线性代数知识点汇总.docx

第一章 矩阵矩阵的概念： < (零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)m*n矩阵的运算：加法(同型矩阵) 交换、结合律数乘kA = (ka ) 分配、结合律ij m*nA * B - (a )乘法 ik m*l*(b )kj l *nab)ik kj m*n(一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0)转置：(At )t = A(A + B )t = At + Bt(kA)T = kAT (AB)t 二 BtAt方幕：Ak1 Ak2 = Ak1 +k2 (Akj )k2 = Ak] + k2逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的 且 A-i = B矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A-1)-1 = A2、 可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)-】=1 A-1k3、 可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且(At)-1二(A-1)t4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)-1 = B-1 A-1，但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但(A + B)丰A-1 + B-1。

为N阶方阵，若IAI=O, 则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵5、若 A 可逆，则 |A-1| 二 |A|-1逆矩阵注： ①AB=BA=I则A与B 一定是方阵 ②BA=AB=I则A与B 一定互逆；③ 不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行(列)2. 、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（I O ）等价标准形矩阵D =人门r I ° 0 丿第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、 不同列的 n 个元素的乘积的和a(/=工(—I)® j1 j2 - jn )a a ...a1/1 2 /2 n/n/1 /2 /n行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变转置行列式D = DT）② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零③ 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零④ 行列式具有分行（列）可加性⑤ 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M ..、代数余子式A = （-l》+jMi/ i/ i/定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零 克莱姆法则：D非齐次线性方程组：当系数行列式D丰0时，有唯一解：Xj = -DD （j = 1、2……n）齐次线性方程组 ：当系数行列式D = 1H 0时，则只有零解（逆否命题：若方程组存在非零解，则 D 等于零） 特殊行列式：aaaaaaii1213112131aaaTaaa212223122232aaaaaa313233132333①转置行列式：②对称行列式:a = aijji③反对称行列式:a =—aijji奇数阶的反对称行列式值为零④三阶线性行列式:aiia21a31a12a220a130a33解法：用ka把a化为零，化为三角形行列式1 22 21⑤上(下)三角形行列式第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩 r(A)：若 A 可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r (AB) =r (B)初等变换不改变矩阵的秩求法：1.定义；2.转化为标准式或阶梯形伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵:A* 二(A11IA21A )12A丿22,特殊矩阵的逆矩阵：1、分块矩阵D =-A-1 BC-1、C -1 丿丿2、准对角矩阵A =则 A-1 =A -12A -13A。

"丿3、AA* = A* A = lAII4、A* = IAIA-1A 可逆)5、A = |A|n-16、Cl*)i = G-i) = A (a 可逆)IAI7、8、(AB) = B* A*1判断矩阵是否可逆：充要条件是|A|丰0，此时AT = ^A*求逆矩阵的方法：定义法AA-1 =A*伴随矩阵法A-1 =冈初等变换法 爲)=c I At \只能是行变换nn初等矩阵与矩阵乘法的关系：设A = (..),是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等ij m * n于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种 n 阶初等矩阵右乘以 A (行变左乘，列变右乘)线性方程组解的判定：非齐次线性方程组：增广矩阵一简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当丫丰n时，有无穷多解 r(AB)"(B),无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)vn当齐次线性方程组方程个数＜未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要IAI=O 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。

希腊字母表示(加法数乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量8,负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组的秩：定理：如果a ,a，…..a是向量组a ,a ,.•…a的线性无关的部分组，则它是j1 j2 jr 1 2 s极大无关组的充要条件是：a ,a ,••…a中的每一个向量都可由a ,a，…..a线性表出1 2 s j1 j 2 jr秩:极大无关组中所含的向量个数定理：设A为m*n矩阵，则r(A) = r的充要条件是：A的列(行)秩为r线性组合或线性表示注：两个向量a，B，若a= kP则a是p的线性组合任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关注：1. n个n维单位向量组一定是线性无关2. 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 3．含有零向量的向量组一定是线性相关4. 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量P可由a ,a ,..a线性表示的充要条件是r(a Ta T...a T ) = r(a Ta T...a叩t)1 2 n 1 2 n 1 2 n判断向量组是否线性相关的方法：1、 定义法：设k k….k，求k k ....k1 2 n 1 2 n2、 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、 分量法（n个m维向量组）：4、 线性相关（充要）n r（a Ta T....a T） < n1 2 n线性无关（充要）n r（a Ta T…a T） = n1 2 n推论①当m=n时，相关，则a Ta Ta T = 0 ；无关，则Ta Ta T丰01 2 3 丨12 3②当 m

定理：如果向量组a ,a，…a ,卩线性相关，则向量0可由向量组a ,a，…a线性表出，且1 2 s 1 2 s表示法唯一的充分必要条件是a ,a，…a线性无关1 2 s极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的第四章 向量空间向量的内积定义：(a, B)= t = a b + a b +.... + a b1 1 2 2 n n性质：非负性、对称性、线性性(a,kB)=k(a,B)；(ka,kB)= k 2(a,B);k a ,工 l 0 )=工 k 工 l (a , 0 ) a, 0,y , 8 g Rn(a+B, Y + § )=(a, y )+(a, 8 )+(P, y)+(BQ );(工i i j j i j i j i=1 j =1 i=1 j=1向量的长度：a=j(a,a)H = 0的充要条件是a=0； a是单位向量的充要条件 是 ( a， a) =1正交向量：a，B是正交向量的充要条件是（a, B）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：n阶矩阵A AAt = AtA = I性质：1、若A为正交矩阵，则A可逆，且A-1 = At，且A -1也是正交矩阵；2、 若A为正交矩阵，则|A| = ±】；3、 若A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；4、 n阶矩阵A= ( a..)是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是ij标准正交向量；线性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系齐次线性方程组(I)解的结构：解为Q O… 12(I)的两个解的和Q +Q仍是它的解；12(I)解的任意倍数kQ还是它的解；(I)解的线性组合C Q + c Q + .... + c Q也是它的解，C, C，…C是任意常数。

1 1 2 2 s s 1 2 s非齐次线性方程组(II)解的结构：解为卩，卩...12(II)的两个解的差卩-卩仍是它的解；12若卩是非齐次线性方程组AX=B的一个解,V是其导出组AX=O的一个解，则U+V是(II) 的一个解定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)二r < n，则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中，恰含有n-r个解若卩是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是(II)的全部解。