怎样证明直线与圆相切？(共4页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．例1：已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．求证：PA是⊙O的切线．证明：连接EC．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90，∴∠E＋∠EAC=90．∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90，∴∠EAP=90，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q为AC的中点．求证：PQ必为⊙O的切线．证明 连接OP，CP．∵BC为直径，∴∠BPC=90，即∠APC=90．又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90，∴∠OPQ=90．∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF的中点。

求证：以EF为直径的圆与BC相切．证明：作OH⊥BC于H，设AD与EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，则OHDM是矩形．∴OH是⊙O的半径，则EF为直径的圆与BC相切.思考题：1．AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=CD，EF过点C，EF⊥BD于G．求证：EF是⊙O的切线．提示：连接CO，则OC是⊙O的半径，再证OC⊥EF．2．DB是圆的直径，点A在DB的延长线上，AB=OB，∠CAD=30．求证：AC是⊙O的切线．提示：∵AC与⊙O没有公共点，∴作OE⊥AC于E，再证OE是⊙O的半径．专心---专注---专业。