附录一相对论粒子碰撞运动学.pdf

核与粒子物理导论核与粒子物理导论 附录一附录一 相对论粒子碰撞运动学相对论粒子碰撞运动学 高能物理实验室，同时也是研究相对论力学的最好实验室相对论原理在高能物理实验中处处体现光速不变原理的一个令人信服的实验证明是1964年在西欧核子中心－CERN做的 实验利用高能质子打靶， 产生的中性介子具有速度（由粒子的飞行时间推出） ，立即衰变为光子光子从产生靶处飞到光子探测器（电磁量能器及定时探测器组成）路程长达80记录产生和到达光子探测器的时间结果表明：由V)2 .19(GeV0πcVs99975. 0=±π0π)108 . 0(16 0s−×=τm0π)267~(nstΔcs99975. 0=的光源发射的光的速度还是光速c经过实验分析，将静止系测得的光速)(tlcΔ=′表示为：skVcc+=′，在实验精度范围内， 这是在实验室规模上第一次精确证明了狭义相对论的第二个基本假设－光速不变性原理 )10)3 . 10((04−×±==kkA.1 洛仑兹洛仑兹(Lorentz)变换变换 相对论不变性是粒子物理中各个过程必须满足的基本对称性之一描述系统的基本方程 对于所有的惯性系应具有相同的形式 用四矢量来表示粒子物理学中的物理量， 使用它们表 示的运动方程在不同的惯性系中具有不变的形式。

高速粒子运动学中经常遇到的时空四矢量和能量动量四矢量－四动量，在粒子物理中常将它们表示为) 1(== c?： ),(),(PEPxtx??==μμ(a.1) 称它们为逆变矢量，其协变矢量为： ),(),(PEPxtx??−=−=μμ(a.2) 四矢量的标积为： 2222PEPPxtxx−=−=μμ μμ(a.3) 现有两个参考系K和K′， 如图(a.1)，K′以速度)(γβ沿着x轴相对于K系运动， 在时刻两个坐标的原点重合在0=tK系中描述的四矢量，在μxK′系中变成同理，)(′μxμP变成它们之间用洛仑兹变换)(′μPL来联系： 239附录一附录一 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ −−=100001000000γβγβγγL (a.4) 21 )1 (−−==βγβcV图(a.1) 两个惯性系K和K′引入快度Y： )(21)(21YYYYeeshYeechY−==+==−−βγγ(a.5) 用快度表示的洛仑兹变换，有： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ −−=100001000000 chYshYshYchYL (a.6) μμμμLPPLxx=′=′)()(各分量关系如下(L具有式(a.4)的表示)： zzyytxxxtt =′=′−=′−=′)()(βγβγ(a.7) zzyyxxx PPPPEPPPEE =′=′−=′−=′)()(βγβγ(a.8) 当L取式(a.6)形式，则： 240核与粒子物理导论核与粒子物理导论 zzyyxchYtshYxxshYtchYt=′=′+−=′−=′(a.9) yyzzxxxPPPPchYPEshYPshYPEchYE=′=′+−=′−=′(a.10) 即洛仑兹变换用一个广义的转动变换(a.6)来表示。

1）） 光锥，固有时及时间延缓效应光锥，固有时及时间延缓效应 四矢量在四维空间（闵可夫斯基空间）的转动（洛仑兹变换） ，其绝对长度不变，换言 之，四矢量的标积式 a.3 为一个不变量，它们不依赖于坐标系的选择 （（1） 光锥和事件的分类） 光锥和事件的分类 图(a.2)表示四空间中x轴(普通空间)和时间轴t在时空原点)0, 0(==xtO，一个粒子产生，粒子传播到时空点，在四维空间中描绘一条轨迹－称为粒子的世界线(World Line)如果粒子是质量为零的光子，世界线与),(xtBx轴成或的斜线传播（，斜率为：?45?1351== c?β11==dtdxdxdt） ，这两条斜线绕轴旋转得到一个锥面，称为光锥质量不为零的粒子) 1(s将过程变换到一个新的惯性系K′内，在该系中，事件1，发生在同一位置()这时，称这类事件为类时(time-like)事件；若事件发生在其他区(图的阴影线区)，则： 221xx =0)(2 212 12>−=tts21,02 12ds)0(=β上有，因为是洛仑兹不变量，所以22τdds=2dsK系中的和动量中心系中的相等，即，因此有： 2ds2τd222)(τβdtdt≡−)()](1 [21 2 tdttdtdγβτ=−=或τγdtdt)(= (a.13) τ称为固有时(proper time)，即在系统的动量中心系中观测到的时间间隔。

在相对于动量中心运动的坐标系K(具有相对速度)测得的时间间隔为，若 K 系同统的运动是匀速的，则： ττγττdtt∫=−21)(12)(1212ττγ−=−tt (a.14) 242核与粒子物理导论核与粒子物理导论 式(a.14)表明，用与运动物体固定在一起的钟测量该物体变化过程的时间间隔)(12ττ−，比相对于运动物体运动的钟测量的时间间隔)(12tt −要短这称为时间延缓效应 例例 1 图(a.2)给出两个过程在四维空间中的“世界线” ，它们分别满足和),( xttVx0=2 021tax =，，均为常数计算在事件0V0aA和B之间，两个过程所经过的固有时，并比较它们的大小 解解 ：两过程均属于类时事件()，cV ，cββ′ >(图(a.4c))，cββ′ >的粒子在运动学上可以到达 4π立体角的各个区内，当然还是以前向为主末态的光子或中微子可以在背向2π立体角内出现 由于运动学的效应， 在静止靶实验中， 多数粒子， 尤其是重的粒子都集中在靶的前向区实验上多用前向谱仪 如用来寻找粒子的谱仪就是一种前向的双臂谱仪， 是以靶为顶点半张角为14的两臂组成(参见图(2.26))。

在对撞实验中，实验室系就是动量中心系谱仪采用J?4π谱仪（全立体角） (3) 微分截面的变换关系微分截面的变换关系 一个过程发生的几率应与惯性系的选择无关 ()()ddddddσσ′′Ω =ΩΩΩ因此 248核与粒子物理导论核与粒子物理导论 cos()()cosddddd dddddσσσθ θ′′Ω′′==ΩΩΩΩ带撇号的表示动量中心系的量其它的为实验室系中的量，由式(a.28)的逆变换及 0coscos=′=′ θθdPd dEd推出 cos cos(1cos)ccdP dPθ θγβθ β′=′−(a.31) P Eβ=是粒子相对于K系速度，由式(a.28)及 (coccEEPs)γβθ′′′=+ 出发，可以推得 )/cos1 (coscos33βθβγθθ ′+′=′ccPP dd(4) 角分布的变换关系角分布的变换关系 微分截面是理论模型推出的过程发生几率在空间的分布实验仪器记录是该过程出射粒 子在空间中的强度分布它们之间存在着如下的联系： 1(cos ) cos() cos()()dIdddddddddσθθθσσσσ≡Ω ′′=Ω =ΩΩΩ∫∫因此 cos(cos )(cos)cosdIIdθθθθ′′= (a.33) (5) 动量分布动量分布(WP)θ，和能量分布和能量分布()WEθ， (WP)θ，表示末态某特定粒子具有动量大小为方向为Pθ的几率。

WE)θ，表示末态某特定粒子具有能量E，出射方向为θ的几率，由规一条件得 ∫∫=′′′′=1),(),(θθθθdPdPWdPdPW ∫∫=′′′′=1),(),(θθθθdEdPWdEdEW (a.34) 将极轴选为入射粒子的方向，分布方位对称，对φ积分给出2π因子为找到dPdθ，和249附录一附录一 dP dθ′′的联系，需要利用洛仑兹不变量： dPdP EE′=′??(a.35a) 及关系 θθπddPPdPdPdPPdzyxsin22==?θθπ′′′′=′′′=′dPdPPdPdPdPdzyxsin22?由关系式θθ′′=sinsinPP和式(a.35a) EdPdP EPdPd ′′′′=θθ(a.35b) 整理得： P Ed dPdP dPEθθ′′′=′(a.36) 代入式(a.34)左边，求得： ()(PEWPWPP Eθ)θ′′′=′，， (a.37) 由式(a.36)有：PPdEddPddP ddE dEEθθθθ′′′′===′′)，代入式(a.34)得： ()(WEWEθθ′′=，， A.3 典型过程的运动学典型过程的运动学 两体末态和三体末态是粒子相互作用的常见的过程的末态。

根据能动量守恒定律可以解 析地表示过程中运动学参数之间的关系 1）） 过程的部分宽度过程的部分宽度 根据量子力学的基本原理，过程aAbB+→++?的部分宽度表示：单位体积中有一 个粒子和单位体积中一个靶粒子之间由于某种相互作用， 单位时间内到达某一特定的相体积 元的末态的几率，即： 2~ 2fdπμρΓ∏(a.40) (2) 末态相空间因子末态相空间因子fρ 333 121 3(1)(2)n fndP dPdPdndnVdEρπ− −==???? ?，，为动量空间体元中的态数，和前面一样讨论，在dnfρ中引入末态粒子的能量因子， 使末态的相空间元具有洛仑兹不变性fρ的一般形式为： 333 121 3(1)(2 )2n fn f fdP dPdP dEEρπ− −=∏????(a.41) 这里取体积， 1V =1c==?2）） 二体衰变运动学二体衰变运动学 母粒子，衰变成两个粒子(EP?，)11()EP?，和22()EP?，图(a.5)表示粒子M的衰变，相应的运动学参数在图中给出 图(a.5) 两体衰变图示 251附录一附录一 将系统的参考系选在粒子M上动量中心速度为： 2222ccPPEPM EMPMβγ+==== +???M(a.42) 由能动量守恒，推出末态粒子在上述参考系中的能量和动量分别为： MmmME22 22 121−+=′ [][]2122 2122 212214)()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−+−=′=′MmmMmmMPP??(a.43) 由式(a.40)，(a.41)得到部分宽度为： 22(2)2fdMπμρΓ =d ′Γ =Ω 3）） 三体衰变运动学三体衰变运动学 母粒子质量为(EP?，)M，衰变成三个粒子，12mmm，，311()EP?，，22()EP?，，33()EP?，表示末态粒子的四动量。

图(a.6)表示其衰变的过程 图(a.6) 三体衰变示意图 252核与粒子物理导论核与粒子物理导论 （（1） 独立的运动学变量的选择） 独立的运动学变量的选择 能量动量守恒，规定了三体末态的独立变量只有两个在任意惯性坐标系中，下述方程 成立： PPPPEEEE????=++++=321321222MPE=− (a.45) 在母粒子M静止的坐标系中 1231231231230 ()EEEMPPP TTTMmmmQ′′′′′′++=++= ′′′++=−++≡???(a.46) 为末态粒子的动能为研究三体衰变中，某种中间过程的关联，如共振态的产生等，常选用 末态粒子的组合的不变质量做为运动学独立变量： ()ijijijijPPPEEPPμμμ=+=++??， 在任意参考系中：2222()2ijijijijmPPmmP Pμμμ μ=+=++，所以： 222 1212122mmmP Pμ μ=++ (1) 222 2323232mmmP Pμ μ=++ (2) 22 3131()mPPμμ=+ 因为31()PPPP2μμμμ=−+， 2 31m= μμμμ 22 222 。