[理学]第8章-量子化学计算方法课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,*,*,量子化学计算方法,第八章,,1,量子化学计算方法第八章1,总电子波函数,多电子体系,§8.1 原子轨道线性组合的分子轨道法,,2,总电子波函数多电子体系§8.1 原子轨道线性组合的分子轨道法,式中 为有效单电子算符,§8.1 分子轨道法,一、Hartree-Fock-Roothaan方程,1.自洽场近似,设想每个电子在各原子核及其它电子所产生的平均势场中运动,，因此每个电子服从一个单电子Shrödinger方程,若已知这些单电子态函数，则体系的电荷分布确定，则可以计算出对于体系中各个单电子的平均势场3,式中 为有效单电子算符 §8.1 分,而根据这个势场，又可以求出各个电子的单电子态函数因此单电子波函数和平均势场是相互制约的合理的要求是由单电子波函数决定的平均势场与由平均势场确定的单电子波函数要相互协调或“自洽”满足这种要求的体系的平均势场，称为,自洽场,可借助于变分法及迭代法来实现由电荷球形平均产生的势场就是球形平均的势场,,4,而根据这个势场，又可以求出各个电子的单电子态函数。

因此单电子,,设一个闭壳层分子具有2,n,个电子充满,n,个分子轨道,y,1,,,y,2,,,y,3,,, ,,y,n,第,i,个电子所在的空间,r,j,产生的静电势,其它电子在,r,j,点所产生的总静电势是,2. 闭壳层体系的Hartree-Fock-Roothaan方程,(1)闭壳层的Hartree-Fock方程,,5,设一个闭壳层分子具有2n个电子充满n个分子轨道y1,y2,y,Hartree方程,Hartree方程中体系的总波函数是单电子波函数的乘积波函数但简单的乘积波函数不满足反对称要求Fock把电子交换的反对称性考虑了进去Fock把电子交换的反对称性考虑了进去对每一对自旋轨道,f,j,(,q,j,)，由轨道坐标函数,y,j,(,r,j,)，与自旋函数(,a,j,,,b,j,)的乘积构成6,Hartree方程Hartree方程中体系的总波函数是单电子,总电子波函数,用反对称化的单粒子态乘积波函数作变分函数，导出单粒子态,函数应满足的微分方程，通常称为Hartree-Fock方程7,总电子波函数用反对称化的单粒子态乘积波函数作变分函数，导出单,Coulomb积分,如何选择一套单电子轨道函数，使得表示的体系的波函数逼近体系的精确解。

交换积分,Pauli原理要求自旋相同的电子,在同一地点出现的概率为零8,Coulomb积分如何选择一套单电子轨道函数，使得表示的体系,单电子的能量,体系的电子总能量,,9,单电子的能量体系的电子总能量9,(2) Koopmans原理,假定从闭壳层体的,y,n,轨道移出一个电子，并不影响离子化体系,波函数的形式，即电离后的2,n,-1电子体系的总波函数,Y,’,为,相应体系的能量,电离能,IP,(,n,),,10,(2) Koopmans原理假定从闭壳层体的yn轨道移出一个,Koopmans定理适用于电离过程速度很快，核及其他电子未,及变化的情况，垂直跃迁电离过程11,Koopmans定理适用于电离过程速度很快，核及其他电子未1,电子总能量变分要求,{,,,,,,c,,},满足,Roothaan,方程,F c,,=,,,,S c,,,,,S,为,AO,重叠矩阵:,,对,,Hartree-Fock,方程引入,LCAO-MO,近似，即每个分子轨,道用原子轨道线性组合表示时，分子轨道的自洽场方程就变为一,组代数方程，称为Roothaan方程3) Roothaan 方程,,12,电子总能量变分要求{  , c }满足 Roothaa,自旋限制性的(Restricted)方案,：以上处理中，我们限定了一,个轨道放两个自旋相反的电子(,RHF,)。

开壳层(open shell)体系,：含有奇数个电子的分子或处于激发态,的含有偶数个电子的体系对于开壳层体系，也可以选择自旋限制性的方案，除了未成对,电子外，其他电子是成对的放在一个轨道里的这种处理方案叫,ROHF,13,自旋限制性的(Restricted)方案：以上处理中，我们限,非限制的(Unrestricted Hartree-Fock)方案(UHF),：,采取自旋非限制的方案，即,a及b,两种电子可以有不同的空间轨道3.开壳层体系的Hartree-Fock-Roothaan方程,若体系含,K,个自旋为,a,的电子与,L,个自旋为,b,的电子组，,K,>,L,总电子波函数,LCAO-MO近似,两组Roothaan方程,,14,非限制的(Unrestricted Hartree-Fock,第,i,个,a,轨道及,b,轨道的单电子能量,总电子能量,,15,第i个a轨道及b轨道的单电子能量总电子能量15,二、从头算方法,从头算方法,非相对论近似,,Born-Oppenheimer近似,轨道近似,基函数,,Slater函数 STO,Gauss函数 GTO,建立在仅仅包含三个近似(非相对论近似,B-O近似,轨道近似)的Hartree-Fock-Roothaan方程基础上的严格的量子化学计算，称为从头计算法.,,16,二、从头算方法从头算方法非相对论近似Born-Oppenhe,1、GTO,从头算基于 Gauss基 (GTO)展开 原子轨道。

GTO的两个性质,(1),可实现变量分离,(2)根据Gauss乘积定理可以把两个不同中心的GTO乘积化为,一个中心的GTO的线性组合GTO(Gauss性轨道),在笛卡尔坐标系中，以A为中心的Gauss函数(GTO)为,其中,x,A,,,y,A,,,z,A,是以A为坐标原点的空间点的坐标，,r,A,为点A,到空间点的距离17,1、GTO从头算基于 Gauss基 (GTO)展开 原子轨道,Gauss乘积定理,和 的乘积可表为P点的,的线性组合,P点相当于A与B点的“质心”，,a,1,及,a,2,相当于A和B的质量，,b,=,a,1,+,a,2,,18,Gauss乘积定理,2.积分计算,(1)重叠积分,(2)动能积分,,19,2.积分计算(1)重叠积分(2)动能积分19,(3),核吸引能积分,(4),电子排斥能积分,,20,(3)核吸引能积分(4)电子排斥能积分20,3. 基组选择,(1) 直接用GTO,用GTO的线性组合进行计算,所有s轨道都取1s型GTO组合所有p轨道都取2p型GTO组合所有d轨道都取3d型GTO组合对于氢原子，选用4个s型GTO组合。

对锂到氩，选取9个s型轨道和5个p型GTO组合基函数的缩合,氧原子： 9s5p,前6个组合成一个新基函数，一个独立，另外两个组合成,一个另一个新基函数，共,三个基函数,四个p型的GTO组合一个新基函数，一个独立，共,两个基函数,氧原子： 9s5p//3s2p；氢原子：4s//2s,氧/氢原子： 9s5p/4s//5s3p/3s,,21,3. 基组选择(1) 直接用GTO用GTO的线性组合进行计算,(2) STO-NG基组,(3) 劈裂基组,STO:Slater型函数,STO与原子轨道性质相近，但是以STO为基函数进行多,中心积分时计算困难，收敛很慢而GTO收敛较快用GTO展开STO，而用GTO去计算，这种基组称为,STO-,N,G内层用STO-,N,G；外层电子用收缩Gauss基的方法，形成,几组独立变分的基函数6-311G：内层电子用STO-6G，价层电子用一组3个GTO组合,而成的基函数和两个独立的GTO函数来描写弥散函数：,6-311G外面的两个GTO常叫弥散函数，它可以描写,在成键和原子荷电变化时轨道的涨与缩，以弥补由于STO轨道,指数固定而不能描述轨道轨道的不足22,(2) STO-NG基组(3) 劈裂基组STO:Slater,极化函数：,常加入高,l,的GTO以描写在成键过程中的变形，,相当于杂化。

6-311G**:指对价层的s轨道加入p型函数，p轨道加入d型函数23,极化函数：常加入高l的GTO以描写在成键过程中的变形，23,三、有效势,由于化学反应只与外层价电子有关，内层电子对化学来说是,惰性的，如能进行“价”与“实”分离，计算量会减小很多，对重,元素特别明显实(core)包含全部内层的,n,c,个电子和原子核实对价电子的作用,不只是(,Z,-,n,c,)/,r,i,的形式，而需要用适当的模型势函数对价电子仍用变分法和自洽迭代方法处理，得到价电子的轨道,波函数及能级再考虑到实的能量，就得到总能量24,三、有效势由于化学反应只与外层价电子有关，内层电子对化学来说,赝势基 (PP or ECP),,pseudopotential, effective core potential,全电子基组 vs. 赝势基组,常见的如：land2dz,对于重元素，全电子计算工作量太大，考虑冻结内层电子，只计算外层电子,a. 赝势轨道在价轨道区(某一个半径以外)与真实轨道一样b. 赝势轨道在核区(某一个半径以内)变化平滑，没有节面c. 赝势轨道与真实轨道具有相同的轨道能量25,赝势基 (PP or ECP)全电子基组 vs. 赝,四、 从头计算的误差,从头计算由于只应用三个基本近似及一些基本物理常数,h,，,m,，,e,等，而不借助于任何实验参数来解Schrödinger方程（具体体现在解H-F-Roothaan方程）原则上只要适当地选择基组和迭代足够的次数，就一定能够得到接近自洽场HF极限的任意精确值，因此它在物理意义和方法上都比较严格，大大优于其它半经验方法(以后要讨论的)，当然从头计算也是有缺点的，由于精确计算，所以就目前计算机水平来说，体系不宜太大(当然这个限制可随着计算机能力和水平提高而克服的)，其次是由于所采用的三个基本近似也会带来一定误差。

26,四、 从头计算的误差 从头计算由于只应用三个基本,1. 相对论误差,随着核电荷的增大，内层电子轨道向核区域紧缩，这些电子的运动速度很高，可达10,7,m·s,-1,，相对论效应就愈来愈明显2. 轨道近似的误差,即电子相关能，RHF方程是采用单组态近似，对自旋相同的电子,,-,,或,,-,,的自旋相关效应已经考虑在交换积分中，但对自旋相反的电子,,和,,之间，由于交换积分为零，相关能就考虑不足了27,1. 相对论误差随着核电荷的增大，内层电子轨道向核区域紧缩，,以上二项误差存在使体系能量升高，它们在分子总能量中所占的比重主要取决于组成分子的原子，对序号由 2-82号元素的原子，相对论能量和电子相关能的数值已经精确计算过[见文献ard & E.Clementi J.Chem.Rhys. 49(1968)2415,J.Mann & W.R.Johnson Phys. Rev. A4(1971)47,E.Clement IBM & J. Res. Develop. q. 2. (1965)],由这些文献数据可知随着原子序数增大,相对论效应在总能量中占的比重上升，而电子相关能比例则相对下降。

28,以上二项误差存在使体系能量升高，它们在分子总能量中所占的比重,原子 相对论 相关能,He 可基本忽略 1.5%总能量,Li-Ne 可基本忽略0.01~0.1% 0.8~0.3%,Si 可基本忽略0.2% 0.18%,,82,Pb 不可忽略7%（1390a.u. ） 0.02%,以上误差存在，使单纯解RHF方程只能对静态的几何构型计算和有关物理量能得到较好结果，而对过渡态、激发态、位能面等的计算，就不能得到满意的结果，如所介绍的计算双原子分子得到的原子化能量(双原子分子离解能)20~50%偏差(与实验值比较)，虽然定量误差大，但比半经验方法优点是其数量级可得到正确估计，要提高精度有明确的途径29,原子 相对论,,另外化学家关心是化学反应前后能量的变化，,,E,=,E,1,–,E,2,，相对论误差部分往往在反应物和产物中，变化不大而抵消，所以人们普遍关心的是相关能的部分，这部分主要是轨道近似引起的，最彻底改进方法是引入双电子函数，或多电子函数代替单电子函数，这一方法在双原子分子中效果很好，如引入,r,12,项，但对多原子分子尚不成熟，而且计算上增加了很大复杂性，当前常用的办法是,(1),非限制性Roothaan方程（UHF）,(2),组态相互作用法(CI),,30,另外化学家关心是化学反应前后能量的变化，E=E1,Thomas和Fermi从统计方法的观点出发，假设电子是在空间中,自由运动的电子气,，它们的运动取决于与这些电子分布的势场。

含,N,个电子体系的能量可表示为,其中， 是动能，第二项是核与电子相互作用能，,是电子间相互作用能， 在Thomas-Fermi模型中是库仑相互作用，Thomas-Fermi-Dirac模型中， 包括库仑势和交换势两项一、Thomas-Fermi模型,§8.2 密度泛函理论,,31,Thomas和Fermi从统计方法的观点出发，假,总动能为,若只考虑核与电子及电子之间的相互作用时含,N,个电子体系的,能量可表示为,Thomas-Fermi模型,密度泛函理论可以上溯到由Thomas和Fermi 在1920年代发展的Thomas-Fermi模型Thomas-Fermi模型是很重要的第一步，但是由于没有考虑Hartree-Fock理论指出的原子交换能，Thomas-Fermi方程的精度受到限制1928年Dirac在该模型基础上增加了一个交换能泛函项32,总动能为若只考虑核与电子及电子之间的相互作用时含N个电子体系,电子相关能为库仑能和交换能之和,Thomas-Fermi-Dirac模型,考虑边界条件,在大多数应用中Thomas-Fermi-Dirac理论表现得非常不够准确。

其中最大的误差来自动能的表示，然后是交换能中的误差33,电子相关能为库仑能和交换能之和 Thomas-Ferm,,二、Hohenberg-Kohn引理,电子基态密度,r,(,r,)唯一对应着势能,V,(,r,)，反之亦然可证明，不同的外势(除了电子排斥之外的作用于电子上的势),V(,r,)，不可能产生相同的电子基态密度,r,(,r,)，反过来，,r,(,r,)唯一,的确定了,V,(,r,)，可写成,V,(,r,)，同样也确定了总能量,E,(,r,),,E,v,(,r,)，,同时也确定了,T,(,r,)，Hamilton算符及波函数非经典项，其中交换相关能是主要部分34,二、Hohenberg-Kohn引理电子基态密度r(r)唯一,三、Hohenberg-Kohn定理,对于一个尝试的密度 ，若有 和 时，则有,Hohenberg-Kohn定理是关于 的变分原理对于一个尝试的密度 ，可以唯一确定自己的对应的试探波函数 ，它可以作为具有外势,V,(,r,)的尝试波函数，即有,由泛函 取极值,DFT基本方程,,35,三、Hohenberg-Kohn定理对于一个尝试的密度,四、Kohn-Sham方案,对于一个,非相互作用体系,电子密度满足Euler方程,是单电子哈密顿 的第,N,个最低本征态,,36,四、Kohn-Sham方案对于一个非相互作用体系电子密度满足,利用LDA,近似, 能量泛函,四、Kohn-Sham方案,将最难处理的多体问题简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。

考虑一个电子密度,r,’,(,r,), 然后求,E,[,r,’,]对,r,’,的变分δ,E,[,r,’,]/δ,r,’,为,最小相当于改变,r,’,(,r,) 使,E,[,r,’,],E,[,r,]先求,T,s,[,r,’,]:,为写出,T,s,[,r,’,]，考虑,v’,(r) 为一个试验的单电子势可由,v’,(,r,) 满足的单粒子方程，解出,r,’,(,r,) 37,利用LDA近似, 能量泛函四、Kohn-Sham方案,,38,38,于是能量泛函为,求 ，可得：,,39,于是能量泛函为求 ，可得：,或,,40,或40,,由此得到Kohn-Sham方程：,ε,i,=Kohn-Sham,本征值,称,有效势,经典Coulomb势,交换关联势,电子密度分布,经典Coulomb势,电子密度分布,Kohn-Sham方程是一个自洽方程组先提供初始电子密度分布,r,(r) , 它一般可由原子的,r,at,(r) 叠加而成依次求出经典Coulomb,势、交换关联势、有效势再求解KS方程再由KS波函数构造新,的电子密度分布比较输入与输出的电子密度分布。

如已自洽，,便计算总能，输出所有结果41,由此得到Kohn-Sham方程：εi=Kohn-Sham本征,解Kohn-Sham方程的流程图,,r,(r)=,Σ,r,at,(r),求解,φ,、V,xc,、V,eff,求解Kohn-Sham方程,得到,ψ,i,由,ψ,i,构造,r,out,(r),计算总能,E,tot,No,Yes,r,in,与,r,out,混合,原子计算,精度控制,No,Yes,输出结果： E,tot、,ψ,i,、,r,(r),V,xc,、V,eff、,E,n,(k)、N(E),,比较,r,in,与,r,out,(,r,),,42,解Kohn-Sham方程的流程图 r(r)=Σrat(r)求,总能,E,tot,表达式,Hartree,总能,第一项为动能，第二和第三项是总静电势能，最后一项是交换关联能Z,m,是位于,R,m,处的原子的核电荷如果忽略交换关联项，K-S方程的结果将与Hartree近似一样43,总能Etot表达式Hartree总能第一项为动能，第二和第三,DFT的意义,.,虽然K-S方程十分简单，其计算量也只有Hartree方程的水平，但却包含着深刻得多的物理内容。

其中一个重要的,概念性结果,是，,多体基态的解被准确地简化为基态密度分布之解，而这个密度是由单粒子的Schrödinger方程给出的由此，方程中的,有效势,在原理上,包括了所有的相互作用效应，即Hartree势、交换势（由Pauli原理决定的相互作用所产生的势）和关联势（一个给定的电子对整个电荷分布的影响所产生的势）,在这个意义上，它比Hartree-Fock方程要优越得多44,DFT的意义. 虽然K-S方程十分简单，其计算量也,,,,,,,,,,,,Formally,equivalent,,Electron,Interaction,External potential,Hard problem to solve,Schr,ö,dinger equation,“Easy” problem,To Solve DFT,Properties of the,system,,,Non-interacting electron,(KS particle),Effective potential,,,LDA,GGA,etc,,量子力学体系的性质可以通过,求解薛定谔方程(SE)进行计算(上图左边)。

但更加容易的、形式上等价的方法是,求解DFT的KS方程(上图右边)但是准确的,E,xc,[,r,(r),] 并不知道需要采用近似方法，如 LDA or GGA 这就会影响 KS 解的精度SE,DFT,,45,FormallyElectronHard problem t,五、交换相关泛函的计算,电子体系多体问题的难点集中在泛函,E,xc,[,r,]的计算,局域密度近似LDA,自旋密度近似LSDA,广义梯度近似GGA,,46,五、交换相关泛函的计算电子体系多体问题的难点集中在泛函Exc,局域密度近似LDA,Kohn与Sham引入定域密度近似(Local Density Approximation,,LDA)，即当电子密度变化缓慢，即,r,(,r,)的改变很缓慢时,相应的交换相关势为,K-S轨道方程,是均匀电子气体的单电子交换能,,47,局域密度近似LDAKohn与Sham引入定域密度近似(Loc,,自旋密度近似LSDA,考虑自旋状态的自旋密度近似(LSDA),当空间中自旋密度变化缓慢时，用LSDA较合适对于均匀的电子气，有,,48,自旋密度近似LSDA考虑自旋状态的自旋密度近似(LSDA)当,广义梯度近似GGA,梯度展开近似(Gradient Expansion Approximation),广义梯度近似(Gradient Expansion Approximation),,49,广义梯度近似GGA梯度展开近似(Gradient Expan,1.,Hückel MO,法,2. 常见的 Semi-empirical MO 方法,§8.3,半经验方法,,50,1. Hückel MO 法§8.3 半经验方法50,1 .,Hückel MO,法,(1),,(2),,(3),,由线性变分法有:,r,= 1,2,3,….,n,c,,(4),,久期方程:,(5),,,51,1 . Hückel MO 法(1) (2) (3) 由,积分,for,C,r,& C,s,bonded,(6),,for,C,r,& C,s,not bonded together,(7),,(8),,归一化条件(normalization condition ),(9),,(10),,,52,积分 for Cr & Cs bonded (6) for,2. 常见的 Semi-empirical MO 方法,The Extended H,ü,ckel Method(推广的Hückel分子轨道法，,EHMO).,,由原子的价轨道线性组合构成分子轨道，并不再把原子轨道,看成正交归一的集合，即,H,mm,= -,E,IP,，,E,IP,为,m,轨道电离势,H,mn,的取法有多种，其中一种,电子排斥积分全部忽略,总能量,单电子哈密顿的积分,,53,2. 常见的 Semi-empirical MO 方法 T,CNDO: The complete neglect of differential overlap method.(,全略微分重叠法,),,以单位矩阵代替重叠积分矩阵，同时在分子轨道归一化中忽略重叠积分,S,mn,忽略所有双电子积分中的微分重叠,将库仑积分简化为对每一对原子一个数值,在包含原子实的积分重叠单原子微分重叠,双原子非对角Hamilton矩阵元正比于相应的重叠积分,总能量,,54,CNDO: The complete neglect of,INDO (The Intemediate neglect of differential overlap method):,CNDO,法中引进电子排斥的方法过于简单。

未反映一对电子在自旋平行及自旋反平行时完全不同的排斥因而有,:,(1),同一组态的态之间不能区分2),得不到,s,轨道的自旋密度其改进的方法是在,CNDO,的基础上加入交换积分最简单的是加入单中心积分中的单原子微分重叠，叫,间略微分重叠法,(INDO),，另外一种是,MINDO/3:,他参数化时着重考虑了原子化热MNDO法：,是忽略双原子微分重叠法(NDDO)的改进模型与CNDO，INDO相比，对电子排斥积分的处理中包含,了双中心项电荷分布的贡献，对成键作用反映较好AM1模型：,也是NDDO的改进模型，是Austin Model 1的简称对MNDO法中的实排斥函数改进AM1对氢键也有很好的,反映计算结果比MNDO，MINDO/3较好PM3模型：,意为MNDO的第三种参数方案对MNDO的实排斥,函数中加了一组Gauss函数的线性组合项，以增加对实排斥,的表达，比MNDO增加了两组参数,a,i,,,b,i,.,,55,INDO (The Intemediate neglect,由于在自洽场(SCF)方法中，假定电子在原子核及其它电子形成的平均势场中独立地运动, 考虑的只是电子间平均作用, 而没考虑电子间瞬时相关。

实际上，由于电子间Coulomb排斥，独立运动的两个自旋反平行电子不可能在某一瞬间同时出现在空间某点即当某电子处于空间某点时, 其周围形成一个“,Coulomb孔,”, 这就降低了其它电子出现的几率电子间这种制约作用, 被称为,电子运动的瞬时相关性,或,电子的动态相关效应,它直接影响电子的势能，从维里定理可知，这种电子相关也影响了电子的动能一、电子相关,§8.4,电子相关性,,56,由于在自洽场(SCF)方法中，假定电子在原子核,Löwdin给出的电子相关能定义为：对于指定的一个Hamilton量，某个本征态的电子相关能, 是指该Hamilton量在该状态的精确本征值和它的限制的HF极限期望值之差相关能反映了独立粒子模型的偏差, Hamilton算符的精确度等级不同, 相关能也不同电子相关能,目前许多自洽场计算中实际上未求得HF极限能量值, 而且Hamilton量的精确本征值是由实验值扣除相对论校正后得到的, 不进行精确相对论校正而给出的相关能也是一种近似值电子相关能在体系总能量中占的比例约为0.3~1% ，因此HF方法,就其总能量而言，应该说是一种相当好的近似但是在研究电子,激发、反应途径、分子离解等过程时，由于相关能的数值与一般,化学过程中反应热或活化能具有相同的数量级，所以必须在HF基,础上考虑电子相关能。

57,Löwdin给出的电子相关能定义为：对,考虑电子相关问题的方法被称为电子相关方法或后自洽场,(Post-SCF)方法，包括组态相互作用理论(CI)，偶合簇理论(CC),和多体微扰理论(MP)等为了方便，电子相关一般分为动态相关和非动态相关，但是动态和非动态相关并不是能完全分开的非动态相关能受环境的变化影响比较大，但非动态相关的处理比较容易处理非动态相关一种比较有效的方法是多组态自洽场方法 (MCSCF)动态相关能一般可以用微扰方法或密度泛函方法等来考虑二、电子相关方法,,58,考虑电子相关问题的方法被称为电子相关方法或后自,{ }称为轨道空间,{ }称为组态空间1、组态相互作用法(CI),从一组在Fock空间完备的单电子基函数{ }出发, 可造出一个完备的行列式函数集合{ }任何多电子波函数都可以用它来展开在CI方法中, 将多电子波函数近似展开为有限个行列式波函数,的线性组合，即CI展开,按变分法确定系数,c,s,, 即选取,c,s,使体系能量取极小值, 得到广义本征值方程,H,c,=,ScE,,,59,{ }称为轨道空间,{ }称为组态空间。

CI方法中， 称为组态函数, 简称组态，是行列式函数CIS方法计算激发态是将HFSCF轨道的一个电子激发到虚轨道来计算的因为CIS方法是基于HFSCF优化的基态的轨道，而HF波函数的局限性在于虚轨道很不好，因而CIS得出激发能一般也都会高估的误差根据Brillouin定理CIS不会改变分子基态的能量，而只会降低激发态的能量正因为CIS方法的这种性质，它能在一定程度上抵消截断CI方法造成激发能的高估60,CI方法中， 称为组态函数, 简称组态，是行列式函数多组态自洽场(MCSCF)波函数可表示为：,,其中,F,I,为组态函数，而其中的分子轨道{,f,k,}是用基函数{,c,n,}展开,在MCSCF方法中的Fock方程可写为,根据分子轨道满足的条件，并引入Lagrange乘子，得,,,2. 全活化空间自洽场方法,,61,多组态自洽场(MCSCF)波函数可表示为： 其中FI为组态函,MCSCF的一个经常遇到的问题就是收敛困难全活化空间自洽场(CASSCF)方法是MCSCF方法的一个特例CASSCF方法考虑所有电子激发情况，相当于活化电子在活化轨道的Full-CI，因而需要根据研究的问题来挑选活化电子和活化轨道。

其中,通过用迭代求解(得到MCSCF波函数,,62,MCSCF的一个经常遇到的问题就是收敛困难全活化空间自洽场,对于低激发态，TD-DFT方法一般能给出比较精确的结果而实际上,交换相关势的渐进行为,应是，,对于Rydberg激发态和CT态，由于低估了其激发过程中的交换相,关势，故其跃迁能也通常被低估但是当跃迁前后的电荷分布变化比较大时，如Rydberg激发态或是电荷分离态，TD-DFT方法往往会低估其激发能，这主要是因为当前的泛函中,交换相关势的渐进行为,是,3.含时密度泛函理论,,63,对于低激发态，TD-DFT方法一般能给出比较精确的结果而实,为坐标；,a,为刻度；,A,为对称方阵； 为能量梯度；,n,为第,n,次迭代值,Hellman-Feynman定理,能量对核坐标的偏微商等于 对坐标的偏微商平均值,可变尺度法,§8.5,几何构型优化与能量梯度法,,64,为坐标；a为刻度；A为对称方阵； 为能量梯度,， 矩阵来自实验值计算出的力常数改变的尺度较大，速度快，但是较粗糙最陡下降法,Newton-Ruphson法,能量梯度法,,65,， 矩阵来自实验值计算出的力常,,66,66,局部构型搜索,:,爬坡法,、,最速下降法,和,牛顿法等,，其中爬坡法适用于任何情况，最速下降法要求势能面的一阶导数不变号，牛顿法则要求二阶导数也不变号，收敛速度最快的算法适应的条件最苛刻。

在一些常用的量子计算程序中，通常采用一种称为Berny搜索的算法，实际上是对这三种算法的综合运用过渡态构型搜索,：平衡构型搜索是找势能面极小点，而,过渡态的则是找势能面的鞍点,全局构型搜索,：退火算法和遗传算法是最常用的全局构型搜索，它们都检测附近的多个构型，以获得最低的一个由于运算程序不可能直接获得，整个势能面，所以理论上不可能确保找到能量最低的构型要确保最低构型，唯一的办法就是做势能面扫描，显然这是一种极其花费时间的做法几何构型搜索,,67,局部构型搜索: 爬坡法、最速下降法和牛顿法等，其中爬坡法适用,,退火算法,和,遗传算法,具有相似之处，首先它们都检测某个构型附近的多个构型，其次在搜索过程中这些构型不断变化，变化的方式都带有随机的成分退火算法,和,遗传算法,的关键区别在于构型变化方式的不同退火算法,的关键在于，随着温度的降低，变化幅度越来越小，直到温度降到零变化停止为止，取诸多构型中最低者遗传算法,构型变化时保留了原来的构型，同时把能量最高的一批构型淘汰掉，而构型变化的幅度则不会缩小，因此遗传算法一直可以进行下去，是一种"没有最好，只有更好"的思路全局构型搜索,,68,退火算法和遗传算法具有相似之处，首先它们都检测某个构型附近,量子化学理论和计算的丰硕成果被认为正在引起整个化学的革命。

标志着量子化学已进入全面应用从头计算(,ab initio,)和密度泛函理论(DFT)解决实验问题的新时代量子化学家几十年的辛勤耕耘得到了充分的肯定这标志着古老的化学已发展成为理论和实验紧密结合的科学随着计算机科学的飞速发展，量子化学计算已成为与实验技术相得益彰、相辅相成的重要手段现在，量子化学计算和分子模拟等理论方法已应用于化学的所有分支以及材料、药物、生物等领域同时，还能精确预言许多不可能完全从实验上观测到化学、物理过程1998年诺贝尔化学奖由量子化学家波普尔（Pople）和科恩,（Kohn）共享，其重大意义：,§8.6,计算化学与分子模拟,,69,量子化学理论和计算的丰硕成果被认为正在引起整个化学的革命标,从头计算 (,ab initio),，波普尔 (Pople，1998年诺贝尔化学奖), 可计算100个原子以内密度泛函理论 (DFT)，科恩 (Kohn，1998年诺贝尔化学奖)，100个原子以内半经验分子轨道方法 (PM3、AM1、MNDO、MINDO/3等)，500个原子左右量子力学 (QM) 和分子力学 (MM) 相结合，即： QM/MM方法， 可计算蛋白质、酶等生物大分子与药物之间相互作用。

分子动力学模拟与Monte-Carlo方法,1. 常用的量子化学计算和分子模拟理论方法,一、量子化学计算和分子模拟方法简介,,70,从头计算 (ab initio)，波普尔 (Pople，19,Gaussian 量子化学计算程序，由波普尔 (1998年诺贝尔化学奖获得者) 等人设计Mopac 半经验分子轨道程序Materials Studio 分子模拟程序药物设计：InsightII、Catalyst、SYBYL、AutoDock、Discovery Studio等2. 常用的量子化学计算、分子模拟、药物设计的商业软件,,71,Gaussian 量子化学计算程序，由波普尔 (1998,① 对中、小分子体系：高性能微机,,② 对大分子体系：工作站,3. 硬件要求,,72,① 对中、小分子体系：高性能微机3. 硬件要求72,化 学,物理学,计算机,科 学,材料科学,生命科学,数 学,计算,化 学,环境科学,计算化学是化学与多个学科的交叉,,73,化 学物理学计算机材料科学生命科学数 学计算环境科学计算,计算机化学的出现，将帮助化学家在原子、分子水平上阐明化学问题的本质，在创造特殊性能的新材料、新物质方面发挥重大的作用。

74,计算机化学的出现，将帮助化学家在原子、分子水平上阐明化学问题,体系数据和性质的综合分析,分子 (材料),CAD,合成路线,CAD,化学 CAI,数据采集、统计,分析及其它应用,化学数据库,量子化学计算,计 算 机,分 子 模 拟,分子结构建模,与图象显示,化学人工智能,分子力学,( MM ),分子动力学,(MD & MC),计,算,机,化,学,计算机化学的主要内容,,75,体系数据和性质的综合分析分子 (材料)合成路线化学 CAI数,化学数据库（Data base）,分子结构库 晶体库 热力学数据库 药物库,高分子库 分子光谱、波谱图谱库,生物数据库（蛋白质、核酸、多糖库）,化学文献库,化学人工智能（需借助数据库）,计算机辅助分子结构解释 化学模式识别,结构－活性关系分析,结构－性质关系分析,神经网络算法与神经网络计算机,,76,化学数据库（Data base）76,结构建模, 确定各原子的初始空间排布,,,,这是用计算机处理分子大多数作业的起点,,,综合的计算机化学软件包，主程序应提供 建模的友好界面，同时具有分子图形显示 与结构参数分析功能,,,,可采用二维或三维建模。

程序可自动将二 维图形转换为三维,分子结构建模与图形显示,,77,结构建模  确定各原子的初始空间排布分子结构建模与图形显,Computational Quantum Chemistry,经典模型的局限,—,未涉及化学行为的物理本质,化合物的性质,,,电子结构,化学反应,,核与电子运动状态的变化,伴随有电子跃迁、转移、变价的过程，经典的分子模拟不能处理,二、计算量子化学,,78,Computational Quantum Chemistr,定态Shrödinger方程：,r,Pi,r,Qj,r,ij,R,PQ,(一)、量子力学第一原理 — 多体Shrödinger方程,物理模型：,分子中电子和原子核均在运动中,粒子间存在着相互作用,I. 分子轨道法简介,,79,定态Shrödinger方程：rPirQjrijRPQ(一),原子单位：,三个基本物理常数,,⒊,单电子近似,— 每个电子行为视为独立，用单电子波函 数,,,i,(,r,i,),描述 (,MO,),(二)、物理模型的三个基本近似,电子,哈密顿：,⒈,非相对论近似：,,i,=,,,0,,⒉,Born-Oppenheimer 近似：,电子与核运动分离,,80,原子单位：三个基本物理常数 ⒊ 单电子近似 — 每个电子行为,(三)、 LCAO,-,MO近似,为寻找试探波函数{,,,}的合理形式，,将分子轨道表示为原子轨道{,,i,}的线性组合,优点：,利于建立化学键理论的电子结构基础,,M,olecular,O,bital expressed as a,L,inear,C,ombination of,A,tomic,O,rbitals,,,81,(三)、 LCAO -MO近似为寻找试探波函数{}的合理,(四)、Roothaan 方程,(1952),MO,组合系数表示为列矢量,电子总能量变分要求,{,,,,,,,,c,,,},满足,Roothaan,方程,F,,c,,=,,,,S,,c,,,,,S,为,AO,重叠矩阵:,对,,Hartree-Fock,方程引入,LCAO-MO,近似,在以,AO集 {,,i,},为基的线性空间中，,Fock,算符的表示为,Fock,矩阵,,82,(四)、Roothaan 方程 (1952)MO组合系数表示,1927年Heitler和London用变分法求解了氢分子的波函数,,,实验值,R,AB,/a,0,1.518,E,首次在形式理论的水平上解释了化学键本质，开创了量子化学分支学科,,83,1927年Heitler和London用变分法求解了氢分子的,因处理实际分子在数学上的困难。

一度阻碍了计算化学的发展1952年H. Schull等三人用手摇计算机花两年才完成一个N,2,分子的从头算当时有人断言：用尽世界上的纸张恐亦无法完成一个Fe原子的计算,50年代末，大型计算机的浮点运算速度为0.01Mflops，仅及PIII 的 1/5000 ！,,84,因处理实际分子在数学上的困难一度阻碍了计算化学的发展19,量子化学从二十世纪30年代初的理论奠基到90年代末在计算技术与应用上的成熟，经历了漫长的将近七十年,这是几代杰出理论化学家不懈努力的结果，并得益与计算机和计算技术的巨大进步,1998年诺贝尔化学奖的颁布是计算量子化学在化学和整个自然科学中的重要地位被确立和获得普遍承认的重要标志,,,85,量子化学从二十世纪30年代初的理论奠基到90年代末在计算技术,T,,,J,,,V,xc,分别为动能、库仑能和交换-相关能,,P. Hohenberg & W. Kohn,,Phys. Rev. B,,,136,, 864 (1964,),,1964年，理论证明多电子体系的基态能量是电子密度的单变量函数,II、密度泛函简介,,86,T, J, Vxc 分别为动能、库仑能和交换-相关能 19,1965年，运用变分原理导出 Kohn-Sham 自洽场方程,( DFT的基础方程 ),,借用早年Thomas-Fermi-Dirac“均匀电子气”的能量函数，计算晶体的电子结构当年即取得成功（但分子计算结果不佳）,DFT的关键是找到依赖电子密度的能量函数,,求解方程可得使体系能量最小的电子密度,,(,r,),W. Kohn & L.J. Sham,,Phys. Rev. A,,,140,, 1133 (1965),,,87,1965年，运用变分原理导出 Kohn-Sham 自洽场方程,DFT,已被引入,Gaussian 94/98/03,程序。

可处理含数百个原子的分子体系,DFT,法用于分子的成功是众多科学家多年不懈努力的结果，但首先归功于理论奠基人Kohn,,“It has taken more than thirty years for a large number of researchers to render these calculations practicable, and,,the method is now one of the most widely used in quantum chemistry,.”,,“DFT has resulted in,,a second revolution in quantum chemistry,, which would not have been possible without the pioneering work of Walter Kohn.”,,88,DFT已被引入Gaussian 94/98/03 程序可处,分子轨道法计算演示,⒈,分子几何结构优化；能量、波函数和电子结构计算,⒉,分子的性质、偶极矩,⒊,分子的振动光谱及紫外－可见光谱；简正振动分析,,89,分子轨道法计算演示⒈ 分子几何结构优化；能量、波函数和电子结,一些化合物红外光谱计算结果,（从头算法，,6-31G(d),）,,90,一些化合物红外光谱计算结果（从头算法，6-31G(d) ）9,反应途径及过渡态计算,基元反应：,反应物,配合物 1,过渡态,配合物 2,产物,,鞍点,,91,反应途径及过渡态计算 基元反应：反应物配合物 1过渡态配合物,势能面和反应途径,势能面无法实验测定。

由量子化学计算给出,二维等能量线图,,,,鞍点,二维势能曲面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,(A,,B,,C),,92,势能面和反应途径势能面无法实验测定由量子化学计算给出二维等,,The energy surface (in two dimensions) for a hypothetical chemical reaction from one equilibrium over a barrier (transition state) to the second equilibrium,,,93,The energy surface (in two dim,如何进行反应途径和过渡态搜索？,反应活化能计算精度取决于,①,高档次,(level),的计算方法,②,准确地确定鞍点及分子的过渡结构,鞍点的条件十分苛刻处理手续复杂，计算量大,,需采用较高级的专业量子化学软件,,Gaussian 92, 94 & 98 (for Unix or Windows),Mulliken for IBM,/,RS-6000,MOPAC for Windows v2.0,,均配备了反应途径和过渡态自动搜索的功能！,,94,如何进行反应途径和过渡态搜索？反应活化能计算精度取决于94,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,反应物,F,-,+ CH,3,Cl,能量极小点 1,F,-,···,CH,3,Cl,,,,,,,,,过渡态,( F,-,···,CH,3,···,Cl ),-,,,,,,,,,,,,,能量极小点 2,FCH,3,···,Cl,-,,,,,,,,产 物,FCH,3,+ Cl,-,实例：,一个,SN,2,反应的反应途径和过渡态计算,,95,反应物能量极小点 1过渡态能量极小点 2 FCH3···C,,Electron density in the amino acid system calculated using a quantum-chemistry computer program. The picture shows the surface where the electron density is 0.002 electrons/Å,3,(meaning that nearly all electrons are inside the surface). The grey scale shows the electrostatic potential at this surface, darker portions representing negative potential.,半胱胺酸分子,等电子密度面,,96,Electron density in the amino,,High up in the atmosphere, CF,2,Cl,2,(freon) are destroyed by ultraviolet light. Free Cl atoms are formed, which react with O,3,(ozone) and destroy them. The process can be studied using quantum-chemical calculations.,Freon,Ozone,氟利昂分子破坏大气臭氧层,反应机理的理论计算研究,,97,High up in the atmosphere, CF2,,The electron density around the vitamin C molecule. The colors show the electrostatic potential with the,negative areas,shaded in,,red,,and the,positive,in,,blue,维生素C分子的,电子密度与静电势,,98,The electron density around th,1986：,李远哲：“ 在十五年前，如果理论结果与实验有矛盾，那么经常证明是理论结果错了。

但是最近十年则相反，常常是实验错了…量子力学有些结果是实验工作者事先未想到的，或者是难以实现的”,电子自旋磁矩的理论值和实验值精确符合到12位有效数字,H,2,分子的解离能理论计算值为 36117.4cm,-1,实验值 36113.4,,0.3cm,-1,改进实验手段后测得 36117.3,,1.0cm,-1,,99,1986：李远哲：“ 在十五年前，如果理论结果与实验有矛盾，,,常用的量子化学计算方法,量子力学理论,Born-Oppenheimer近似,非相对论近似,单电子近似,Hartree-Fock,方 程,Roothaan,方 程,自洽场,从头算,SCF-,ab initio,密度,泛函法,DFT,超,HF,LCMTO-X,,耦合,电子对,CEPA,组 态,相互作用,CI,微扰处理,MP,多组态,自洽场,MCSCF,价电子从头算,EP(VP),模拟从头算,SAMO,分子碎片法,MF,梯度近似,GGA,浮动球,高斯法,FSGO,AM1,C-EHMO,EHMO,IT-EHMO,MCNDO,CNDO,MINDO,INDO,MNDO,NDDO,PM3,MSW-X,,DV-X,,LCAO-X,,局域密度,近 似,LDA,从头算法,Ab Initio,半从头算法,Slater X,,半经验法,Semi-emperical,独立,电子对,IEPA,,,,,,,,第一原理计算,,100,常用的量子化学计算方法量子力学理论Born-Oppenhei,III 前沿发展 — QM/MM法,,Combined ab initio & Molecular Mechanics,将MO法或DFT与分子力学法相结合，取QM与MM两者之长。

解决大分子参与的化学反应的计算,反应的活性部位（active site）采用QM计算其它基团的相互作用及与活性部位的作用采用MM处理,QM/MM使计算酶催化、蛋白质等参与的生物化学反应成为可能,,101,III 前沿发展。