安徽大学《离散数学》课件-第6章.ppt

第六章第六章 代数代数6.1 6.1 代数结构代数结构6.2 6.2 子代数子代数6.3 6.3 同态同态6.4 6.4 同余关系同余关系 不详讲不详讲6.5 6.5 商代数和积代数商代数和积代数 讲少部分讲少部分6.6 6.6 半群和独异点半群和独异点6.7 6.7 群群6.8 6.8 环和域环和域 不详讲不详讲数学数学的三大特点的三大特点 根据前苏联科学院出版的一本名书：根据前苏联科学院出版的一本名书：“数学数学-它的内容、方法、和意义它的内容、方法、和意义” ” 的的提法，数学的三大特点提法，数学的三大特点( (也是它的三大也是它的三大优点优点) )是：是： 精确性精确性; ; 抽象性抽象性; ; 应用的广泛性应用的广泛性. .我以为我以为: : 抽象性是应用广泛性的基础抽象性是应用广泛性的基础. .作作为数学学院的学生我们要深刻理解数学为数学学院的学生我们要深刻理解数学的的抽象性抽象性这个特点和优点这个特点和优点. .代数结构代数结构的的概念概念 代数结构也称代数系统代数结构也称代数系统, ,简称代数简称代数. . 代数结构通常有三个组成部分代数结构通常有三个组成部分: : 一个集合一个集合, ,称为代数的称为代数的载体载体; ; 定义在载体上的若干定义在载体上的若干运算运算; ; 载体的若干特异元素载体的若干特异元素( (如下面将介绍的如下面将介绍的幺元幺元, ,零元零元, ,逆元等逆元等),),称为称为代数常数代数常数.(.(对对有些代数可以不含或不考虑代数常数有些代数可以不含或不考虑代数常数) )集合上的集合上的运算运算 对任意正整数对任意正整数n,n,集合上集合上 S S 的的 n n 元运算元运算定义定义为函数为函数: :f:f: S Sn n S.S.例如例如, ,实数集实数集 R R 上取负元上取负元:f(x)=-x :f(x)=-x 是一元是一元运算运算; ;实数集实数集 R R 上的加法上的加法:f(x,y)=x+y;:f(x,y)=x+y;减减法法: :f(x,yf(x,y)=)=x-yx-y 是二元运算是二元运算. .加法是自然加法是自然数集数集 N N 上的二元运算上的二元运算, ,但减法不是但减法不是 N N 上的上的二元运算二元运算( (例如例如,1-2=-1,1-2=-1 N),N),等等等等. . 有限集上的二元运算常用一个有限集上的二元运算常用一个矩形列表矩形列表 ( (称为运算表称为运算表) )表示表示, ,例如例如,p165 ,p165 例例4 4代数结构代数结构举例举例P164 P164 例例1.1.此外此外 A A1 1= = I,I, ,1,1 ; ; A A2 2= = Q,Q,+ +,0,0 ; ; A A3 3= = R R+ +, ,minmin,+,+; ; A A4 4= =(S),(S),S,S ; ; A A5 5= =(S),(S), ,. . 此此5 5个代数都有相同的一个二元个代数都有相同的一个二元运算运算; ;一个一个数数常数常数; ;载体载体, ,运算与常数满足同样的运算与常数满足同样的公公理规则理规则( (交换律交换律, ,结合律结合律; ;常数为运算的常数为运算的幺幺元元).).代数结构代数结构的的类类考察下列代数考察下列代数:A:A1 1= = I,I, ,1,1 ; ; A A2 2= = Q,Q,+ +,0,0 ; ; A A3 3= = R R+ +, ,minmin,+,+;A;A4 4= =(S),(S),S,S ; ; A A5 5= =(S),(S), ,. . 此此5 5个代数都有相同个代数都有相同的的构成成分构成成分: :同样个数同样个数( (元数元数相同相同) )的的运算运算(1(1个二元运算个二元运算););同样个数的同样个数的常数常数(1(1个个););载载体体, ,运算与常数满足同样的运算与常数满足同样的公理规则公理规则( (交交换律换律, ,结合律结合律; ;常数为运算的幺元常数为运算的幺元).).称具有上述性质的代数是称具有上述性质的代数是同一类同一类. .所以所以, , A A1 1,A,A2 2,A,A5 5 是同一类是同一类. .注意注意: :抽象代数一抽象代数一般般不局限于单个代数不局限于单个代数的研究的研究, ,而强调对而强调对同同一类代数普遍性质一类代数普遍性质的研究的研究. .幺元和零元幺元和零元的的概念概念定义定义: : * * 为集为集S S上的二元运算上的二元运算. .1 1r r S S称为称为S S的的右幺元右幺元, ,如果如果 x*x*1 1r r= =x x, , x x S S; ;0 0r r S S称为称为S S的的右零元右零元, ,如果如果 x*x*0 0r r= =0 0r r, , x x S.S.类似地可定义类似地可定义左幺元左幺元与与左零元左零元. .1 1 S S称为称为S S的的幺元幺元, ,如果如果x*1=1*x=x*1=1*x=x,x, x x S S; ;0 0 S S称为称为S S的的零元零元, ,如果如果 x*0=0*x=0,x*0=0*x=0, x x S.S.例例: :对任意实对任意实( (复复) )数集数集S,S,数数1 1是普通数的是普通数的乘乘法的法的幺元幺元; ;数数0 0是普通数的是普通数的乘乘法的零元法的零元. .数数0 0是普通数是普通数的的加加法的幺元法的幺元; ;若若|S|1,|S|1,则则加法没有零元加法没有零元.(.(对对任何任何a a b,a+b,a+0 0= =0 0=b+=b+0 0a=b)a=b)一个运算的一个运算的幺元幺元或或零元至多有一个零元至多有一个证证: : 设设a,ba,b都是都是 S,*S,* 的幺元的幺元, ,则则a,ba,b S,S,且视且视a a为幺元时有为幺元时有a*b=b;a*b=b;视视b b为幺元时有为幺元时有a*b =a. a*b =a. a=a*b=b. a=a*b=b. 设设a,ba,b都是都是 S,*S,* 的零元的零元, ,则则a,ba,b S,S,且视且视a a为零元时有为零元时有a*b=a;a*b=a;视视b b为零元时有为零元时有a*b=b. a*b=b. a=a*b=b. a=a*b=b.由由上面的上面的证法证法可得可得: :若若S S的左幺的左幺( (零零) )元集和元集和右幺右幺( (零零) )元集元集都非空都非空, ,则则恰有一个恰有一个左幺左幺( (零零) )元元, ,恰有一个恰有一个右幺右幺( (零零) )元元, ,并且并且重合重合为唯一的幺为唯一的幺( (零零) )元元. .任何基数任何基数不小于不小于2 2的代数关于其任何二的代数关于其任何二元运算的幺元元运算的幺元1 1与零元与零元0 0若若存在必不相同存在必不相同证证: :( (用反证法用反证法) )若代数系统若代数系统 S,*S,* 的幺元的幺元, ,零元相同零元相同: :1=01=0, , 则存在则存在 x x S,xS,x 0 0(S(S至至少有少有2 2元元),),由此推出由此推出: : x x = = 1*x 1*x 1 1为幺元为幺元 = = 0*x 0*x 1=01=0 = = 0, 0, 0 0为零元为零元 与与 x x 0 0 矛盾矛盾 . .逆元逆元的定义的定义 定义定义: :设集设集S S上二元运算上二元运算 * * 有幺元有幺元1.1. x,yx,y S S 满足满足x*y=1x*y=1时时, ,称关于运算称关于运算* *,x,x是是y y的的左左逆逆元元, ,y y是是x x的的右右逆元逆元. . 定义定义: :设集设集S S上二元运算上二元运算 * * 有幺元有幺元1.1. y y S S 称为称为 x x S S 的的逆元逆元, ,如果如果 x*y=y*x=1x*y=y*x=1. .换句换句话说话说,S,S中同时是中同时是x x的左逆元和右逆元的元的左逆元和右逆元的元素素y y称为是称为是x x的逆元的逆元. .逆元逆元的例子的例子 代数代数 I,+I,+ 的幺元是的幺元是0,0,每个元每个元 x x I I 的逆元是的逆元是 - -x.x. 代数代数 N,+N,+ 的幺元是的幺元是0,0,只有只有 0 0 有逆元是有逆元是 0,0,其它其它非零元均没有逆元非零元均没有逆元. . 代数代数 R-0,R-0, 的幺元是的幺元是1,1,每个元每个元 x x R-0R-0 的逆元是的逆元是 1/x.1/x. 代数代数 R Rn n n n, , ,E,E ( (R Rn n n n为为n n阶实方阵集阶实方阵集, , 为矩为矩阵乘法阵乘法,E,E为单位矩阵为单位矩阵) )幺元是单位矩阵幺元是单位矩阵E,E,逆元逆元是逆矩阵是逆矩阵. .你能证明你能证明, ,对这个例子来说对这个例子来说, ,左、右左、右逆元一定都是逆元吗？逆元一定都是逆元吗？ 是是 的逆元的逆元, , 是的是的 逆元逆元. .逆元逆元的性质的性质 若若 * *满足满足结合律结合律, ,则每元逆元则每元逆元至多有一个至多有一个证证: :设设 y,zy,z 是是 x x 的两个逆元的两个逆元, ,即即 x*y=y*x=1, x*y=y*x=1, 和和 x*z=z*x=1,x*z=z*x=1,则则y=y*1=y*(x*z)y=y*1=y*(x*z)= =(y*x)*z=1*z=z.(y*x)*z=1*z=z. x x有逆元时称有逆元时称 x x 为可逆的为可逆的.x.x 的的唯一逆元唯一逆元记记为为 x x-1-1. . 易见易见:(:(x x-1-1) )-1-1 =x, =x, 并且并且x x 为可逆的当且仅当为可逆的当且仅当 x x-1-1 为可逆的为可逆的. . 幺元一定是可逆的幺元一定是可逆的. .( (因为幺元是自己的逆元因为幺元是自己的逆元) )*f f1 f f2 f f3 f f4f f1f f2f f3f f4f f1 f f2 f f3 f f4f f2 f f2 f f2 f f2f f3 f f3 f f3 f f3f f4 f f3 f f2 f f1由下表定义的由下表定义的 代数代数 S,* ,S=f1,f2,f3,f4中中, f1是幺元是幺元; f1, f4的逆元是它们自己的逆元是它们自己; f2,f3没有没有逆元逆元.6.1-6.26.1-6.2作业布置作业布置6.1 6.1 习题习题#1 ; #1 ; #7 ;#7 ;#10 . #10 . 6.2 6.2 习题习题#2 .#2 .6.1#56.1#5g:Ig:I I II,g(x,y)=x*y=I,g(x,y)=x*y=x+y-x+y-xyxy g g显然是整数集显然是整数集I I上的二元函数上的二元函数, ,故故g g定义定义I I上一上一个个二元运算二元运算. .由数加由数加, ,乘法的交换性推得乘法的交换性推得* *的交的交换性换性; ;由加由加, ,乘法的结合性乘法的结合性不难验证不难验证* *的结合性的结合性. . 欲求欲求 I I 上运算上运算 * * 的幺元的幺元 a,a,注意到注意到a*y=a*y=a+ya+y-ay=y-ay=y 对任意对任意 y y I I 成立之后成立之后, ,令令 y=2y=2 得得 a+2-2a=2 a+2-2a=2 -a=0 -a=0 a=0; a=0; 反之反之 y*0=yy*0=y 成立成立. . 幺元是幺元是0 0. . 只有二可逆元只有二可逆元: :0 0和和2 2 欲求欲求x x 的逆元的逆元x x-1-1, ,注意注意: :x*xx*x-1-1=x+x=x+x-1-1-xx-xx-1-1= =0 0 (x-1)x(x-1)x-1-1=x=x上式当上式当 x=xx=x-1-1= =0 0 或或x=xx=x-1-1= =2 2 时成立时成立; ;对其余整数对其余整数 x x 都都不成立不成立. .例如例如,x,x 3 3 时应有时应有 x x-1-1 2;2; x=(x-1)。