2018-2019学年高中数学第2章3计算导数课时作业北师大版选修2-2.doc

成才之路】2018-2019学年高中数学 第2章 3计算导数课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)A．0　　　　　　　　　 B．2xC．6 D．9[答案]　C[解析]　f′(x)＝2x⇒f′(3)＝6.2．(2014泰安模拟)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则(　　)A．f ′(x0)<0 B．f ′(x0)>0C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在[答案]　B[解析]　由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x0)＝3.故选B.3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y－3＝0[答案]　A[解析]　y′＝4x3，直线x＋4y－8＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为4.所以4x3＝4，解得x＝1.所以切点为(1,1)，切线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.4．函数y＝lgx在x＝1处的瞬时变化率为(　　)A．0　　 B．1　　C．ln10 D．[答案]　D[解析]　y′＝，∴函数在x＝1处的瞬时变化率为＝.5．(2014新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)A．0 B．1C．2 D．3[答案]　D[解析]　 ∵f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.二、填空题6．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．[答案]　3[解析]　y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.7．曲线y＝f(x)＝2x2在点(－1,2)处的切线方程为________．[答案]　4x＋y＋2＝0[解析]　∵y＝f(x)＝2x2，∴f′(x)＝4x，f′(－1)＝－4.故曲线y＝2x2在点(－1,2)处的切线方程为y－2＝－4(x＋1)，化简得4x＋y＋2＝0.8．直线y＝x＋b(b是常数)是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.[答案]　ln2－1[解析]　对曲线对应的函数求导得y′＝，令＝得x＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝2＋b，所以b＝ln2－1.三、解答题9．求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log2x.[解析]　(1)y′＝′＝(x－2)′＝－2x－3(2)y′＝()′＝(x)′＝x－(3)y′＝(log2x)′＝10．求曲线f(x)＝x3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．[解析]　因为f(x)＝x3，所以f′(x)＝3x2，所以f′(3)＝27，得曲线f(x)＝x3在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54，所以切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0，－54)，所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S＝254＝54.一、选择题1．下列各式正确的是(　　)A．(sina)′＝cosa(a为常数) 　　B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosx 　　D．(x－5)′＝－x－6[答案]　C[解析]　由导数的运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sina)′＝0.故选C．2．曲线y＝x3＋ax＋1的一条切线方程为y＝2x＋1，则实数a＝(　　)A．1　　　 B．3　　　C．2　　　 D．4[答案]　C[解析]　设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋a，∴3x＋a＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x＋ax0＋1＝2x0＋1②由①②得3．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是(　　)A． B．或C． D．[答案]　B[解析]　y′＝′＝－，解得－＝－4，解得x＝，所以P点的坐标为或，故选B.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　　)A．　　 B．－　　C．　　 D．－[答案]　D[解析]　由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3＝－1，∴＝－.二、填空题5．下列命题中，正确命题的个数为____________．①若f(x)＝，则f′(0)＝0；②(logax)′＝xlna(a＞0，a≠1)；③加速度是动点位移s(t)对时间t的导数；④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线．[答案]　0[解析]　①因为f(x)＝，当x趋于0时不存在极限，所以x＝0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，(a＞0，a≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s(t)对时间t的导数，故错误；④曲线y＝x2在(0,0)处的切线为直线y＝0，故错误．6．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案]　(1，e)　e[解析]　∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，∴直线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．∴y－ex0＝ex0x－x0ex0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．∴x0ex0＝ex0.∴x0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.三、解答题7．试比较曲线y＝x2与y＝在它们交点处的切线的倾斜角的大小．[解析]　解方程组，得，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y＝x2，y′＝2x，所以曲线y＝x2在交点(1,1)处的切线l1的斜率k1＝2；对于函数y＝，y′＝－，所以曲线y＝在交点(1,1)处的切线l2的斜率k2＝－1.由于k1>0，k2<0，所以切线l1的倾斜角小于切线l2的倾斜角．8.试求过点A(3,5)且与曲线y＝f(x)＝x2相切的直线方程．[分析]　本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A是否在曲线上，若A在曲线上，则A可能为切点，否则A不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析]　点A不在曲线y＝x2上，应先求切点．设所求切线的切点为P(x0，y0)，因为P是曲线y＝x2上一点，所以y0＝x.又过点P(x0，y0)的切线斜率为f′(x0)＝2x0，而所求切线过点A(3,5)和P(x0，y0)两点，所以其斜率又应为.所以2x0＝，将它与y0＝x联立，得所以或即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k1＝2，相应切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1；当切点为(5,25)时，切线斜率k2＝10，相应切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上，所求切线方程为y＝2x－1或y＝10x－25. 。