高中数学竞赛“代数问题”高级讲稿.doc

高中数学竞赛“代数问题”高级讲稿浙江省杭州第十四中学 马茂年（中国奥数高级教练、数学特级教师）知识方法 在高中数学竞赛中，代数方面的问题是多种多样的，主要包括：函数与方程问题（函数的解析式，函数的最值、方程根的讨论等），数列问题(递推数列、数列的通项、数列不等式等)，不等式问题（不等式的求解、证明及应用等）、复数与三角问题等等解决代数问题的方法和策略也是多种多样的，主要的方法包括：探索法、化归法、转换法、构造法、数形结合法、数学归纳法、递推法等等要点突破1．集合的概念与运算例1 在集合中，任意取出一个子集，计算它的所有子集的元素之和例2 已知集合，且，求参数的取值范围例3 已知,集合. 若,求的值例4 已知集合.若,求…+的值例5 已知A为有限集，且，满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等，写出所有这样的集合A例6 已知集合,若,求实数的取值组成的集合A.例7 已知平面上两个点集 R}, R}. 若 , 求的取值范围例8 已知集合,,其中,.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.例9 满足条件的函数形成了一个集合M,其中,并且,求函数与集合M的关系.例10 对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”“交替和”求出所有的“交替和”.2．集合的划分例11 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．例12 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？例13 能否给出集合的一个划分，使得的内部各元素之和恰成等差数列3．二次函数例14．集合={}，={}，，求实数的取值集合．例15．考察所有可能的这样抛物线，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点．例16．抛物线的顶点位于区域内部或边界上，求、的取值范围．例17．设=时，二次函数有最大值5，二次函数的最小值为－2，且＞0， +=,=25．求的解析式和值．例18．已知0≤≤1, =,的最小值为．（1） 用表示；（2）求的最大值及此时的值．例19．一幢（＞2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳－1个人，现有－1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？例20．已知方程，其中＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大．例21．若抛物线与连接两点（0，1），（2，3）的线段（包括、两点）有两个相异的交点，求的取值范围．例22．已知：≥≥≥≥2，且＋＋≥，求证：.例23．定义在上的奇函数，当≥0时，=－．另一个函数=的定义域为[,],值域为[],其中≠,、≠0．在∈[,]上, =．问:是否存在实数,使集合{恰含有两个元素?4．函数迭代例24．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。

①求证：AÌB；②如果A={－1,3}，求B例25．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值例26．研究函数f(x)= +的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，并在此基础上，作出其在的草图．5．代数方程例27． 设 mÎR，关于x 的方程 (a＞0且a≠1) 有几个实根？证明你的结论．例28．解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)6．周期函数例29． 若f(X)是在集M上以T为最小正周期的周期函数则K*f(X)+C（K≠0）和1/f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T为最小正周期的周期函数 例30． 若f(X)是集M上以T为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数） 例31． 设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

7．三角函数例32． 已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围　　例33． 已知，且，求cos(x+2y)的值例34．求出（并予以证明）函数例35． 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得　　sin(cosc)=c, cos(sind)=d例36． 已知对任意实数x，均有　　　　求证：8．代数函数综合问题例37．定义在实数集上，且对于一切实数满足等式：和，设是的一个根，记在区间中的根个数为，求的最小值练习1 设函数在上满足， 且在闭区间上，只有1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论例38．求的图象与轴交点坐标练习2 已知实数满足，求的值例39．设函数且严格递增，当互质时，，若求的值练习3 设函数且严格递增，，求例40．已知，试判断实数的大小关系，并证明之练习4 已知，求的首位数字例41．已知为非零实数，，且若当时，对于任意实数，均有，试求出值域以外的唯一数练习5 已知函数，方程的两个根为，且（1）求证：也是方程的根；（2）设的另两个根是，且，试判断的大小例42．已知a, b, c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值.练习6 设实数使得方程有三个正实根。

对于所有满足条件的实数，求的最小值．。