2010年a题.doc

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： S18039 所属学校（请填写完整的全名）： 河南师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 胡海波 2. 曹明杰 3. 王韩朋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 陈永强 日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1储油罐的变化识别与罐容表标定储油罐的变化识别与罐容表标定摘要摘要 储油罐作为加油站常用的储存设施，对油品在不同液面高度时的储油量进行精确 的计量变得尤为重要，当前常用的油位计量管理系统需要进行校正，以提高其测量准 确度. 本文通过对地下储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐容表影响的深入分析，利用实际的测 量数据，建立了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间的数学模型，并用剩余的数 据对所建的模型进行检验和误差分析，以验证所建模型的准确性，并对模型进行进一 步的改进与评价. 针对问题一，关于椭圆柱体(两端为平头) 的储油罐部分容积的计算,当罐体无变位 时，根据数学分析中微积分和几何公式，可以得出罐内油的体积与油液面高度之间的 数 学函数：,]21) 1arcsin()H2()[(22 1bbHbbHbHLbaV从而计算出储油罐内油的体积. 当储油罐发生一定倾斜角的纵向变位时，根据附件中大量的数据验算,以同一规格,相 同倾斜角的罐体数据,在储存体积相同的条件下,利用平面几何知识将倾斜状态下的实 际测量高度与液面等效高度一一对应,依此建立罐内油的体积与液面实际测量高度的函 数表达式为：.18. 0)098562. 16 . 0arcsin()259137. 1)(059137. 0()659137. 0(634167. 322HbHHHV代入附件一中各个流水号的油位高度，即可将各个流水号的罐体的理论油量求出,再与 罐中的实际油量相比,得出各流水号储油量之间的误差.依上模型，可得出罐体变位对 罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）的影响.罐体变为后油位高度间隔为 的罐容表的高度的范围为,对应的油的体积范围为cm1mmmm1030,410，详细数据见表 5-1 所示.]3 .3502,1 .956[LL 针对问题二，当罐体位置发生纵向倾斜和横向偏转时，罐容表发生改变，为求得 罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系，可先考虑储油罐发生纵向偏转， 再发生横向偏转，从而求出液面等效高度，从而建立罐内储油量与油位高度及变位参 数之间的一般关系： ,tan2cos25. 825 . 4) 15 . 1arcsin(18)3()5 . 1(8023HHHHHHHHHV等效高度从而依据附录六中的数据，得出罐体变位后纵向倾斜角，横向倾斜角2 . 4，罐体变为后油位高度间隔为的罐容表的高度的范围为56.17cm10,对应的油的体积范围为，详细数据见表 5-2 所示.mmmm 2600,400]40.6202,70.480[LL关键词 等效转换 拟合 插值 微积分 2一、问题重述一、问题重述 一般情况下，加油站都有若干储存燃油的地下储油罐，并且通常都有与之配套的 “油位计量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据， 通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与出油量的对应关系）进行实时计算，以得 到罐内油位高度和储油量的变化情况. 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向 倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容发生改变.按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定.一种典型的储油罐尺寸与形状示意图如图 1-1 所示：其主体为圆柱体，两端为球冠体.罐体纵向倾斜变化示意图如图 1-2 所示：油油浮子出油管油位探测装置注 油 口检 查 口地平线2m6m1m1m3 m油位 高度图图 1-1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针油位探针α 地平线图图 1-2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注 油 口检 查 口水平线3罐体横向偏转变位的截面示意图如图 1-3 所示：请用数学建模的方法研究解决储油罐的变为识别与罐容表标定的问题. （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 1-4 所示的小椭圆型储油罐 (两端平头的椭圆柱体)，分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做1 . 4了实验，实验数据如附件 所示.建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给1 出罐体变化后油位高度间隔为的罐容表标定值；cm1 （2）对于上图 1-1 所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度和横向偏转角度)之间的一般 关系.利用罐体变化后在进/出油过程中的实际检测数据(附件)，根据所建立的数学2 模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值.进一步cm10 利用附件中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可能性.2图图 1-3 储油罐截面示意储油罐截面示意（b）横向偏转倾斜后正截面地平线 β地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面 图油位探针油位探测装置地平线 油 3m油 (b) 小椭圆油罐截面示意 图α 油油浮子出油 管油 位 探 针注油口水平线2.05m17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图 1-4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图4二、模型假设 1.假设储油罐的壁厚忽略不计； 2.假设外界环境，如温度、气压等对储油罐容积的影响很小，可忽略不计； 3.假设油位探测装置测量出来的数值误差很小； 4.假设油品压力，油的液位和温度等对测量结果影响很小，可忽略不计； 5.假设储油罐下沉引起的储油计量误差不计三、符号说明储油罐液面的测量高度H小椭圆型储油罐液面的等效高度H储油罐变位后液面的等效高度0H罐体无变位时油的体积1V罐体纵向倾斜时油的体积2V储油罐中间圆柱体的体积3V储油罐两端椭球体的体积4V储油罐的体积V四、模型分析 针对问题一，当罐体无变位变化时，根据立体几何公式及微积分知识，建立了罐 容表模型，从而得出罐内油位高度与储油量的对应关系，代入附录一中各流水号所对 应的油位高度，即可求得罐中的理论油量，再与罐中的实际油量相比较，得到储油量 的理论与实际误差.当罐体发生倾斜角为的纵向变位时，利用几何中面积相同1 . 4的知识作出储油罐内油液面的等效高度，建立储油罐中油的体积和液面等效高度的函 数关系：,tan)2(lLHH依此得到罐内油的体积和实际测量高度的函数关系式：2VH.18. 0)098562. 16 . 0arcsin()259137. 1)(059137. 0()659137. 0(634167. 322HbHHHV此时问题转化为罐体无变位时的数学模型，代入附件一中流水号所对应的油位高度， 即可求得罐中的理论油量.通过罐中油量的实际值与理论值的比较及误差分析，可得出 罐体变位后对罐容表的影响.当罐体变位后油位高度间隔为时，运用 MATLAB 插值1cm 运算，代入数据即可求得此时的罐容表标定值. 针对问题二，当实际储油罐无变位时，为求出实际储油罐的体积，可由储油罐中 间圆柱体的体积加上两端椭球体的体积得到；当实际储油罐发生纵向变位及横向变位时，通过几何知识算出此时油液面的等效高度，从而建立罐tan)2(cos0lLHH内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系：5.25. 825 . 4) 15 . 1arcsin(18)3()5 . 1(823HHHHHHHV再利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检验数据（见附件二） ，根据以上模型确定 变位参数、，并计算出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值.cm10 五、模型的建立与求解 5.1.1 问题一的分析及求解 针对问题一，依题意，首先根据罐体无变位时罐内油位高度与储油量的函数关系， 建立罐体无变位时罐容表的数学模型. 5.1.1 罐体无变位时罐容表的数学模型的建立 如图 1-1，储油罐中间一段为椭圆柱体，当罐体无变位时，椭圆柱体的纵向及横 向截面图如图 5-1 所示：在某液面高度下，设罐内油的体积为，液面高度为，建立储油罐油的体积和1VH液面高度的函数关系.根据数学分析中的微积分知识得 ，且 .由dyySdV)(11xLyS2)(1椭圆方程，得.12222 by ax22ybbax由以上方程整理得 ， (5.1.1)dyybbaLdV22 12两边积分得到罐体无变位时罐容表的数学模型： .(5.1.2)]21) 1arcsin()H2()[(22 1bbHbbHbHLbaV由图 1-4 可知、、代入式 5.1.2 得：mL45. 2ma78. 12 mb20. 12 , ]36. 021) 16 . 0arcsin(36. 0)H2 . 1 ()6 . 0[(45. 26 . 0 89. 01HHHV（5.1.3） 整理得到图 5-1 的实际数学模型：. ]18. 0) 16 . 0arcsin(36. 0)H2 . 1 ()6 . 0[(634167. 31HHHV（5.1.4） 5.1.2 罐体有一定倾角的纵向变位数学模型的建立 同样在某液面高度下，设此时罐内油的体积为，液面等效高度为，建立储油2VH罐中油的体积和液面高度的函数关系.此时的罐体的平面结构图如图 5-2 所示：-b-aaa bxa ya ya ha Ha y+dydx)y(S11VL 图 5-1 储油罐示意图EDOCB FAKLNMab6由图 5-2，通过平面几何知识可得出液面等效高度和实际测量的液面高度的关系.函HH 数关系为：.tan)2(lLHH通过整理得出为：H, tan)2(lLHH（5.1.5） 将(5.1.4)式代入方。