卡方分布概念及表和查表方法.docx

卡方分布概念及表和查表方法若n个相互独立的随机变量红，空，...,和，均服从标准正态分布(也称独立同分布于 标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其 分布规律称为卡方分布(chi-square distribution)中文名卡方分布外文名chi-square distribution别称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert提出时间1863应用学科统计学目录1简介2定义3性质4概率表简介2 2二 分布在数理统计中具有重要意义人 分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的， 后来由海尔墨特但ermert)和现代统计学的奠基人之一的卡•皮尔逊(C K • Pearson)分别于 1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布定义若n个相互独立的随机变量红、空、 、如，均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和Q心、亠 、 ，、以构成一新的随机变量，其分布规律称为川 分布(chi-square distribution),其中参数：•称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由 度不同就是另一个,厂分布。

记为〔」-厂川或者u - a （其中「二「：+匸为限制 条件数）亠 加卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度「很大时，我 分布近似为 正态分布对于任意正整数X,自由度为｛■的卡方分布是一个随机变量x的机率分布性质1） 二 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数「 的增大，•‘厂分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是12 22） ：分布的均值与方差可以看出，随着自由度「的增大，分布向正无穷方向延伸（因 为均值「越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差［「越来越大）3） 不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜2 Z j j 24） 若互相独立，则:厂凡门―厂山I服从廿分布，自由度为 门2 25） ：分布的均数为自由度「，记为E（,i ） =「2 2 宀■分布的方差为2倍的自由度），记为D（ ,「）概率表2 2 丄分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在丄分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过人分布表中列出不同的自由度来表示，.2的概率值，所以丄 分布中所给出的P值就不象标准正态分布中那样给出了 400个不同的 P值，而只给出了有代表性的13个值，因此二 分布概率表的精度就更差，不过给出了常 用的几个值，足够在实际中使用了。

2 2查；：分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的;■:值如上图所示的单侧 概率;■: 0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率 0.05这一列，行列的交叉处即是14.1表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值例如，要在自由度 为7的卡方分布中，得到双侧概率为0.05所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指 的是在上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是0.05，因 此实际上上端点以上的概率为0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端点的值为16,记J为,i 0.05/2(7)=16下端点以下的概率也为0.025，因此可以用0.975查得下端点为1.69,记 为，i 1-0.05/2(7)=1.69当然也可以按自由度及“值去查对应的概率值，不过这往往只能得到一个大概的结 果，因为“分布概率表的精度有限，只给了13个不同的概率值进行查表例如，要在自2 2由度为18的「分布查找厂=30对应的概率，则先在第一列找到自由度18,然后看这一 行可以发现与30接近的有28.9与31.5,它们所在的列是0.05与0.025,所以要查的概率值应 于介于0.05与0.025之间，当然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于0.1与0.05之间。

如果要更精确一些可以采用插值的方法得到，这在正态分布的查表中有介绍为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从八分布？在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的n个正态 随机变量贸，挈，…，如的一次取值，将n个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得 (i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照，「分布的定义，应该服从参数 为「的厂分布如果将总体中的方差02用样本方差S2代替，它是否也服从,‘厂分布呢？理论上可以证 明，它是服从二「分布的，但是参数:•不是n而是n-1 了，究其原因在于它是n-1个独立同 分布于标准正态分布的随机变量的平方和我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由 度的方法是：若式子包含有n个变量，其中k个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由 度为n-k比如中包含贸，挈，…，如这n个变量，其中贸如-1相互独立，如为其余变量 的平均值，因此自由度为n-1附卡方表n/P0.9950.990.9750.950.900.750.500.250.100.050.0250.010.00510.020.100.451.322.713.845.026.637.8820.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.2110.6030.070.110.220.350.581.212.374.116.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.061.923.365.397.789.4911.1413.2814.8650.410.550.831.151.612.674.356.639.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.241.642.203.455.357.8410.6412.5914.4516.8118.5570.991.241.692.172.834.256.359.0412.0214.0716.0118.4820.2881.341.652.182.733.405.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.9691.732.092.703.334.175.908.3411.3914.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.876.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575.587.5810.3413.7017.2819.6821.9224.7226.76123.073.574.405.236.308.4411.3414.8518.5521.0323.3426.2228.30133.574.115.015.897.049.3012.3415.9819.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7910.1713.3417.1221.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.277.268.5511.0414.3418.2522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.917.969.3111.9115.3419.3723.5426.3028.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0912.7916.3420.4924.7727.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8613.6817.3421.6025.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1211.6514.5618.3422.7227.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4415.4519.3423.8328.4131.4134.1737.5740.00218.038.9010.2811.5913.2416.3420.3424.9329.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.0417.2421.3426.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8518.1422.3427.1432.0135.1738.0841.6444.18249.8910.8612.4013.8515.6619.0423.3428.2433.2036.4239.3642.9845.562510.5211.5213.1214.6116.4719.9424.3429.3434.3837.6540.6544.3146.932611.1612.2013.8415.3817.2920.8425.3430.4335.5638.8941.9245.6448.292711.8112.8814.5716.1518.1121.7526.3431.5336.7440.1143.1946.9649.642812.4613.5615.3116.9318.9422.6627.3432.6237.9241.3444.4648.2850.992913.1214.2616.0517.7119.7723.5728.3433.7139.0942.5645.7249.5952.343013.7914.9516.7918.4920.6024.4829.3434.8040.2643。