物理竞赛微积分初步求导积分.ppt

微积分初步微积分初步•函数的导数与微分函数的导数与微分•函数的不定积分与定积分函数的不定积分与定积分§1 函数、导数与微分函数、导数与微分一、变量、常量与函数一、变量、常量与函数•变量：变量：在某一过程中取值会在某一过程中取值会不断变化不断变化的量•常量：常量：在某一过程中取值在某一过程中取值始终不变始终不变的量•函数：函数：变量变量 y 按某种确定的关系随变量按某种确定的关系随变量 x 的变化而的变化而变化，则称变化，则称 y 是是 x 的函数的函数，，x 叫自变量，叫自变量，y 叫因变量，叫因变量，写作：写作： y=f (x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x•复合函数：复合函数：若若 y 是是 z 的函数的函数 y=f (z)，而，而 z 又是又是 x 的的函数函数 z=g(x)，则称，则称 y 是是 x 的复合函数，记作：的复合函数，记作：　　　　　　　　　　 　　y= (x)=f[g(x)]　例：　例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)二、函数的导数二、函数的导数△△x△△yxyy=f(x)xx+ △△x 设函数设函数 y=f (x) 在在 x 处有一增量处有一增量△△x，，相应地函数有增量相应地函数有增量 △△y ，则比值，则比值叫函数叫函数 y=f (x) 在在 x 到到x+ △△x 之间的之间的平均变化率平均变化率。

•函数函数 y=f (x) 在在 x 处的导数定义为：处的导数定义为：例：求函数例：求函数 y = x2 在在 x= 1 和和 x = 3 时的导数值时的导数值解：解：由由有有所以当所以当 x = 1 时，时，y’ = 2，当，当 x = 3 时，时，y’ = 6△△x△△yxyy=f(x)xx+ △△xPQ•导数的几何意义：导数的几何意义：　　从图中知道，　　从图中知道， △△y/ △△x 是是过过P、、Q 两点的割线的斜率，而当两点的割线的斜率，而当△△x 0 时，割线成为过时，割线成为过P 点的切线，因点的切线，因而导数而导数 y’=f ’(x) 表示曲线在表示曲线在 x 处处切线切线的斜率的斜率　　函数　　函数 y=f (x) 在某处的导数值，就表示了该处在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数切线的斜率，也就是在该点处函数 y=f (x) 随随 x 的的变化率•基本函数导数公式基本函数导数公式•导数的基本运算法则：导数的基本运算法则：（设（设 u = u(x), v = v(x) ））例例1：求：求 y = x3 ln x 的导数的导数解解例例2　求　求 y = sin x / x 的导数的导数解解•二阶导数与高阶导数二阶导数与高阶导数　　前述函数的导数是　　前述函数的导数是 y 对对 x 的一阶导数，若将一的一阶导数，若将一阶导数阶导数 y’ 再次对再次对 x 求导，则为二阶导数：求导，则为二阶导数：　　同理，将二阶导再对　　同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。

导的导数则为四阶导等例　求例　求 y = x3+3x2 的二阶导数的二阶导数三、函数的极值三、函数的极值x1x2x3xy　　若函数　　若函数 y =f (x) 在某一点在某一点 x1 的函数值的函数值 f (x1) 比邻近各点的函比邻近各点的函数值都大或都小，则称数值都大或都小，则称x1 为一为一个极值点，个极值点， f (x1) 为函数的一个为函数的一个极值图中极值图中x1 和和x3为极大值点，为极大值点， x2为极小值点，为极小值点， f (x1) 和和f (x3) 为为极大值，极大值， f (x2) 为极小值为极小值　　极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的　　极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：　判定条件是：　f ’(x) = 0极大值点的条件是：极大值点的条件是： f ’(x) = 0，，f ’’(x) ＜＜ 0极小值点的条件是：极小值点的条件是： f ’(x) = 0，，f ’’(x) ＞＞ 0例　求函数例　求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值的极值点和极值解：因解：因 y’ =12x2-6x 令令 y’=0 得得 x1=0, x2=1/2 此为其两个极值点。

此为其两个极值点 又　又　y’’=24x - 6，， 有有 y’’(x1)= - 6 ＜＜0，， y’’(x2)= 6＞＞0因而因而 x1=0 是极大值点，对应的极大值为是极大值点，对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点，对应的极小值为是极小值点，对应的极小值为 y2=19/4四、函数的微分四、函数的微分例　求函数例　求函数 y = 5x + sin x 的微分的微分函数函数 y 对自变量对自变量 x 的导数的导数可将可将 dx 看成是自变量看成是自变量x 的一个趋于零的微小增量，的一个趋于零的微小增量，称为称为自变量的微分自变量的微分；而相应的将；而相应的将 dy 看成是函数看成是函数 y 的微小增量，称为的微小增量，称为函数的微分函数的微分有：有：§2§2　不定积分　不定积分一、原函数一、原函数　　　　前一节学了求函数前一节学了求函数 y = f (x) 的导数的导数 f ’(x)，现若，现若已知已知一函数一函数 F(x) 的导数为的导数为 f (x) ，要，要求求原函数原函数F(x) 　　例　因例　因 (x3)’ = 3x2 ，，所以所以 x3 为为3x2 的原函数的原函数　（　（sin x)’ = cos x ，， sin x 是是cos x 的原的原函数函数∵∵ 　　F ’(x) =[F(x) +c ]’，，c 为任意常数，为任意常数，∴∴　　函数函数 f (x) 的原函数有任意多个：的原函数有任意多个： F(x) +c 二、不定积分二、不定积分•定义：定义：函数函数 f (x) 的所有原函数的所有原函数F(x) +c 叫叫 f (x) 的的不定积分不定积分，记为：，记为：•不定积分的性质：不定积分的性质：这说明不定积分是求导数的逆运算。

这说明不定积分是求导数的逆运算•不定积分公式：不定积分公式：•不定积分运算法则：不定积分运算法则：3. 若能找到函数若能找到函数 u= u(x) ，使，使且积分且积分较易求出，则：较易求出，则：例例1　求　求解：令解：令 u = 1+x , 微分得：微分得：du =dx ，有：，有：例例2　求　求解：令解：令 u = ax+b , 微分得：微分得：du =adx ，有：，有：例例3　求　求解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：例例4　求　求解：令解：令 u = e3x, 微分得：微分得：du =3 e3x dx ，有：，有：§3 §3 定积分定积分 　　　设函数　设函数 y=f (x) 在闭区间在闭区间[ a, b ] 上连续，将区间上连续，将区间[ a, b ] 作作 n 等分，各小区间的宽度为等分，各小区间的宽度为△△x ，又在各小区间内选取一点，又在各小区间内选取一点xi 得出函数在这得出函数在这些点处的值些点处的值 f (xi) (i= 1,2,3,…,n)ab xyxiy=f (x)f (xi)△△x•定义：定义：为函数为函数 f (x) 在区间在区间[ a, b ] 上的上的定积分定积分。

f (x) 为被积为被积函数，函数，a ,b 分别为积分下限和上限分别为积分下限和上限•定积分的几何意义：定积分的几何意义：ab xyy=f (x)f (xi)△△x　　由图可知　　由图可知 f (xi) △△x 为图中一个小区为图中一个小区间的面积，因而定积分：间的面积，因而定积分：表示了区间表示了区间 [ a, b ] 上，上，曲线曲线 y =f (x) 下方的面积下方的面积注意：注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积义下的面积•定积分的主要性质：定积分的主要性质：•定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式）定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式）若不定积分若不定积分则定积分则定积分　　由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其　　由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数不定积分（原函数 F (x) ），再求），再求 F(b) - F(a) 例例1　求　求解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：例例2　求　求解：令解：令 u = cos x , 微分得：微分得：du = - sin x dxyxy=x2y=4-x2AB例例3　求由曲线　求由曲线 y=x2 和曲线和曲线 y=4-x2　　所包围的面积。

所包围的面积解：先求出两曲线交点解：先求出两曲线交点A , B的的 x 坐标为坐标为:由定积分的几何意义知有：由定积分的几何意义知有：此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！。