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2011年数学奥林匹克希望联盟讲座（20100803） 镇海中学 沈虎跃一、2011IMO试题选讲 二、多项式问题选讲【问题1】设整系数次多项式在区间上有个不全相等的实根.若的首项系数是，求证：证明 设是所给多项式的根，我们有因为所有的根均在上，可得并且，当取整数值时，也是整数，所以均为非零整数.从而不等式能够保证每个因子均为正.对任意，都有，当且仅当时等号成立（这并不是对所有的都成立），我们得到这说明 考虑到是一个整数，我们得到【问题2】设非负实系数多项式有个实根.求证：（1）（2）对所有有（3）对所有有证明 显然当时，取正值，所以它的所有实根都是负数. 为方便起见，设其为其中为正.我们得到根据多项式的根与系数的关系得我们将看到，三个命题的证明都依赖于这个等式.（1）由AM-GM不等式，我们得到对于均成立.因此（2）这部分我们基本可以用相同的方法证明，这里要用到加权AM-GM不等式．对于所有的非负数和所有的，我们有如果那么（3）这是AM-GM不等式的又一个结论.系数是中所有可能的项乘积之和.有个这样的乘积，并且每个都包含在其中的个乘积中.因此【问题3】已知，求证：都是正数的充要条件是．【证明】必要性显然成立．下面证明充分性．由题设条件容易联想到韦达定理的逆定理，设，则由韦达定理得逆定理知，是多项式的三个根．又因为当时，，所以的根都是正的，即都是正数．【点评】（1）这里我们利用韦达定理的逆定理，构造以为根的辅助多项式，从而将问题转化为证明多项式的根全为正．这种构造的技巧在解多项式问题时经常用到．（2）由本题的证明启发我们将此题推广为：已知，则为正数的充要条件是证法与上例类似．【问题4】试确定形如的全体多项式，使多项式的根都是实数．【解】不妨先考虑，设其个根为，则 ， (1) ， (2) (3)由（1）、（2）得，于是，故．从而，又由（3）得，再利用平均不等式得，即．当时所求多项式成为；当时所求多项式成为；当时所求多项式成为（有虚根舍去），（有虚根舍去）．综上所求多项式共12个．【点评】此题中我们应用韦达定理和不等关系，求出的取值范围，进而求出的值，确定出符合题设条件的全体多项式．【问题5】设是实数，求证：存在实系数多项式，不能写成实系数多项式的平方和．证明： 是满足条件的多项式．证明如下：首先证明．若，显然．若，则，即，所以．下证不能写成实系数多项式的平方和．反设，其中．可设，比较和中的系数，得，即．比较对应的系数，得，即．比较对应的系数，得，即．因此 ．最后，比较的系数，得，这与是实数矛盾．证毕．【问题6】2011个实数满足方程组，试计算的值．解：构造多项式：，据所给的条件可知：当时，皆有．则有常数，使，先取，得．再取，可得．【练习】已知满足：对任意的均有求证：．证明：由于 = A 取( k = 1 ; 2 ; ……..; 2010) 则 A = -1 所以，令, 代入f (x) 得：…累加得：所以， . 【问题7】设n是一个正整数，考虑S=这样一个三维空间中具有个点的集合。

问最少要多少个平面，它们的并集才能包含S，但不含(0,0,0)分析 可能有人以前做过二维的，大体方法如下：二维时，我们可以考虑最外一圈的4n-1个点如果没有直线x=n或y=n，那么每条直线最多过这4n-1个点中的两个，故至少需要2n条直线如果有直线x=n或y=n，那么将此直线和其上的点去除，再次考虑最外一圈，只不过点数变成了4n-3个，需要至少2n-1条直线，再加上去掉的那条正好2n条如果需要多次去除直线，以至于比如x=1 x=2 ...... x=n这所有n条直线全部被去除了，那么剩下(0,1)(0,2)......(0,n)至少还需要n条直线去覆盖，2n条亦是必须的2n条显然是可以做到的，所以二维的最终结果就是2n但是将这种方法推向三维的时候，会出现困难，因为现在用来覆盖的不是直线而是平面，平面等于有了三个自由变量，而且不容易选取标志点来进行考察当然，我们要坚信一个事实，就是答案一定是3n，否则题目是没有办法做的在这个前提下，通过转化，将这个看起来是个组合的题目变成了一个代数题解 首先第一步，我们就要将每个平面表述成一个三元一次多项式的形式比如平面就表示成将所有这些平面表述成如此形式后，我们将这些多项式都乘起来。

下面我们需要证明的只有一点，就是乘出来的多项式，至少具有3n次3n个平面是显然可以做到的，只要证明这点，3n就是最佳答案了）这个乘出来的多项式具有什么特点呢？它在x，y，z均等于0时不等于0，在x，y，z取其它0～n之间的数值时，其值均为0我们发现，当多项式中，某一项上具有某个字母的至少n+1次时，我们可以将其降低为较低的次数我们用的方法就是，利用仅仅讨论x，y，z在取0，1，2，……，n这些值时多项式的取值这一事实，在原多项式里可以减去形如或者此式子的任何倍数的式子从而，如果多项式中某一项的某个字母次数超过n，可以用此法将其变成小于或等于n我们假设用此法变换过后剩余的多项式是F，显然F的次数不大于原乘积多项式的次数我们下面需要证明的，就是F中这一项系数非0（F中只有这一项次数是3n）要想证明这样的问题，我们需要证明二维即两个未知数时的两个引理引理1：一个关于x和y的实系数多项式，x和y的次数均不超过n如果此多项式在x=y=0时非零，在x=p,y=q（不全为0）时为零，那么此多项式中的系数必然不是零引理1的证明：假设的系数是0我们知道，当假设y=1，2，3……n中任意一值时，将y代入多项式，所得的多项式，必须都是零多项式。

这是由于当y取这些值时，此多项式为关于x的不超过n次的多项式，却有n+1个零点所以假设y是常数，按x的次数来整理该多项式，的次数是一个关于y的不超过n-1次的多项式，但是却有n个零点，故为零多项式因此，当按照x的次数来整理多项式时，x的最高次最多是n-1次现在令y=0代入多项式，转化为关于x的多项式，最多n-1次，但是有n个零点（1，2，……，n）因此，这个多项式应当是零多项式，但是这与此多项式在x=y=0时非零矛盾！引理2：一个关于x和y的实系数多项式，x和y的次数均不超过n如果此多项式在x=p,y=q（）时均为0，则此多项式为零多项式引理2的证明：对于任意的y=0，1，2，……n代入原多项式，变成关于x的不超过n次的多项式，这个新多项式必然是零多项式，否则它不可能有n+1个零点所以按x的次数来整理原多项式，对于任意的k=0，1，2，……n，项的系数都是一个关于y的不超过n次的多项式，但是却有n+1个零点，故所有的系数都为零回到原题假设F中这一项系数为0，那么设z为常数，考虑按x和y的次数来整理多项式FF中，项的系数，是一个关于z的，不超过n-1次的多项式但是，由引理2，这个多项式却拥有1，2，……，n共n个零点，故它是零多项式。

现在我们令z=0，化归成关于x和y的多项式此时项的系数已然是0，但是我们却发现，这个多项式恰恰在x=y=0时非零，在x=p,y=q（不全为0）时为零，这与刚才的引理1矛盾！综上，我们证明了多项式F中这一项系数非0，即原乘积多项式至少有3n次，即至少需要3n个平面，才能覆盖题目中要求的所有点而不过原点故原题的答案为3n点评】这是2007IMO的第6题，一个很难想出来的题目最关键的一点就是将这个看似组合几何的题目，转化成纯代数题尤其是在有二维的背景的前提下，在考试的时间内，更是很少有人能跳出思维的局限这或许就是为什么全世界顶尖的高中生只有区区4人做出此题的原因吧三、备选问题【问题8】数列定义如下：，且证明：对每一个正整数n，都有．证： 由于所以，又，所以，．于是 ，所以 ，．【问题9】已知满足条件：(1)对任意;(2) 求解：令可见其不动点集为再令，代入条件(1)得，再将代入得，结合两式可得：，故，这说明1是的不动点下面用反证法证明的不动点是唯一的假设存在i.若,由，令得，从而这与条件（2）矛盾ii. 若,由,而这与i矛盾综上只有一个不动点1，所以，即.。