黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校2015届高三上学期期末数学试卷(文科).pdf

黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校2015 届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题： （每小题5 分，共 60 分.）1． （5 分）若 A={x|x2=1} ，B={x|x2﹣2x﹣ 3=0} ，则 A∩ B=（）A．3B．1C．?D．﹣ 1 2． （5 分）如果复数z=，则（）A．|z|=2 B．z 的实部为1 C． z 的虚部为﹣ 1 D．z 的共轭复数为1+i 3． （5 分）设条件p：a≥ 0；条件 q：a2+a≥ 0，那么 p 是 q 的（）A．充分条件B．必 要条件C． 充要条件D．非 充分非必要条件4． （5 分）已知 △ABC 中， ||=2，||=3，且 △ABC 的面积为，则∠ BAC= （）A．150°B．120°C．60° 或 120°D．30° 或 150°5． （5 分）等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5=8，S3=6，则 a9=（）A．8B．12 C．16 D．24 6． （5 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A．10πB．11πC．12πD．13π7． （5 分）已知m，n 是两条不同直线，α ， β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若 m∥α ，n∥α ，则 m∥n B．若 α ⊥γ ，β ⊥γ ，则 α ∥βC． 若 m∥α ，m∥β ，则 α ∥βD．若 m⊥α ，n⊥α ，则 m∥n 8． （5 分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A．B．C．D．9． （5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y 的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．10． （ 5分）已知函数f（x）=，则 f=（）A．2014 B．C．2015 D．11． （ 5 分）已知双曲线﹣=1（b＞0） ，过其右焦点F 作图 x2+y2=9 的两条切线，切点记作 C，D，双曲线的右顶点为E，∠ CED=150° ，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12． （5 分）已知函数y=f（x）是定义在R 上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈ R，不等式f（x2﹣ 6x+21） +f（y2﹣8y）＜ 0 恒成立，则当x＞3 时，x2+y2的取值范围是（）A．（9，25）B．（13， 49）C．（3，7）D．（ 9， 49）二、填空题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.）13． （ 5分）已知=（2，1） ，=（3，4） ，则在方向上的投影为．14． （ 5分）第十二届全运会于2013 年 8 月 31 日在沈阳举行，运动会期间从来自A 大学的 2名志愿者和来自B 大学的 4 名志愿者中随机抽取2 人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是．15． （ 5 分）已知向量=（sinx，1） ，=（t，x） ，若函数f（x）=? 在区间 [0，]上是增函数，则实数t 的取值范围是．16． （ 5分）下列五个命题：① 若一个圆锥的底面半径缩小到原来的，其体积缩小到原来的；② 若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；③ 直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2=相切；④“10a≥ 10b” 是“ lga≥ lgb” 的充分不必要条件．其中真命题的序号是： ．三、解答题17． （ 12 分）在 △ABC 中，设内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 向量=（cosA，sinA） ，向量=（﹣sinA ，cosA） ，若 |+|=2．（1）求角 A 的大小；（2）若 b=4，且 c=a，求 △ABC 的面积．18． （ 12 分）有 7 位歌手（ 1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5 组，各组的人数如下：组别A B C D E 人数50 100 150 150 50 （Ⅰ）为了调查评委对7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了6 人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别A B C D E 人数50 100 150 150 50 抽取人数6 （Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，B 两组被抽到的评委中各有2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这2 人都支持1 号歌手的概率．19． （ 12 分）如图， DC⊥平面 ABC ，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2 ，∠ ACB=120 ° ，P，Q 分别为 AE，AB 的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面 ACD ；（Ⅱ）求AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．20． （ 12 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 kOA?kOB=﹣，求证： △AOB 的面积为定值．21． （ 12 分）已知函数f（x） =xlnx．（l）求 f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m 的最大值．四、 【选修 4-4：坐标系与参数方程】（共 1 小题，满分10 分）22． （ 10 分）已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为p=4cosθ ．（1）写出 C 的直角坐标方程，并说明C 是什么曲线？（2）设直线l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，求 |PQ|．五、 【选修 4-5：不等式选讲】 （共 1 小题，满分0 分）23．设关于x 的不等式lg（ |x+3|+|x﹣7|）＞ a （1）当 a=1 时，解这个不等式；（2）当 a 为何值时，这个不等式的解集为R．黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校2015 届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题： （每小题5 分，共 60 分.）1． （5 分）若 A={x|x2=1} ，B={x|x2﹣2x﹣ 3=0} ，则 A∩ B=（）A．3B．1C．?D．﹣ 1 考点 ：交集及其运算．专题 ：计算题．分析：先求出 A 与 B 的解集，然后根据交集的定义即可得出答案．解答：解：∵ A={x|x2=1}={ ﹣1，1} ，B={x|x2﹣2x﹣3=0}={ ﹣ 1，3}，∴A∩ B={ ﹣ 1} ，故选 D．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2． （5 分）如果复数z=，则（）A．|z|=2 B．z 的实部为1 C． z 的虚部为﹣ 1 D．z 的共轭复数为1+i 考点 ：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题 ：计算题．分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．解答：解：由 z==，所以， z 的实部为﹣ 1，z 的虚部为﹣ 1，z 的共轭复数为﹣1+i，故选 C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3． （5 分）设条件p：a≥ 0；条件 q：a2+a≥ 0，那么 p 是 q 的（）A．充分条件B．必 要条件C． 充要条件D．非 充分非必要条件考点 ：充要条件．专题 ：简易逻辑．分析：由 a2+a≥ 0，得 a≥ 0，a≤ ﹣ 1，根据充分必要条件的定义可判断答案．解答：解：∵ a2+a≥ 0，∴a≥ 0，a≤ ﹣1，可判断：若p： a≥ 0；则条件q：a2+a≥ 0 成立．根据充分必要条件的定义可判断：p 是 q 的充分不必要条件，故选： A 点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题．4． （5 分）已知 △ABC 中， ||=2，||=3，且 △ABC 的面积为，则∠ BAC= （）A．150°B．120°C．60° 或 120°D．30° 或 150°考点 ：三角形的面积公式．专题 ：解三角形．分析：根据 S△ABC=||?||?sin∠BAC ，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．解答：解：∵ S△ABC=||?||?sin∠BAC ，∴=× 2× 3× sin∠ BAC ，∴sin∠BAC=，∴∠ BAC 为 30° ，或 150° ，故选： D．点评：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．5． （5 分）等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5=8，S3=6，则 a9=（）A．8B．12 C．16 D．24 考点 ：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．专题 ：等差数列与等比数列．分析：由给出的等差数列的第5 项和前 3 项和代入通项公式及前n 项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，解得： a1=0， d=2，所以 a9=a1+8d=0+8× 2=16．故选 C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了计算能力，此题属基础题．6． （5 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A．10πB．11πC．12πD．13π考点 ：由三视图求面积、体积．专题 ：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．所以球的表面积为4π×12=4π ．圆柱的侧面积为2π×3=6π ，圆柱的两个底面积为2π×12=2π ，所以该几何体的表面积为4π +2π +6π =12π ．故选 C．点评：本题考查由三视图求面积，考查学生的空间想象能力．7． （5 分）已知m，n 是两条不同直线，α ， β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若 m∥α ，n∥α ，则 m∥n B．若 α ⊥γ ，β ⊥γ ，则 α ∥βC． 若 m∥α ，m∥β ，则 α ∥βD．若 m⊥α ，n⊥α ，则 m∥n 考点 ：平面与平面平行的判定．专题 ：证明题．分析：通过举反例可得A、B、 C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．解答：解： A、 m，n 平行于同一个平面，故m，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故 A 错误；B、α ，β 垂直于同一个平面γ ，故 α ，β可能相交，可能平行，故B 错误；C、α ，β平行与同一条直线m，故 α ，β可能相交，可能平行，故C 错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确．故选D．点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．8． （5 分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A．B．C．D．考点 ：循环结构．专题 ：常规题型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量n 的值，并输出循环3 次后变量n的值．解答：解：当 i=1 时，执行循环体后，i=2，m=1，n=，当 i=2 时，执行循环体后，i=3，m=2，n=，当 i=3 时，执行循环体后，i=4，m=3，n=，故选 B 点评：本题考查的知识点是循环结构，分析题目中的框图，求出程序的功能并模拟执行是解答本题的关键．9． （5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y 的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．考点 ：简单线性规划．专题 ：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求 z 的最大值与最小值，进而可求z 的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由 z=3x﹣y 可得 y=3x﹣ z，则﹣ z 为直线 y=3x﹣z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z 平移到 B 时， z 最小，平移到C 时 z 最大由可得 B（，3） ，由可得 C（2，0） ，zmax。