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医用高等数学题库第一章 函数与极限1． 设 ，求 ，并作出函数 的图形2． 设 ， ，求 ，并作出这两个函数的图形3． 设 ，求 4． 试证下列函数在指定区间内的单调性：（1） （2） 5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1） （2） 6．设 试求下列复合函数，并指出 x 的取值范围7．已知对一切实数 x 均有 ，且 f(x)为单调增函数，试证：8．计算下列极限：（1） （2） （3） 9．（1）设 ，求常数 a，b2）已知 ，求 a，b10．计算下列极限：（1） （2） （x 为不等于零的常数）（3） （4） （5） （k 为正整数）11．计算下列极限：（1） （2） （3） （4） （k 为常数）（5） （6） （7） （8） （a>0，b>0，c>0）（9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 12．当 时，无穷小 1-x 和（1） （2） 是否同阶？是否等价？13．证明：当 时，有（1） （2） 14．利用等价无穷小的性质求下列极限：（1） （n，m 为正整数） （2） 15．试确定常数 a，使下列各函数的极限 存在：（1） （2） 16．讨论下列函数的连续性：（1） 的连续性（2） 在 x=0 处的连续性17．设函数 在[0，2a]上连续， ,试证方程 在[0，a]内至少存在一个实根。

18．设函数 在开区间（a，b）内连续， ，试证：在开区间(a，b)内至少有一点 c，使得 （其中 ）第二章 导数与微分1．讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性：（1） （2） 2．设 存在，求 3．设 ，问 a，b 为何值时， 在 x=0 处可导？4．已知 ，求 及 ，并问： 是否存在？5．证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 6．问当系数 a 为何值时，抛物线 与曲线 相切？7．求下列各函数的导数：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （a>0）（9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 8．求曲线 在点 处的切线方程和法线方程9．用对数求导法求下列函数的导数：（1） （2） （3） （4） （5） 10．求下列隐函数 的导数 ：（1） （2） ，求 （3） （4） （5） 11．求下列函数的 n 阶导数：（1） （2） （3） 12．已知函数 ，求 。

13．若 存在，求下列函数 y 的二阶导数 ：（1） （2） 14．求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数：（1） （2） 15．求下列函数的微分：（1） （2） （3） 16．计算下列各式的近似值：（1） （2） 17．求极限：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 18．确定下列函数的单调区间：（1） （2） （3） （a>0）（4） 19．求下列函数的极值：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 20．求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1） （2） （3） 21．描绘下列函数的图形：（1） （2） （3） （4） 22．要造一圆柱形油罐，体积为 V，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时直径与高的比是多少？23．一火车的锅炉每小时的耗煤费用与速度的立方成正比已知当速度为每小时 20 公里时，每小时耗费的煤价为 40 元至于其他费用每小时需 200 元问当火车行驶的速度为多少时才能使火车从甲地到乙地的总费用最省？第三章 不定积分1．求下列不定积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．设有一曲线 ，在其上任一点 处的切线斜率为 ，并知此曲线通过点（3，2），求曲线的方程。

3．设有一通过原点的曲线 ，在其上任一点 处切线斜率为 ，其中 a 为常数，且知其拐点的横坐标为 ，求曲线的方程4．求下列不定积分：（1） （2） （ 为常数）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） 5．求下列各不定积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 6．证明下列各式：（1） （2） （3） （4） 7．求下列各不定积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 与 8．求下列各有理函数的积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．设 是连续函数，求 10．如果 的一个原函数是 ，证明： 11．求 12．试确定常数 A，B，使下式成立：第四章 定积分及其应用1．比较下列各对积分的大小：（1） （2） （3） （4） （5） 2．证明不等式： 3．设 （x>0），求 4．（1）设 ，求 （2）设 ，其中 连续，求 5．设 ，求 6．设 ，求 7．计算下列极限：（1） （2） （3） 8．利用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．计算下列各积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 10．计算下列定积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 11．利用分部积分法计算下列定积分：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 12．利用函数的奇偶性计算下列积分：（1） （2） （3） 13．下列各广义积分如果收敛，求其值：（1） （2） （3） （4） （a>0）（5） （6） 14．求面积：（1）求曲线 与直线 所围成的平面图形的面积。

2）求由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积3）求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积4）求三次曲线 与直线 所围成的平面图形的面积5）求抛物线 与直线 之间的面积15．已知塔高为 80 米，离它的顶点 x 米处的水平截面是边长为 米的正方形，求塔的体积16．一立体的底面为一半径为 5 的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积17．一立体的底面为由双曲线 与直线 所围成的平面图形如果垂直于 x 轴的立体截面分别是：（1）正方形；（2）等边三角形；（3）高为 3 的等腰三角形；求各种情况的立体体积18．直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 10 的蒸汽设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？第五章 微分方程1．下列等式中哪些是微分方程？（1） （2） （3） （4） （5） 2．说出下列微分方程的阶数：（1） （2） （3） （4） 3．求下列微分方程的通解：（1） （2） （3） 4．求下列微分方程满足所给初值条件的特解：（1） （2） 5．用分离变量法求下列各微分方程的通解：（1） （2） （3） （4） 6．求下列齐次微分方程的通解：（1） （2） （3） 7．求满足下列微分方程和初始条件的特解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 8．求解下列微分方程：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） 9．质量为 1kg 的质点受外力的作用作直线运动，该力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。

在 t=10s 时，速度为 45 ，力为 4N问从运动开始经过20s 后的速度为多少？10．一桶内有 100 的水，现以浓度为 2 的盐溶液用 3 的速率注入桶内，同时，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出1）求任一时刻 t 桶内盐的含量 m；（2）何时桶内存盐 100kg?11．设汽车 A 从原点出发，以固定速度 沿 y 轴正向行驶，汽车 B 从 以固定速度 出发（ ），其速度方向永远指向汽车 A，求汽车 B 的运动轨迹12．在某粘性液体中，一单位质点 P 受一力作用沿直线运动，该力与 P 点到原点 O 的距离成正比（比例系数为 10），粘性液体的阻力与运动速度成正比（比例系数为 3），求该质点的运动规律（运动开始时，质点 P 静止，距原点 kcm）第六章 概率论初步1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1，2，，，3，4，5，从中同时取 3 只球，球的最小号码为 12）在 1，2，3，4 四个数中可重复地取两个数，一个数是另一个数的 2 倍3）将 a,b 两个球随机地放到三个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球。

4）10 件产品中有一件废品，从中任取两件得一件废品5）两个口袋各装一个白球与一个黑球，从一袋中任取一球记下其颜色放入第二袋，搅匀后再从第二袋中任取一球，两次取出的球有相同的颜色6）重复掷硬币，掷了偶次后才第一次得到正面2．在数学系学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员1）叙述事件 的意义2）在什么条件下 ABC=C 成立？（3）什么时候关系式 成立？（4）什么时候 成立？3．将下列事件用 A，B，C 表示出来：（1）A 发生（2）只有 A 发生（3）A 与 B 都发生而 C 不发生（4）三个事件都发生（5）三个事件中至少有一个发生（6）三个事件中至少有两个发生（7）三个事件中恰好发生一个（8）三个事件中恰好发生两个（9）三个事件都不发生（10）三个事件中不多于二个事件发生（11）三个事件中不多于一个事件发生4．证明下列各式：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 5．证明下列各式：（1） （2） （3） （4） 6．一部五卷文集任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为12345 的顺序的概率等于多少？7．把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有 k 面（k=0,1,2,3）涂有颜色的概率 。

8．甲从 2，4，6，8，10 中任取一数，乙从 1，3，5，7，9 中任取一数求甲取的数大于乙取的数的概率9．在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求他们正好可以互相吃掉的概率10．一批灯泡有 40 只，其中 3 只是坏的，从中任取 。