苏教版数学精品资料第2章 平面解析几何初步2.2 圆与方程2.2.3 圆与圆的位置关系A级 基础巩固1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( ).A．相离 B．相交 C．内切 D．外切解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5.因为|r1－r2|<|C1C2|100，即m<－100.答案：(－∞，－100)8．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x－1) 2＋y2＝2，则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是.答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝29．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，又过点(3，1)代入求出λ＝－.答案：x2＋y2－x＋y＋2＝010．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：311．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．解：由方程消去二次项得6x－6y＋6＝0，即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，所以C1(－2，2)到直线AB的距离d＝＝ .又圆C1半径r＝3，故弦长|AB|＝2 ＝3.B级 能力提升12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )A．5 B．1C．3－5 D．3＋5解析：圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.答案：C13．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.所以mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.答案：114．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.关于x轴的对称圆C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.所以A(－1，1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离|AC′|＝5.所以从A发出的光线经x轴反射到圆C上一点的最短距离等于A到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即dmin＝5－1＝4.答案：415．求圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距的最小值及相应的k值，并指出此时两圆的位置关系．解：两圆的圆心C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，所以圆心距|C1C2|＝＝，当k＝－时，C1C2有最小值.此时，两圆的方程为C1：＋y2＝1，C2：x2＋＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知两圆相交．16．已知两定圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．解：设动圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.将此方程分别与圆O1，圆O2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x＋(2－2b)y＋a2＋b2－r2－1＝0.(10＋2a)x＋(6＋2b)y＋30－a2－b2＋r2＝0.由于圆P平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：消去r2得：12a＋8b＋35＝0.用(x，y)替换(a，b)，得点P的轨迹方程为：12x＋8y＋35＝0.。
