(完整版)菱形基础知识点及同步练习、含答案.docx

学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理 1：四边都相等的四边形是菱形．定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示（1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法； 这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）（③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴． 不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例 1：如图 4-24，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，CE 平分∠ACB，交 AD于 G，交 AB 于 E，EF⊥BC 于 F．求证：四边形 AEFG 是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE 平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且 EF=AG，∴四边形 AEFG 是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形 AEFG 是菱形．例 2：已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线 AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB 的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图 4-25．解：在菱形 ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA，又 AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC 和△DAC 都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例 3：如图 4-26，在平行四边形 ABCD 中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形 ABEF 是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形 ABEF 是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形 ABEF 是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例 4：菱形的两邻角之比为 1：2，边长为 2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图 4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，过 A 作 AE⊥BC 于 E，∴∠BAE=30°，\ BE =12AB = 1 （直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），\ AE = AB2 - BE 2 = 2 2 - 12 = 3 （勾股定理）\ S菱形ABCD = BC × AE = 2 3 ．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图 4-28，∠B∶∠A=1∶2，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结 AC、BD 交于点 O，\ ÐABD = 1 ÐB = 30° ，AC⊥BD．2（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在  ABO 中， AO =12AB = 1 ，\ BO = AB2 - AO2 = 2 2 - 12 = 3 ，∴AC=2， BD = 2 3 ，菱形ABCD  =  1\ S1AC × BD =  ´ 2 ´ 2 3 = 2 3 ．2         2答：菱形的面积为 2 3 ．【典型热点考题】例1 如图 4-13，已知菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接 AC 得等边△ABC 与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有 AE=AF，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接 AC． ∵ 四边形 ABCD 为菱形，∴ ∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴ △ABC 与△CDA 为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵ ∠EAF=60°， ∴ ∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵ ∠EAF=60°，∴ △EAF 为等边三角形．∴ ∠AEF=60°，∵ ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴ ∠CEF=18°．例2 已知如图 4-14，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，CE 平分∠ACB，交 AD于 G，交 AB 于 E，EF⊥BC 于 F，求证：四边形 AEFG 为菱形．点悟：可先证四边形 AEFG 为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵ ∠BAC=90°，EF⊥BC，CE 平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC， ∴ EF∥AD．∴ ∠FEC=∠AGE， ∴ ∠AEC=∠AGE∴ AE=AG， ∴∴ 四边形 AEFG 为平行四边形．又∵ AE=AG． ∴ 四边形 AEFG 为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图 4-15，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB=AE，AE 交 BD 于 O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形，∴ ∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴ ∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE， ∴ ∠ABC=∠AEB．∴ ∠DAE=2∠ABD．∵ ∠DAE=2∠BAE，∴ ∠ABD=∠BAE， ∴ OA=OB．∵ ∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴ ∠BOE=2∠BAE．∴ ∠BEA=∠BOE， ∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4 已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为 5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形 ABCD 和对角线 AC、BD(如图 4-16)．解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，∴ ∠1+∠2=90°，又∵ ∠1：∠2=4：5，∴ ∠1=40°，∠2=50°，∴ ∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故 ∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．(A)   S       (B)  1【同步达纲练习一】一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( )(A)45°， 135° (B)60°， 120°(C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的 2 倍，且此菱形的面积为 S，则它的边长为( )1 1S (c) 3S (D) 5S2 2 2二、填空题3．已知：菱形 ABCD 中，E、F 是 BC、CD 上的点，且 AE=EF=AF=AB，则∠B=________.4．已知：菱形的两条对角线长分别为 a、b，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为8 3 平方厘米，且两条对角线的比为 1： 3 ，则菱形的边长为_________.三、解答题7．已知：O 为 对角线 BD 的中点，MN 过 O 且垂直 BD，分别交 CD、AB 于 M、N．求证：四边形 DNBM 是菱形．8．如图 4-17，已知菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形 ABCD 中，若∠ADC=120°，则 BD：AC 等于( )A． 3 : 2 B． 3 : 3 C．1：2 D． 3 :142．已知菱形的周长为 40cm，两对角线的长。