高中数学讲义微专题45均值不等式.docx

2微专题 45利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设a >0 (i=1,2, i, n)（1）调和平均数：H =nn1 1+ +a a1 2+1an（2） 几何平均数：（3） 代数平均数：G =nA =na aan1 2a +a +1 2nn+an（4）平方平均数：Q =na 2 +a 2 + 1 2n+a2n2、均值不等式：H £G £A £Q n n nn，等号成立的条件均为：a =a =1 2=an特别的，当 n =2 时， G £A Þ2 2ab £a +b2即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（1 ）a +b ³2 ab (a,b >0)：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）ab £æa +b ö ç ÷è ø2：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）a2 +b 2³2 ab，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围a, b ÎR4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当 x >0, 求y =x 2 +3x的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则3y =x 2 + ³2 4 xx，右侧依然含有x，则无法找到最值① 求和的式子→乘积为定值例如：上式中y =x2+4 3为了乘积消掉 x ，则要将 拆为两个 x x2x，则y =x24 2 2 2 2+ =x 2 + + ³3 3 x 2 × × =3 3 4 x x x x x2()ç÷()ç ÷è øç(2x+y )② 乘积的式子→和为定值，例如0

例如：已知x >0, y >0,2 x +3 y =1，求3 2+x y的最小值解：3 2 æ3 2 ö 9 y 4 x + = + 2 x +3 y =6 + + +6x y x y x y=12 +9 y 4 x 9 y 4 x+ ³12 +2 × =24 x y x y（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知x >0, y >0,2 x +y +xy =4，求2 x +y的最小值解：xy =12×2x ×y £1 æ2x + 2 è 2yö÷ø2 2=8所以2 x +y +xy =4 Þ (2x+y )+(2x+y 8)2³4即(2x+y )2+8(2x+y)-32³0，可解得 2 x +y ³4 3 -4 ，即 (2x+y) =4 3 -4 min注：此类问题还可以通过消元求解：2 x +y +xy =4 Þ y =4 -2 xx +1，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意y >0的范围由x承担，所以x Î(0,2)二、典型例题：例 1：设x >-1，求函数 y =( x +5)( x +2) x +1的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，y =( x +5)( x +2) 4=x +1 + +5 x +1 x +1，使用均值不等式可得：y ³2(x+1)×4x +1+5 =9，等号成立条件为4x +1 = Þ x =1 x +1，所以最小值为9答案：9例 2：已知x >0, y >0，且x +y +1 1+ =5x y，则x +y的最大值是________思路：本题观察到所求x +y与1 1+x y的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即21 1+x y£x +y 1 1 4 Þ + ³2 x y x +y，代入方程中可得：(x+y)+4 (x+y)£5 Þ(x+y)2-5(x+y)+4£0，解得：1 £x +y £4，所以最大值为4答案：4例 3：已知实数m, n，若m ³0, n ³0，且m +n =1，则m 2 n 2+ m +2 n +1的最小值为（ ）A.1 4 1 1B. C. D.4 15 8 3思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。

考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化m 2 n 2 4 1 + =m -2 +n -1+ +m +2 n +1 m +2 n +1，结合分母可将条件m +n =1，变形为(m+2)+(n+1)=4，进而利用均值不等式求出最值解：m 2 n2 m 2 -4 +4 n 2 -1+1 4 1 + = + =m -2 + +n -1+m +2 n +1 m +2 n +1 m +2 n +1ç÷( ) ( )4m +2 n +1æ2 2ê\ 方程变形为：222ëû()ëû=(m+n)-3+4 1 4 1+ = + -2 m +2 n +1 m +2 n +1m +n =1 Þ (m+2)+(n+1)=4\4 1 æ 4 1 ö 1 + = + ×m +2 n +1 èm +2 n +1 ø 41 æ 4 (n+1)m +2 öéëm+2+ n +1 ùû=ç4+ + +1÷è ø14 (n+1)m+2ö 9³ ç5+2× ÷=4 çm +2 n +1 ÷ 4èøm 2 n 2 9 1 m 2 n 2 \ + ³ -2 = ，即 +m +2 n +1 4 4 m +2 n +1 答案：A的最小值为14例 4：已知正实数x, y满足xy +2 x +y =4，则x +y的最小值为__________思路：本题所求表达式x +y刚好在条件中有所体现，所以考虑将x +y视为一个整体，将等式中的项往 x +y 的形式进行构造，xy +2 x +y =xy +x +(x+y)=x(y+1)+(x+y)，而x (y+1)可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于x +y的不等式，解不等式即可解：xy +2 x +y =4 Û xy +x +(x+y)=4Ûx(y+1)+(x+y)=4x (y+1)£é(x+y)+1ù é(x+y)+1ùú ê úë û ë û+(x+y)³4\ é(x+y)+1ù+4(x+y)³16\ (x+y)2+6(x+y)-15³0解得：x +y ³-6 + 962=2 6 -3答案：(x+y)的最小值为2 6 -3例 5：已知2 a >b >0 ，则 a +4 b(2 a -b)的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为b (2a-b)，所以可将 a 构造为1 1×2a = ×é2a -b +b ù 2 2，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：êëúû24î( )( )a +4 1 é= (2 a -b ) +b + b(2 a -b ) 28 ù 1 8 ³ ×33 (2 a -b ) ×b×b(2 a -b ) 2 b (2 a -b )=3思 路 二 ： 观 察 到 表 达 式 中 分 式 的 分 母b(2a-b)， 可 想 到 作 和 可 以 消 去b， 可 得b (2a-b)£éb+(2a-b)ù ê úë û=a2。