2023年高中数学竞赛讲义格点问题.doc

格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，假如取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x轴和y轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点因此，格点又称为整点2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）4．格点关于格点的对称点为格点5．设格点多边形内部有I个格点，边界上有p个格点，则格点多边形的面积为S=I+P/2-1（见例5）[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A． B． C． D． 思绪点拨：可以引进整点坐标，运用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数通过对距离函数最值的探求获得问题的解而不同角度的探求又能得到不同的解法解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点到直线的距离为由，均可为整数知必为整数，从而为无理数，否认C,D. 若选A，则即有或但是5的倍数，不会取-13，-11。

故否认A，从而选B解法二 距离d的大小完全有来拟定，当最小时，d也相应的取最小值由于是5的倍数，故另一方面，当时，.d取最小值评注：（1）直线上设有格点，由于假如有，则是5的倍数，与 相矛盾2）格点到直线的距离是平面上的格点到直线距离中最小的，但这样的点不至一个，点等直线（即）上的无数多个格点都是这样的点3）当取遍平面上不同的格点时，的取值从小到大形成了认为首项，为公差的无穷等差数列对以上这样基本领实要能真正理解，我们对本例的结识就深刻了例2 对于自然对数，连结原点和点用表达线段上除端点外的整点的个数求 思绪点拨：可从线段等最初的情形开始探究，发现规律解 如图所示，线段的方程为在内的整数解的个数通过度析可得：当时，方程变为，有两个整数解，即，当时，方程没有整数解，即评注：本例的结论可以推广成：例3 求证：平面上存在不全在一直线上的2023个格点，任意两点之间的距离都是整数思绪点拨：先从简朴情形入手，从中寻求启示若要三个格点满足题设规定，则比较容易，自然想到勾股数组（3，4，5）取，则是不共线的三点，它们之间任意两点之间的距离为整数由此进一步考虑勾股数组：至此再考虑原题就不太困难了。

证明：记，其中（为不同因子，）记，其中由勾股数组公式易知，即以上找到的2023个格点B与不全在一直线上，且两两之间距离为整数评注：运用证明过程中所采用的构造法，同样可以证明这个问题的一般性结论：平面上存在着不全在一直线上的n个格点，它们中任意两点之间的距离都是整数例4 在直角坐标平面的第一象限及其边界上，把坐标都是整数的点按以下方法编号（0，0）点第一号；（1，0）点第2号；（1，1）点第3号；（0，1）点第4号；（0，2）点第5号；（1，2）点第6号；（2，2）点第7号；（2，1）点第8号；（2，0）点第9号；…（如图），按图中箭头的顺序，问第2023号点的坐标是什么？思绪点拨：考虑图中由若干个箭头及坐标轴围成的一系列的正方形这些正方形的边长分别为1，2，3，4，…，k，…它们内部及其边界上的整点个数分别……，，……于是，我们只要探求2023界于哪两个完全平方数之间，然后只需根据有关的奇偶性及箭头走向之间的关系，就能获知第2023号点的坐标了解：由于区域上的格点个数为所以编号为2023的点的纵、横坐标中至少有一个是44因为44是偶数，所以应从点（0，44）往右又由于，所以编号为2023的点的横坐标是44，纵坐标是，即所求的点的坐标是（44，20）。

评注：在求解过程中，考虑箭头的走向十分关键例如，从点之后，走向是从该点开始先向上一个单位，之后再向右个单位，然后向下个单位到达x轴上的点处；而从点处出发，则先向右一个单位，之后向上个单位，然后再向左个单位到达y轴上的点处 当我们求第n号点的坐标时，一方面要拟定，还是，然后就能在上述两种走向中拟定关于第n号点的走向，进而拟定它的坐标例5 设格点三角形内部的格点数为N，边上（涉及顶点）的格点数为L，则它的面积，试证之思绪点拨：这里可以采用从特殊到一般的探求方法，一方面考虑结论对直角形（且直角边与坐标轴平行或就在坐标轴上）成立，然后再想法推广到一般情况证明：先考虑直角三角形，两直角边分别平行于坐标轴这样的三角形面积为一个矩形面积一半，如右图所示假定矩形的横向边长m为个单位，纵向边长为n个单位，那么它的面积为mn对于，假定斜边上的格点数为，那么因此，，即对所述直角三角形结论对的再设为任意格点三角形，不妨假定三个顶点的坐标分别为，如右图，它内接于格点矩形中，显然，的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积之和假设上格点数为，上格点数为，上格点数为（都涉及端点），设分别表达，那么。

设分别表达矩形的内部格点数与边界格点数，则 评注：（1）在本题的证明过程中，先论证其特殊情况，再运用间接法将它推广到一般情形2）运用数学归纳法，可以把本题的结论推广到任意的n边格点多边形3）运用本题的结论也可知格点多边形的面积必是整数或半整数例6 求证：平面上整点凸五边形的面积不小于思绪点拨：有格点的分类即知格点凸五边形必有两顶点属于同一类，这两个顶点的连线的中点也是整点，再分此点在凸五边形的边界和内部两类讨论证明：考虑整点的纵、横坐标的奇偶性，只有（奇，奇）（偶，偶）（奇，偶）（偶，奇）四类由抽屉原则，凸五边形5个顶点中一定有两个顶点属于同一种类型，于是其中点也是整点由于是凸五边形，故在此凸五边形的内部或边界上1）若在凸五边形的内部，此时边界上格点数，内部格点数，则其面积（2）如图所示，若在凸五边形的边界上，设在边上因是凸五边形，故，中必有一条与不平行，设与不平行于是，的面积互不相同，则其中面积最大的那一个，不妨设，则，于是五边形的面积 评注：其实在第2种情形中，我们也可以将格点五边形分割成另一个格点五边形与格点，然后只要证格点五边形的面积大于等于2，而这一点运用本例证明过程中开头的结论立即可得，于是再加格点的面积，就有格点五边形的面积大于等于了。

例7 设格点的边界上除顶点外没有格点，但在的内部都存在唯一的格点，求证：必是的重心思绪点拨：可以先运用格点三角形面积公式（其中L三角形边界上的格点数，N是内部格点数），分别计算出，，，的面积然后再运用这里面积，说明P点其实各中线的交点证明：如图，因知，则，，故，，即F是AB的中点，故CF是的AB边上的中线；同理可证：AD、BE分别为BC边与AC边上的中线，因此，可知P是三条中线的交点，即为重心 评注：本例所涉及的格点三角形，其实只能是底边长为，而腰为的等腰三角形例8 在坐标平面上，纵、横坐标都是整数的点成为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每一圆周上，有且只有一个整点 思绪点拨：一方面要选择一个圆心，假如不同整点到它的距离都不相等的话，我们就能取各整点到该圆心的距离为不同的半径作圆，满足题设条件的同心圆的集合就形成了证明 设是无理数，是有理数，且不是整数，则点到任何两相异整点，距离不等若不然，则，得出，左边为有理数，故，，又由于不是整数，得，与和为相异两点矛盾以P为圆心，过各个整点作圆，则每个圆上恰有一个整点，所得同心圆的集合即为所求。

评注：本例的结论可以推广到平面上的有理点（纵、横坐标都是有理数的点）的情况，即存在着一同心圆的集合，使得：（1）每个有理数都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每一圆周上，有且只有一个有理点，这就是 年全国高中数学联赛题，它的证明与本例的证明完全类似[巩固练习]1.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式：的整点个数有 （ ）A．16个 B．17个 C．18个 D．25个2.平面上任取n个整点，要使它们之中总存在两点，它们的连线的中点也是整点，这样的整点个数n的最小值为 （ ）3.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上整点的个数为 4．已知集合，，当是四元集时，则n的值为___________.5．m是正整数，问在曲线和直线所围成区域内（涉及边界）所具有的整点有多少个？6．试求曲线上的所有格点。

7．求由抛物线，x轴和直线x=21所围成的平面区域（边界除外）中格点的个数8．已知点集，，求点集中的整点的个数9．求满足不等式组，的整点的个数10．对平面区域D，用N（D）表达属于D的所有格点的个数，若A表达由曲线和两直线所围成的区域（涉及边界），B表达由曲线和两直线所围成的区域（涉及边界），问的值是多少？[赛场练兵]A一、 选择题1.设是半径为的圆，圆心在点，是正实数则上整点个数最多有（ ）个A．0 B．1 C．4 D．无穷2.第一象限的整点满足，且，这样的整点有（ ）个A.16 B.18 C.20 D.24 3.假如对于平面上的任意n个格点，都能找出其中两点，这两点的连线还通过另两个格点，则n至少是 （ ）A. 10 B. 9 C. 13 D. 17 4．将平面上所有正有理点（即纵、横坐标均为正有理数的点）分两个集合，对于，其中；当时，时，，则 （ ）A.存在一条平行y轴的线，与集A有无限多个交点；B.存在一条平行x轴的线，与集B有无限多个交点；C.上述两条至少有一个成立，但不会同时成立；D.以上答案都不对。

二、 填空题5.直角坐标系中，满足（1）；（2）；（3）的整点个数是 6.已知点集，，则中整点的个数为 7.由直线和直线及轴所围的三角形（为原点）内整点的个数为 8.直线和抛物线所围的图形为F，则在图形F内坐标形如的点的个数有 个三、 解答题9．设区域：内和周界上的格点个数为求10．设是平面中所有整点的集合对于整点与，当且仅当时，称为相邻的点求证：存在的一个子集，使得对于每一个点，在与的相邻点中恰有一个属于11．已知直线通过两个格点，求证：直线必通过无穷多个格点12.是格点三角形，若，是的周长，证明：[赛场练兵]B1．方格纸上小方格为1×1，以其中一结点为圆心画一半径为R的圆周证：若圆周上刚好有2023个结点，则或R或为整数（方格线交点为结点）2．在坐标平面。