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§1．．3 序列的极限序列的极限一、一、序列极限的定义序列极限的定义⒉序列的极限⒊用定义证明极限举例⒈序列定义、序列举例、序列的几何意义极限的定义、 极限的几何意义极限的唯一性、收敛序列的有界性收敛序列与其子序列间的关系二、夹逼定理二、夹逼定理三、收敛序列的性质三、收敛序列的性质极限的保序性四、极限的四则运算四、极限的四则运算五、一个重要的极限五、一个重要的极限11. 序列的概念序列的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： ．．．．．．1r四边形2r八边形3r十六边形 一个实际问题．．．．．．2序列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3，… ，xn ，…这一列有次序的数就叫做序列，记为{xn}，其中第n 项xn 叫做数列的通项．序列举例：3序列举例： 2，4，8，… ，2n ，… ， 通项为2n通项为 1 2n 1，-1，1，… ，(-1)n+1，… ； 通项为(-1)n+1通项为通项为4序列的几何意义： 序列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数： xn=f (n)，它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx序列与函数：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6)．．．．．.xn=f(n) 序列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3，… ，xn ，…．52. 序列的极限序列的极限 例如如果序列没有极限，就说序列是发散的．xn = a．而序列{2n}，{ (-1)n+1}，是发散的．序列的极限的通俗定义： 对于序列{xn}，如果当n 无限增大时，序列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是序列{xn}的极限，或称序列{xn}收敛a ．记为 6对无限接近的刻划： “当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大时，| xn-a |无限接近于0；或者说，要| xn-a |有多小，只要n足够大， | xn-a |就能有多小． 7极限的精确定义： 定义 如果序列{xn}与常数a 有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n >N 时的一切xn，不等式 |xn-a |N时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时，所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a－ e , a+e)以外. xOaa－ea+e()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 29对于任意给定的正数e>0，3. 用定义证明极限举例用定义证明极限举例 分析：10 证明：因为对于任意给定的e>0， 存在N=[1/e]， 使当n>N时，有 所以3. 用定义证明极限举例用定义证明极限举例也可写成:所以11对于任意给定的e >0，要使只需故取 分析：12所以， 证明：因为对任意给定的正数e>0， 存在使当n>N时， 有也可写成:所以13 例 3 设|q |<1，证明等比序列 1，q ，q2，… ，qn-1，…的极限是0．对于任意给定的正数e>0，分析：要使14 例 3 设|q |<1，证明等比序列 1，q ，q2，… ，qn-1，…的极限是0．使当n>N时，有 |qn-1-0| = |q|n-11是给定的实数,求证分析: 对两边取对数,得证 对令则当n > N 时,即有于是证毕.小结:证明序列{an}极限是l的一般步骤:⑴ 求差⑵ 对任给的⑶由不等式的解确定N,使得当n>N时,⑷ 最后完成证明.16二、夹逼定理二、夹逼定理定理定理证 即也即此即证毕.17解 也即显然由定理1,即得18例⒍ 设k为大于1的正整数,证明证明 由夹逼定理即得19例⒎ 由夹逼定理,即得类似可证,对任意k >1,20三、收敛序列的性质三、收敛序列的性质定理1(极限的唯一性) 序列{xn}不能收敛于两个不同的极限．存在正整数N2 ，这是不可能的．这矛盾证明了本定理的断言．21序列的有界性的定义： 对于序列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式 |xn|M，则称序列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说序列{xn}是无界的．序列xn=2n(n=1，2， …)是无界的． 定理2(收敛序列的有界性) 如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界．22 证明：设序列{xn}收敛，且收敛于a．根据序列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于n>N时的一切xn， 不等式 | xn- a |N时， | xn |=| ( xn- a ) + a |  | xn- a |+| a |<1+| a |． 取M=max{| x1 |， | x2 |， …, | xN |， 1+| a |}， 那么序列{xn}中的一切 xn都满足不等式 | xn |  M． 这就证明了序列{xn}是有界的．定理2(收敛序列的有界性) 如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界．23定理3 设序列 各有极限并且则存在自然数N,使得对一切n,只要n >N,就有 证 证毕.推论推论 设序列 有极限 l >0,则存在自然数N,使得当n>N时,证 在上面的定理中,取24定理4 证 用反证法.若则由上一定理,可推出:存在一个自然数N, 当n >N时,这和假定矛盾.故必有注: 在定理结论中的等号不能去掉,既使是 严格大于仍然只能得出 的结论.这里等号是可能发生的.如此定理可简称为”极限的保序性”25定理5 (收敛序列与其子序列间的关系) 如果序列{xn}收敛于a ，那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a ．子序列： 在序列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原序列中的先后次序，这样得到的一个序列称为原序列{xn}的子序列． 例如，序列 {xn} ： 1，-1，1，-1，…， (-1)n+1，… 的一子序列为{x2n}：-1，-1，-1，…，(-1)2n+1， …．26 证明：设序列 是序列{xn}的任一子序列．定理5(收敛序列与其子序列间的关系) 如果序列{xn}收敛于a ,那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a ．注： 子序列的足标不是n ,也不是nk ,而是k .且不难看出27 2．如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界．发散的数列是否一定无界? 有界的序列是否收敛? 3．序列的子序列如果发散， 原序列是否发散? 序列的两个子序列收敛，但其极限不同， 原序列的收敛性如何? 发散的序列的子序列都发散吗？ 4．如何判断序列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， …是发散的？讨论：28四、极限的四则运算四、极限的四则运算证明从略。

例⒏ 求极限29例⒐ 求极限于是作业 习题1.3 4(1)(3)(5),5,630五、一个重要极限五、一个重要极限极限存在的一个准则:单调有界序列必有极限单调有界序列必有极限.单调增加有上界单调增加有上界(或单调减少有下界或单调减少有下界)的序列必有极限的序列必有极限.更确切地:注 本例中构成xn的每一项都趋于零,由于和式中的项数随着n增大而无限增多,因此 不能用极限的加法性质.注:本定理只说明极限存在,而不具体指出极限是什么.31现在我们介绍一个重要的极限定理证 先证序列 有界.事实上,由牛顿二项式定理,32再证此序列是递增的,为此,把 分别展开,比较两个式子右端的对应项,显然前者较小,又于是由单调有界定理,此序列有极限.证毕.33记此极限为 e (Euler名字的第一个字母).即例11 求得作业 习题1.3 8(1)(2)7(1)(2)(4)(习题1.3,7(5))解补充题:34。