浅谈条件概率在生活中的应用--.doc

标题】浅谈条件概率在生活中的应用【作者】袁金琼【关键词】条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 生活中的应用【指导老师】王晓云【专业】数学与应用数学【正文】引言：条件概率是概率论中最基本的概念之…由条件概率获得的概率乘法公式、全概率公式和贝 叶斯公式是研究概率论的重耍工具本文在介绍了条件概率的定义、性质和与之相关的三个 重要公式的基础上，举例说明了条件概率在气象预测、抽签问题、产品质量检查、经济决策、 临床医学、无线电通讯、体育比赛和问卷调查设计等八个方而的应用1 条件概率的定义及性质1. 1 条件概率的定义定义1 对任意事件八和B, P(B)>0,则称P(A|B)= (1)为在事件B已知发生的条件下，事件A发生的条件概率定义2 若事件A发生的可能性不受事件B发生的彩响，即P(A|B)=P(A),则称事件A与 B是独立的［1］在古典概型中，设试验E的基本事件总数为N, 13所含的基本事件数为m(m>0) o AB所含的基 本事件数为k［2］,即有：P(A|B)===1. 2 条件概率的性质从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，如果P(B)>0,则有：(1) 、非负性：对任意事件A,有0 P(A|B) 1(2) 、规范性：对于必然事件S,有P(S|B)=1(3) 、可列可加性：设Al、A2、……是两两互不相容的事件，则有：P()=证明：⑴、由于AB ,故P(AB) P(B),从而有：0 =1(2) 、P(S|B)= = =1(3) 、由于Al、A2、 为两两互不相容的事件，故A1B、A2B 也是两两互不相容的事件，从而有：?()= = = =由条件概率具有的上面三条性质可知条件概率是定义在样本空间中的概率，所以它 具有事件概率的全部性质［3］。

如：P( |A)=0P( |B)=1-P(A|B)P(A C|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(AC|B)2 关于条件概率的三个重要公式2. 1 乘法公式由条件概率的定义，立即可以得到下述公式乘法公式:设A、B为两事件,若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)若 P(A)>0,则 P(AB)二P(A)P(B|A) (2)上述两式可以用来求某些积事件的概率，且很容易推广到多个事件的积事件的情况如：设 A、B、C 为事件,且 P(AB) >0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)在这里,注意到由假设P(AB)>0,可推得P⑷P(AB)>0 —般，假设Al、A2、……An为n个 任意事件(n 2), P(AlA2・・・An-l)>0,则有:P(AlA2-An)=P(Al)P(A2|Al)P(A3|AlA2)-P(AlA2-An-l)o证明：由于 P(A1) P(A1A2) ……P(A1A2-An-1) 0故上面等式右边是存在的，且等于P(A1)二? ?……? = P(A1A2-An) (3)2. 2 全概率公式设A、13是两个事件，那么A可以表示为A=AB A ，显然AB A =,如果P⑻、P( )>0,则P (A) =P (AB) +P (A )=P(A|B)P(B)+P(A| )P()上式是概率论中颇为简单事件，为了求复杂事件的概率，最后利用概率可加性得到最终结果, 这一方法的一般化就是所谓的全概率公式。

定义3 设S为试验E的样本空间，131、132、……丽为E的一组事件，若(1) BiBj= i j, i=j=R 2、3、 n(2) Bl B2 ……Bn=S则称Bl、B2、……Bn为样本空间S的一个划分若Bl、B2、……Bn是样本空间的一个划分,那么，对每次试验,事件Bl、B2、……Bn中必 有一个且只有一个发生例如：设试验E为“掷一颗子观察其点数”它的样本空间为S二{1, 2, 3, 4, 5, 6}, E 的一组事件B1={1, 2, 3}, B2={4, 5}, B3 ={6},是S的一个划分，而事件组C1二{1, 2, 3}, 02= {3, 4}, 03={5, 6}不是 S 的划分全概率公式:设试验E的样本空间为S, A为E的事件，Bl、B2>……丽为S的一个划分， 且P(Bi)>0, (i=l, 2,……)则对任意事件A,有:P(A)=P(B1)P(A|B1)+P (B2) P (A | B2)+ ……+P (Bn) P (A| Bn)(4)在很多实际问题中卩⑷不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B1、B2、……Bn,且P(Bi) 和P(A Bi)或为己知，或为容易求得，那么就可以根据上式，求得P(A)0证明：A=AS=A(B1 B2 ……Bn)=ABl AB2 ……ABn由假设 P(Bi)>0, (i=l, 2,……n)且 P(ABi)?(ABj)= , (i j, i, j=l, 2,……n)得到 P(A)=P(AB1)+ P(AB2)……+ P (ABn)二P(B1)P (A | Bl) +P (B2) P (A | B2)+ ……+P (Bn) P (A Bn)全概率公式的想法是将确定八的概率问题分解为确定八Bl、AB2.……ABn的概率。

2. 3贝叶斯公式由条件概率的定义和全概率公式，容易得到如下的贝叶斯公式贝叶斯公式:设试验E的样本空间为S, A为E的事件，Bl> B2、……丽为S的一个划分， 且 P(A)>0, P(Bi)>O(i=l, 2,……门)，则有P(Bi|A)= (i=l, 2, ……n) , (5)证明：由条件概率的定义及全概率公式即得：P(Bi|A)= = (i=l, 2,……n)特别在上面两式中取门二2,并将B1,记为B,此时B2就是，那么，概率公式和贝叶斯公式分别成为P(A)=P(A|B)P(B)+P(A| )P()P(A|B)二二这两个公式是常用的［3］3 条件概率的实际应用3. 1 条件概率在天气预测中的应用下而，我们将分别介绍条件概率在天气预报、抽签问题、产吊质量检查、经济决策、临床医 学、无线电通信、体育比赛、和问卷调査设计等八个方面的应用由长期的统计资料分析各有关规律，以便应用于不同两市的此类情况的预测是一个 非常重要的手段，而在下例中就是从不同地区各自的下雨情况进行分析，对以后的同一时间 下雨情况预测有一定参考例1 甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例, 甲为20%,乙为18%,两市同时下雨的天数占12%。

求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率， 甲市下雨是乙市也下雨的概率2)甲、乙两市至少一市下雨的概率［1］解：分别用A、B记事件2｛甲市下雨｝和肝｛乙市下雨｝,按题意有:P(A)=20%, P(B)=18%, P(AB)=12%,由条件概率公式可得：P(A|B)==二，P(B|A)=== 由事件和的概率公式可得,至少有一市下雨的概率为：P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=20%+18%-l2%二26%类似的情况通过条件概率的计算公式就可以很容易把公式得到的计算结果应用与 预测不同地区的同一时段的降雨情况，还可以应用于预测同一地区来年同一时段的降雨情 况，有一定的参考价值3. 2 条件概率在抽签问题中的应用在日常生活中我们常常需要确定一个次序问题，除了一般的某种特殊规定条件下的 次序外，而很多情况下都是采用抽签的方法，在下例中，就是讲述k个人依次在袋中抽球的 问题，且该问题可以拓展到由抽签决定应聘而试的课题和抽签决定谁去参加校庆晩会例2 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球⑴作放回抽样，(2)作不放回抽样，求第i人(i=l, 2,……k)取到白球(记为事件B)的概率(k a+b) ［2］o 解：(1)放回抽样的情况，显然有：P(B) =(2)作不放回抽样的情况，各人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有(a+b) (a+b-1)……(a+b-k+l)=A 个基本 事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同。

当事件B发生时，第i人取的应是 白球，它可以是“只白球中的任意一只，有a种取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1 只球中的任意k-1只，共有(a+b-1) (a+b-2)……[a+b-l-(k-l)+l]=A种取法，于是B中 包含s?A个基本事件故，得到：P(B)==值得注意的是P(B)与i无关，即k个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取 到白球的概率是一样的，大家机会相同(例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的) 另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(B)是一样的上面的例子是一个简单的应用，还有很多类似的情况，当遇到没有特殊条件确定顺 序时，都可以采用抽签的方法如比较彩票中奖问题，就是此类问题的复杂化3. 3 条件概率在产品质量检测中的应用产品质量对于我们消费者來说非常重要，所以我们耍对质量进行检测，产品质量检测需要我 们计算出产品被消费者接收的概率或其次品率，用条件概率的三个重要公式很容易计算出相 应的概率例3 验收一批乐器共100件，从中随机地取3件来测试(设测试是相互独立的)，如果3 种任意一件音色不纯，这批乐器就不被接收，已知一件音色不纯的乐器经测试被检出的概率 为0. 95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01,如果这100件乐器中有 4件是音色不纯的，问这批乐器被接收的概率是多少？解:设从100件乐器小取出3件进行测试，可能有四种结果，音色都是纯的，有一件音色 不纯，有两件音色不纯，有三件音色不纯。

设A二｛这批乐器被接收｝, B口取到的三件乐器中有i件不纯(i=0, 1, 2, 3)｝则Bi(i=0, 1,2, 3),构成了样本空间的一个划分且 P (BO) = P(B1)二P(B2)= P(B3) =由全概率公式可得：P⑷二二 X (1-0. 01)3+ X(l-0. 95)X0. 992+ X0. 99X0. 052+ X0. 0530. 8629例4 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，提供根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额1 0. 02 0. 152 0.01 0.83 0. 03 0. 05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志1) 在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率2) 在仓库中随机地取一只元件，若己知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此 次品由三家工厂生产的概率分别是多少？试求这些概率解：设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=l, 2, 3)表示“所取到的产品是由第i家工厂 提供的”，易知，Bl, B2, B3是样本空间S的一个划分，且有：P(B1)=O. 15, P(B2)=0. 80, P(B3)=0. 05, P(A|B1)=O. 02,P(A|B2)=0. 01, P(A|B3)=0. 03 o(1) 由全概率公式：P(A)=P(A|B1)P (Bl)+P (A | B2) P (B2)+P (A | B3) P (B3)=0.0125(2) 由贝叶斯公式：P（B1|A） =二=0. 24同理可算得:P （1321A）二 0.64 P（B3|A）=0. 12以上结果表明，这只次品来自第而家工厂的可能性最大。

3. 4 条件概率在经济决策中的应用条件概率在经济问题上的决策，众所周知，商家是以追求利润最大化为经营目的，而所得在 社会中受很多因数影响各商家竞争，如促销手段，产品单位价格，社会声誉等。