贝塞尔函数ppt课件.ppt

第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数Ø讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；Ø讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程 瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程5.1 贝塞尔方程的引入 5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律可归结为求解如下定解问题令 ，代入方程得 进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:它的解为 (1)5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 由边界条件，可知 在极坐标系下，问题可以写成 5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入再次分离变量,令 ,代入化简得 引入参数 分解5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入本征值 ，将 代入另一方程得n 阶贝塞尔方程. 结合自然周期条件，得本征值问题本征函数5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由条件由条件 得得由温度是有限的，得由温度是有限的，得原 问 题 就 转 化 为 求 贝 塞 尔 方 程 在 条 件 下的特征值和特征函数.做代换 , 并记考虑贝塞尔方程5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入n阶贝塞尔方程的标准形式.方程转化为5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入5.2 贝塞尔方程的求解5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解 用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 的情形.假定方程有如下形式的级数解：其中 为常数。

逐项求导, 有代入方程确定系数 和 ： 比较系数得5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解取取c=n由选取由得因此5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解这样，得到方程的一个特解称 为 阶第一类贝塞尔函数(n>=0). 5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解取指标　　　　　　　得方程的另一特解 当 n 不为整数时, 和 线性无关．所以方程的通解可以表示为 结论：结论： 5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解如果选取得到称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数, 方程的通解也可表示为当 n 不为整数时, 和 线性无关．5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解当m,n为整数时，有GammaGamma函数的定义与性质函数的定义与性质 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解 5.3 5.3 n n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解(1) 由得（２）取n=N , 在　　　　中,由于m

分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标. 考虑到定解条件和 无关, 所以温度 只能是 和 的函数. ５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例解解: :问题可归结为求下列定解问题问题可归结为求下列定解问题: :设设由于由于 和和 无关无关, ,, ,可以化简为问题可以化简为问题５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例由物理意义由物理意义, , , , 且当且当 时时, ,解解(1)(1)得：得： , ,因为因为 时时, , , , ……………..……(1)…..……(2)令令代入方程得代入方程得所以所以 , , 令令 , , 即即５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例(2)(2)为零阶非标准的贝塞尔方程为零阶非标准的贝塞尔方程, ,通解为通解为由由 的有界性的有界性, , 可以知道可以知道 , ,由条件由条件 得得 , , 即即 是是 的零点的零点. .用用 ( (n=1,2…)=1,2…)表示表示 的正零点的正零点, , 综合以综合以上结果可得上结果可得: : ５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例从而从而由叠加原理由叠加原理, , 可得原问题的解为可得原问题的解为５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例由初始边界条件得由初始边界条件得故故５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例因为因为所以所以５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例从而从而所求定解问题的解为所求定解问题的解为其中其中 是是 的正零点的正零点. .５５５５. .６　应用举例６　应用举例６　应用举例６　应用举例。