样就有利于检 测信号得瞬态或奇异点连续小波变换3. 多分辨率分析多分辨分析是整个小波分析的精髓所在在工程应用中利用小波变换对信号进行处理, 应用最广泛的是二进小波变换，它对尺度参数进行离散化，而对时间域上的平移参量保持 连续变换，不破坏信号在时间域上的平移参量1988年，Mallat在构造正交小波基时，提 出了多分辨率分析的概念，从空间的概念上形彖地说明了小波的多分辨率性，对止交小波 基的构造方法进行了统一，提出了正交小波变换的快速算法，即Mallat算法采用正交小波变换时，任意信号X(f) G Z?(R)可采用多分辨率分解公式表示为：J无⑴=工勺伙)0从⑴+工工d &)中j k⑴k J-l K式中，(pjk(t) = 2-J,2(p(2-Jt-k)为尺度函数；鸭从⑴= 2"2为小波函数；｛俗/)｝为 尺度空间匕•的标准止交基；｛/，卫)｝为小波空间为的标准止交基。

匕」=岭㊉％,其T为 为岭在匕“空间的正交补空间，J为尺度j的某个特定值，分解系数勺伙)和/•⑹分别称 为离散平滑近似信号和离散细节信号其递推公式如K：幻+1伙)=工力()(加-2k )幻伙)mdj+i 伙)=工勺(m - 2k )a. (k)m式中，几和九分別是低通数字滤波器和高通数字滤波器的单位取样响应1)口0伙)，构成正交镜像对称滤波器组d田仗)和幻+")分别是h°(-k)和勺(-幻 卷积后再抽取得到的信号序列多分辨率分解只是对低频部分进一步分解，而窩频部分则不 予以考虑所以小波多分辨率信号分解可用多抽样率子带滤波辭组来实现，在小波分解中， 设采样频率为则班町占据的频带为0〜厶/2,经过J级分解，得到心伙)，d2(k)…dj(k) , Qj(k)这J+1个序号列，所占据的频带依次为：人/4〜/；/8, £/8~厶/16,…厶/2戸~£./2丿，0〜£/2田,由此可以将所需的频段提取出来,这 就是用滤波器实现小波多分辨分析的原理二.基于MATLAB小波分析的变压器故障信号处理变压器发生匝间短路时电压波形如下图所示，该信号中包含了噪世和故障引起的突变 点，需要利用多分辨析理论对该信号进行分析，消噪，利川模极大值理论检测奇异点。

1.小波分析方法在滤波和消噪方而的应用1.1小波去噪的方法实际工程中的有用信号通常表现为低频信号或一些比较平稳的信号，而噪芦通常表现 为高频信号，对含有噪声的有川信号做小波分解，噪声信号主要表现在各个尺度的信号中的 高频信号部分而且，一般所分析的信号常常是非平稳信号，它可能包含尖峰和突变的表现, 噪声也可能是非平稳的口噪声要分析这类信号，必须对信号作预处理，将信号中的噪声尽 可能地压制，以便捉取有用的信号，非平稳信号除了含有非常有川的低频信号外，其突变部 分通常反应了检测对象的某些重要特征，含有较丰富的髙频信号，因此，对非平稳信号作滤 波预处理，既要消掉噪声所表现的高频量，又要保留那些反应信号突变部分的高频量阈值去噪方法一种实现简单、效果较好的小波去噪方法、阈值去噪方法的思想就是对小 波分解后的各层系数中模值大于和小于某阈值的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再 经过反变换，重构出经过去噪后的信号1.2阈值函数在阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数模值的不同处理策略以及 不同估计方法，设Q是原始小波系数，〃(血)表示阈值化后的小波系数，T是阈值，1,兀是真/(x) = T)（b） 软阈值函数〃（0）=（0-sgn（0）T”（岡 ＞丁）分析软、硬阈值萎缩方法在高斯噪声条件下的偏差、方差，并得出结论：①给定阈值 T,软阈值总比映阈值萎缩造成的方差小；②当系数充分大吋，软阈值比换阈值方差造成的 偏差大；③当系数在T附近时，硬阈值方法有较大的方差。

1.3小波去噪在MATLAB中的仿真首先根据多分辨率分析理论对该信号进行分解，分别川对称小波coifl和不对称小波db4分析该信号得如图所示：Decomposition at level 3 : s = a3 ♦ d3 ♦ d2 * d1 ・图2 coif小波分解图3 db4小波分解在db4小波分解的基础上，用软阈值消噪处理波形，并进行残差分析，如图4, 5所图4软阈值消噪结果Histogram080.60.20-2000200400Cumulative histogramAutocorrelationsFrequencyMean | -0.04169Median [―0.008495Mode | -5.787MaximumMinimumRange736.7Standard deviation | 16.95Median absolute deviation 0.5497Mean absolute deviation | 2.702图5软阈值消噪的残差分析用硬阈值消噪处理波形，并分析残差分析如下所示:图6硬阈值消噪结果2001000-100-2000.80.60.40.2010.50f"-500 1000Histogram-150 -100 -50 0 50 100 150Autocorrelations-200 -1000 100 20030 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Frequency图7硬阈值消噪方差分析对比图5和图7可知，软阈值比硬阈值方差造成的偏差人。

2 .棊于小波变换的信号奇异性检测2.1信号奇异性的概念经过消噪后的信号中的奇异点及不规则的突变部分经常携带有比较重要的信息，这些 信息往往以某种特征表现岀来，信号的奇异性常常是分析信号特征的关键，信号的奇异性分 析是提取信号特征的重要手段长期以来，傅里叶变换是研究信号奇异性的主要工具，其方 法是研究信号在傅里叶变换域的衰减以推断信号是否具有奇异性及奇异性的人小但傅里叶 变换缺乏空间局部性，它只能确定一个信号奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的 位置及分布情况由于小波变换在吋域和频域上可同吋对信号实现局部化处理，更符合信号 非平稳的变频带结构特征，因此，利用小波变换进行信号奇异性的检测是行Z有效的2. 2小波变换及其模极人值是函数f （x）的卷积型小波变换，在尺度$（）下，称点（$（）占）是局部极值点，QW （s %）若_ 在兀上有一过零点，称（％,X为小波变换的模极大值点，对于属于X的某CX一领域的任一点x,有Wf （s,x） ＜旳（6,兀°）2.3信号奇异性检测原理S.Mallat在1992年将Lipschitz指数与小波变换后的系数模的局部极人值联系起來， 通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性。

基于小布变 换的信号奇异性检测对以应用与故障诊断等领域定义1设/(x)e£2(/?),称函数/(%)在兀处具有Lipschitz指数a,是指对(Bq是的任意开邻域)，存在常数K,使得|f(x)-f(x0)| <定理2若小波0(力是实函数且连续对微，并且有n阶消失矩(〃wZ‘)， /(x)eL2(/?)则函数/(x)在％处具有Lipschitz指数当且仅当存在常数K,使得 Vxw%其小波变换满足：帆/⑴卜"：则兀是函数/⑴局部突变点(奇异点), 则在该点处/(%)的小波变换系数取模极大值2.3奇异性。