整式(讲+练)【10大题型】 【核心知识高效识记+巩固提升】人教版七年级数学 上册核心考点精讲精练（含答案解析）.docx

整式单项式 单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．题型1：列代数式1.下列单项式书写规范的是（　　）A．a4b B．﹣1x2 C．2xy3 D．【分析】直接利用代数式的书写形式，进而分析得出答案．【解答】解：a4b应写为4ab；﹣1x2应写为﹣x2；1abc应写为abc．符合书写规范要求的是2xy3．故选：C．【点评】此题考查代数式，掌握列代数式的要求是解本题的关键．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）系数是带分数时，必须化成假分数；（2）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（3）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．【变式1-1】下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　）A．x×5 B．xy C. D．x-1÷y解：x×5应写成5x,∴选项A不符合题意；∵xy符合整式的规范书写规则，∴选项B符合题意；∵xy应该写成xy,∴选项C不符合题意；∵x-1÷y应该写成x-∴选项D不符合题意，故选：B．题型2：用字母表示数量关系2.苹果每千克a元，梨每千克b元，则整式2a+b表示购买　 　．【分析】根据题意说出代数式表示的实际意义即可．【解答】解：∵苹果每千克a元，∴2a表示2千克苹果的钱数，则整式2a+b表示购买2千克苹果和1千克梨的钱数，故答案为：2千克苹果和1千克梨的钱数．【点评】本题考查的是代数式的知识，根据题意和实际情况说出代数式表示的实际意义是解题的关键．【变式2-1】用代数式表示：a、b两数的平方差为　 　，a、b两数差的平方为　 　，a、b两数的平均值为　 　．【分析】a、b两数的平方差就是对a、b首先平方，然后对平方求差；a、b两数差的平方是首先对a、b进行求差，然后对差求平方；根据平均数的定义可以求得a、b的平均数．【解答】解：a、b两数的平方差为 a2﹣b2，a、b两数差的平方为 （a﹣b）2，a、b两数的平均值为 ．故答案是：a2﹣b2，（a﹣b）2，．【点评】考查了代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．题型3：用字母表示图形面积3.已知如图，计算图中阴影部分的面积，最简结果为 　 　．【分析】用代数式表示出三个小长方形的面积，计算三个小长方形的面积和即可．【解答】解：观察图形可知：阴影部分的面积为：b（3b+2a）+3a•a+3a•a＝3b2+2ab+6a2．故答案为：3b2+2ab+6a2．【点评】本题考查列代数式及整式加减运算的应用，看懂图形，用代数式表达出三个小长方形的面积是解题的关键．【变式3-1】如图，把7个长和宽分别为a，b的小长方形（图1），拼接在一起构成如图2所示的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积为 　 　．（用含有a，b的代数式表示）【分析】阴影部分的面积＝长方形ABCD﹣7个小长方形的面积．【解答】解：根据题意知，AB＝a+b，BC＝a+2b．阴影部分的面积＝（a+2b）（a+b）﹣7ab＝a2﹣4ab+2b2．故答案为：a2﹣4ab+2b2．【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，找到组成长方形ABCD的图形的长与宽．【变式3-2】如图，某广场长为a米，宽为b米，四个角铺了四分之一圆的草地面积，若圆的半径为r米，用含a、b、r的代数式表示空白广场面积共有 　 　平方米．【分析】用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积和即可．【解答】解：根据题意，空白广场面积共有（ab﹣πr2）平方米，故答案为：（ab﹣πr2）．【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握结合图形确定计算空白部分面积的算法．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．注意：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．题型4：确定单项式的系数和次数4.单项式的系数和次数分别是（　　）A．和3 B．和2 C．和4 D．和2【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．单项式的次数就是所有字母指数的和．【解答】解：单项式的系数和次数分别是，2．故选：A．【点评】本题考查了单项式的系数与次数的定义，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【变式4-1】单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（　　）A．﹣3π，6 B．3π，6 C．3，7 D．﹣3，7【分析】根据系数、次数的定义进行求解即可．【解答】解：﹣3πxy2z3的系数为﹣3π，次数1+2+3＝6，故选：A．【点评】本题主要考查了单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义，是解题的关键．【变式4-2】单项式系数为 　 　，次数为 　 　．【分析】根据单项式的系数和次数的意义判断即可．【解答】解：单项式系数为：﹣π，次数为：5，故答案为：﹣π，5．【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键．题型5：单项式的概念与求字母的值5.若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　）A． B． C． D．【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题．【解答】解：由题意得：m＝﹣，n＝4．∴m+n＝﹣+4＝．故选：C．【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．【变式5-1】若关于x、y的单项式2xym与﹣ax2y2系数、次数相同，试求a、m的值？【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义得出答案．【解答】解：∵关于x、y的单项式2xym与﹣ax2y2系数、次数相同，∴﹣a＝2，1+m＝4，解得：a＝﹣2，m＝3．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数是解题关键．【变式5-2】若（m+n）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为6，试求m，n的值．【分析】根据单项式的次数和系数的定义可知m+n＝6，2+n+1＝5，先求得m、n的值，然后利用有理数的乘法法则求解即可．【解答】解：∵（m+n）x2yn+1是关于x、y的五次单项式，且系数为6，∴m+n＝6，2+n+1＝5．解得：m＝4，n＝2．【点评】本题主要考查的是单项式的概念，根据题意得到m+n＝6，2+n+1＝5是解题的关键．【变式5-3】已知﹣axbya是关于字母x、y的一个五次单项式，且系数为4，求（a+b）（a﹣b）+a的值．【分析】根据单项式的次数和系数，列出等式，求得a，b的值，代入计算即可．【解答】解：∵﹣axbya是关于字母x、y的五次单项式且系数为4∴a+b＝5，﹣a＝4∴a＝﹣4，b＝9∴（a+b）（a﹣b）+a＝（﹣4+9）×（﹣4﹣9）﹣4＝5×（﹣13）﹣4＝﹣69．【点评】本题考查了单项式的次数和系数的概念，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，还考查了求代数式的值．多项式多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．注意：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．（3）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（4）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．题型6：多项式的相关概念及识别6.下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，是多项式的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据多项式的定义，即可解答．【解答】解：下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，是多项式的有：﹣xyz+1，所以，共有1个，故选：A．【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．【变式6-1】对于多项式2x3+3x2﹣1，下列说法中错误的是（　　）A．多项式的次数是3 B．二次项系数为3 C．一次项系数为0 D．常数项为1【分析】根据多项式的项数、次数，以及项的次数、系数的定义即可作出判断．【解答】解：A、多项式的次数是3，正确，不符合题意；B、二次项系数为3正确，不符合题意；C、一次项系数为0，正确，不符合题意；D、常数项为﹣1，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了多项式的有关定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．【变式6-2】多项式是 　 　次 　 　项式．【分析】根据多项式的项和多项式的次数的定义得出即可．【解答】解：多项式是八次四项式，故答案为：八，四．【点评】本题考查了多项式的次数和项的定义，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键，注意：两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，多项式中，次数最高的项的次数，叫多项式的次数．题型7：多项式的相关概念求字母的值7.若﹣xny2n+1z+x2y+4是五次三项式，求正整数n的值．【分析】直接利用多项式的定义得出单项式的最高次项进而得出答案．【解答】解：∵﹣xny2n+1z+x2y+4是五次三项式，∴n+2n+1+1＝5，解得：n＝1．【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的定义是解题关键．【变式7-1】已知多项式﹣3x2ym﹣1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式2x2ny的次数与该多项式的次数相同．（1）求m、n的值；（2）把这个多项式按x的降幂排列．【分析】（1）利用单项式与多项式的有关定义得到2+m﹣1＝5，2n+1＝5，然后分别求出m、n；（2）根据降幂排列的定义求解．【解答】解：（1）∵多项式﹣3x2ym﹣1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，∴2+m﹣1＝5，∴m＝4．∵单项式2x2ny的次数与该多项式的次数相同，∴2n+1＝5，∴n＝2．（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．【点评】本题考查了多项式。