动力学基本问题.doc

第十四章第十四章 达朗伯原理达朗伯原理教学目标：教学目标： 1、对惯性力的概念有清晰的理解 2、掌握质点系惯性力简化的方法，能正确地计算平动、定轴转动和平 面运动刚体的惯性力主矢和主矩 3、能熟练地应用达朗伯原理求解动力学问题 4、会计算刚体对任意轴的转动惯量、惯性积（离心转动惯量）和求定 轴转动刚体对轴承的附加动压力 5、了解惯性主轴、中心惯性主轴、静平衡与动平衡等概念 本章重点：本章重点： 1、惯性力的概念，平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的简化 2、达朗伯原理 3、用达朗伯原理求解动力学问题 本章难点：本章难点： 1、惯性力系的简化 2、惯性积和惯性主轴的概念本章介绍的是求解动力学问题的一种方法达朗伯原理是通过引入惯 性力的概念，把动力学问题用列平衡方程的方法求解这种方法又称为 “动静法” 一、一、惯惯性力性力设质点的质量为，在力的作用下产生加速度 ，则定义 mFraramFGrr 为质点的惯性力它是当质点的运动状态发生改变时，由于惯性反抗，对 施力物体的一种反抗作用 例如：质量为的小车，在人的推动下沿光滑的直线轨道运动，如图m 14.1 所示图 14.1 设小车的加速度为 ，由牛顿第二定律有：ar，是人作用于小车的力；amFrrFr, 是小车对人的作用力；GFamFFrrrrFr此种情况，小车对人的作用力恰好就是小车本身的惯性力。

二、达朗伯原理二、达朗伯原理1、质点的达朗伯原理设质量为的非自由质点，在主动力和约束力的作用下，作曲mMFrNFr线运动（图 14.2） ，图 14.2 设其加速度为 ，根据牛顿第二定律，有：aramFFNrrr将上式移项，有： 0amFFNrrr引入惯性力 ，有：amFGrr（14.1）0G NFFFrrr上式表明：在质点运动的任一瞬时，若把质点的惯性力假想地加在质 点上，则作用在质点上的主动力、约束力以及质点的惯性力在形式上组成 平衡力系这称为质点的达朗伯原理 式（14.1）的投影方程为000G zNzzG yNyyG xNxxFFFFFFFFF2、质点系的达朗伯原理 设由 个质点组成的质点系，其中第 个质点的质量为，加速度为，niimiar所受的力为：—外力， —内力iFr iFr质点的惯性力为：iiGamFrr由质点的达朗伯原理，有：0G NFFFrrr表示成力系形式为：0),,,,,,,,,(1121G nG nnFFFFFFFrLrrLrrLrr因为内力系成对出现，有，上式可表示为：0iFr 0ioFMrr（14.2）  00 G ioioG iiFMFMFF rrrrrr上式表明：在质点系运动的任一瞬时，若假想地把各个质点的惯性力 加在各个质点上，则作用在质点系上的外力系和质点系的惯性力系在形式 上组成一平衡力系。

这称为质点系的达朗伯原理 一般情况下，式（14.2）有六个投影方程： 对于平面力系，有：  000G ioioG iyiyG ixixFMFMFFFFrr例 14.1 已知：长为的无重杆，两端各固结重为 的小球，杆的l 2CDP 中点与铅垂轴固结，夹角为 轴以匀角速度转动（图 14.3） ，轴ABAB 承 A、B 间的距离为 h 求：轴承 A、B 的约束力？图 14.3a解：1、研究对象：整体2、分析受力（）BxAyAxFFFPPrrrrr,,,,图 14.3b3、分析运动，虚加惯性力， sinlaaanDc2sinlgPFFDG C24、应用动静法求解0)(00iAiyixFMFFv 020202cosl )sinlgP(hFPFFFFFBxAyG CG DBxAx解得 ， 222 singhPlFFBxAxPFAy2例 14.2 已知：上题中，若将杆看成是质量为的均质细杆，并CDm2 去掉小球；求：轴承 、 的约束力？D,CAB图 14.4a 图 14.4b解：1、研究对象：整体2、分析受力（）BxAyAxFFFgmrrrr,,,3、分析运动，虚加惯性力杆的惯性力成线形分布。

)OC(OD最大惯性力载荷集度 ， 2sinllmqGsinmllqFFGG ODG OC2212 作用位置如图图 14.4c 图 14.4d4、应用动静法求解0)(00iAiyixFMFFv 0322020coslFhFmgFFFFFG ODBxAyG CG DBxAx解得 ， 2322 sinhmlFFBxAxmgFAy2三、刚体惯性力系的简化刚体内各质点的惯性力形成了一个连续分布的惯性力系，应加以 简化： 1、复习力系向一点简化图 14.5a 图 14.5b， iFFrr iooFMMrrr2、惯性力系向一点简化，主失和主矩图 14.5c惯性力系： ),(),,(21G oGG nGGMFFFFrrrLrr主失 ： (cciiiG iGamrmrmamFFr&&r&&rrrr主矩 ： :GM0 1）刚体平动：简化中心：质心“”C 惯性力系为一同向平行力系，可简化为过质心的一合力（图 14.6） （类似于重力）图 14.6， cGmaF0G cM2）刚体定轴转动 惯性力系简化为平面力系的条件：刚体具有质量对称平面，且 质量对称平面垂直于转轴。

简化中心：转轴“”O图 14.7a 图 14.7b参看图 14.7 ， )a(iiG icrmF2iiG inrmF02 0000)()()]()([IrmFMFMFMMiiG iG inG iGvvv定轴转动刚体向转轴简化的惯性力（参看图 14.7）大小为)b(， ， cGmrF2cG nmrF)ocr(c00IMG3）刚体平面运动：简化中心：质心“”C 刚体平面运动 随质心平动+相对质心转动 惯性力为（参看图 14.8）图 14.8， amFGvvcG cIM例 14.3 写出下列各图所示刚体的惯性力，并在图上表示其方向： 1）在图 14.9（a）中：设 OA 为均质杆，质量为 m，长度为 l图 14.9（a） 2）在图 14.9（b） （c） （d）中：设轮 C 均为质量为 m，半径 为 R 的均质圆盘图 14.9（b） 图 14.9（c） 图 14.9（d）3）在图 14.9（e）中：设杆，，AB 杆为均质杆，BO//AO21lAO1质量为，不计、的质量mAO1BO2图 14.9（e）解：1、图 14.9（a） ，，2lmFG2 2lmFG n320mlMG图 14.9（a） 图 14.9（b） 2mRFG n图 14.9（b）图 14.9（c） RmMG c2图 14.9（c）图 14.9（d） ，cGmaFRamRMcG c22 图 14.9（d） 图 14.9（e） ，mlFG2mlFG n图 14.9（e）2．图 14.9（ ）中若将惯性力向质心“C”简化，有a，即， （图 14.9(a’)） 124322220ml)mlml(lFMMGGG ccG cIM图 14.9（a’）例 14.4 已知：匀质正方形平板边长为 ，重，设lkgP1 ，不计杆重， ，（图 14.10）rBOAO21lOO21o30图 14.10(a)求：剪断绳时，两杆的受力及角加速度？GH 解：1、研究对象：正方形平板2、分析受力（，，）PvAFvBFv3、分析运动，虚加惯性力图 14.10(b) 图 14.10(c)平板作曲线平动 cGagPF4、应用动静法求解0)(00iciniFMFFv02200l)sinFcosF(l)cosFsinF(cosPFFsinga ,sinPagPsinPFBBAABAccG，联立（a） （b）两式，解得：，)sin(cosPFA2)cos(sinPFB2 代入，得o30，，P.FA1830P.FB6830gac21杆的角加速度为 AO1grra racA 21例 14.5 已知 5已知：图 14.11 所示直角杆由均质杆 OA 和 AB 焊 接而成，在光滑的水平面内绕铅直轴 O 转动。

设 ，杆 AB 的质量为 2mlOAAB22图 14.11(a) 图 14.11(b)求：某瞬时杆的角速度为，角加速度为 时，焊点 A 的内力？ 解：1、研究对象： 杆3、分析受力（ ，，）AFvAnFvAM3、分析运动，虚加惯性力，lmFG22222mlFG nm)l(mIMcG c32 12222 4、应用动静法求解0)(00iAiniFMFFv0454500G coGoG nAG nAnG AM)sinFcosF(MFFFF解得 ，，mlFA22222mlFAn)(mlMA23432例 14.6 已知：匀 6已知：匀质圆柱在铅直面内，半径为 R， 重为 P， （图 14.12） ，求：移去支承lAB  B 瞬时圆柱的角加速度？A 点的约束力？图 14.12(a) 解：1、研究对象： 圆柱2、分析受力（，，）PvAxFvAyFv3、分析运动，虚加惯性力，RgPFG2 23RgPMG A图 14.12(b)4、应用动静法求解000)(iyixiAFFFMv003022 cosFPFsinFFRgl,lPMG AyG AxG A其中 ，，Rlcos2RlRsin2422Rl gPRgPFG 3解得 ，22 246lRRPlFAx)Rl(PFAy2261例 14.7 已知：在图 14.13 中，轮 C 是半径为 R，质量为 m 的均 质圆盘，杆纯滚，时，，轮 C 静止，OA 杆与铅直线夹角为0t0s ，杆重不计。

图 14.13(a) 求：轮心 C 移动距离 S 时，？焊缝 O 处约束力？av解：1、研究轮 （，，，，）gmvNFvSFGFvG cM图 14.13(b)，cGmaFRamRMcG c22 000)(iyixiBFFFMv000sinmgFcosmgFFcosmgRRFMNG sGG c解之得 ，，cosac32sinmgFNcosmgFs312、研究 OA 杆（，，，）oxFvoyFv0MNFvsF图 14.13(c)000)F(MFFioiyix0000SFMFFFFNNAysAx解之得 ，，cosmgFAx31sinmgFAySsinmgM0例 14.8 已知：均质杆 AB，质量为 m，长度为 ，用软绳l AD、BE 悬吊，如图 14.14 所示 求：剪断 BE 绳时，AB 杆角加速度和 AD 绳拉力？ 解：1、研究 ： 杆2、分析受力（，）gmvAFv3、分析运动，虚加惯性力剪断 BE 绳时，AB 杆作平面运动，，XmFG x&&cG yymF&&122mlMG c0)(00iciyixFMFF。