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例说两条直线交点轨迹的求解策略河北唐山第六十二中学 张俊如 063030求两条直线交点的轨迹是轨迹问题中的重要题型，但学生由于不能灵活运用知识间的相互联系，选择适当的方法，解题时困难较大下面结合实例说明此类问题的解题策略例 1：（2000 年春季高考）已知抛物线 ， ，O 为顶pxy42)0(点，A、B 为抛物线上两动点，且满足 ，如果 于 ，求OBAABM点 的轨迹方程M分析一：因点 是直线 与 的交点，所以，联想到写出直线M与 的方程，用方程组消参的方法求解，其中 可转化为O0BA解法 1：（方程组消参法）设 ， ， ，),(yxM),4(12ypA),4(2ypB则 ， ，,1O,因为 ，所以BA016212ypyOBA解得： 216py又因为 212144ypykAB所以，直线 AB 的方程为： )4(211pyxy即 …………………………….①212164ypxy又因为 ，所以ABOM直线 的方程为： …………………..②xpy421由① ②得：xy2即： ， ………………③042px)(当直线 AB 与 轴垂直时，可求 M 的坐标为 ，满足方程③)0,4(pxyO MBAQ图 1故所求点 M 的轨迹方程为 042pxyx)(分析二：因直线 OM 过定点 ，由解题经验可知,若 ，则)(OOBA直线 AB 必过 轴上的一个定点，记为 ，所以，联想到先求出定点x)0x 的坐标，再用 求解。

0QO解法 2：设 ，直线 AB 的方程为),(yxMbkxy)0(并设 ，),(1A,2B由 得 pxybk42 0)4(2bxpk所以， ，21k21xkpbbxxy4)(2又因为 ， ，OBA),(1yx),(2yxOB所以 021yx所以 , .4kpbpbk4所以直线 AB 的方程为 xy即： )4(pxby所以直线 AB 过定点 )0,(Q又因为 ， ，ABOMyx),4(ypxM所以 0)4(2px即： …………..（*）2yx当直线 AB 与 轴垂直时，易求得 M 点的坐标为 ,也满足方程(*))04(p故所求点 M 的轨迹方程为： 042pxyx)(点评：解法 1 中方程组消参法是求两动直线交点轨迹方程的重要方法，消参的方法很多，因题而异，应灵掌握解法 2 中用到了直线过定点，这要求学生在解题时，要善于总结题目的规律特征，解题的经验对解高考题是很重要的，解此题时很多考生都没有讨论直线 AB 与 轴垂直的情况，x应引起重视例 2：已知 M 是双曲线 上的动点，42yx点 A、B 分别是双曲线的左右顶点，l 1与 l2分别是过 A、B 两点的直线，且 l1⊥MA ,l 2⊥MB ,求两条直线 l1与 l2的交点 N 的轨迹方程。

分析一：将 NB⊥MB , NA⊥ MA 转化为斜率之积等于－1，由点 N 满足的两个已知条件列出方程组，采取整体消参法解法 1：设 ， ，因为 ，),(0yxM),(yx)0,2(A),(B， BA所以 )2.(120xy由（1） （2）得)3.(120xy因为 ，所以 代入（3）得40yx4，即：122yx经检验点 、 不合题意，)0,(),所以，N 点轨迹方程为 ， （点 、 除外）42yx)0,2(),分析二：因为点 N 随着点 M 的运动而运动，说明点 N 的坐标与点M 的坐标一定有着内在的联系，而点 M 又在已知的双曲线上运动，所以联想到用代入法求解解法 2：设 ， ，因为 ， ，),(0yx),(yxBNMAOAMNl1l2xy图 2B，),2(yxNB),2(0yxMB，,A,A所以 0)2(0yx)2(4)( 10 x由(2)－(1)得 , ∴x4)3(0x把(3)代入(1) 得 4420y把（3） （4）代入 得2x2yx经检验点 、 不合题意 ,)0,2(),所以 N 点的轨迹方程为 ， （点 、 除外）42yx)0,(),2点评：求两条直线交点的轨迹方程的常规方法是方程组消参法。

当两个动点存在某种内在的联系，而其中一个动点在已知曲线上运动，求另一个动点的轨迹方程，经常采用代入法求解。