2021年第1至第5届全国大学生数学竞赛真题及答案.docx

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参与高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学学问，适当看一些书及相关题目，主要是一些各大高校的试题； ）2021 年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每道题 5 分，共 20 分）y |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * 〔x y〕 ln〔1 〕1．运算 x dxdy ，其中区域 D 由直线 x y 1与两D 1 x y坐标轴所围成三角形区域 .0 1 | * | * | * | 解:令 xy u , x v ，就 xyv, yu v ，dxdydet1dudv1dudv ，|欢.|迎.|下.〔 x y〕 ln〔1〕x dxdyu ln u u ln vdudv|载. D 1 x yD 1 u1 u ln u u〔 dvu u ln vdv〕du0 1 u 021 u 01 u ln u0 1 uu〔u ln u1 uu) du令 t 1u ，就 u1 t 21 u20 1 udu （* ）du 2tdt ， u21 2t 2t 4 ， u〔1 u〕t 2 〔1t〕〔1t〕 ，〔*〕02 〔 112t 2t 4 〕dt12 〔102t 2t 4 〕dt2 32 t t32 211 t 5 165 0 152．设f 〔 x〕 是连续函数，且满意f 〔x〕 3xf 〔x〕dx02 , 就f 〔x〕 .解:令 A2f 〔 x〕dx ，就0f 〔x〕3x2 A 2 ，2A x 2A 2〕dx8 2〔 A 2〕4 2A〔 3 ,04 2 10解得 A ；因此3x2f 〔x〕 3 x ；33．曲面 z2y 2 2 平行平面 2 x 2 yz 0 的切平面方程是 .第 1 页，共 31 页解 : 因 平 面 2 x 2 yz 0 的 法 向 量 为〔2,2,1) ， 而 曲 面 z x22y 2 2 在〔 x0 , y0 〕处 的 法 向 量 为〔 zx 〔x0 ,y0 〕, zy 〔 x0 ,y0 〕, 1〕 ， 故〔 zx 〔 x0 , y0 〕, zy 〔 x0 ,y0 〕,1〕 与〔 2,2,1〕 平 行 ， 因 此 ， 由 zxx ， zy 2 y 知2 zx 〔x0 ,y0 〕x0 ,2zy 〔 x0 ,y0 〕2 y0 ，即 x02, y01 ， 又z〔 x0 , y0 〕z〔 2,1〕5 ， 于 是 曲 面 2 x 2 yz 0 在〔 x0 , y0 , z〔 x0 , y0 〕〕2处的切平面方程是2〔 x2〕 2〔 y 1〕 〔 z 5〕0 ，即曲面 |精.|品.|可.z x y222 平行平面|编.|辑.|学.2 x 2 yz 0 的切平面方程是 2 x 2 yz 1 0 ；|习.|资.|料. * | 4．设函数 y y〔x〕 由方程2xe f 〔 y 〕e y ln29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1 ，就 * | * | * d ydx2 . | |欢.|迎.解:方程xe f 〔 y〕ey ln29 的两边对 x 求导，得|下.|载. e f 〔 y 〕 xfy f 〔 y 〕〔 y〕 y e1f 〔 y 〕ey yln 291因 e ln 29 xe ，故f 〔 y〕 yy ，即y ，因此xd 2 y 12 y 2x〔1f 〔 y〕 y2f 〔 y〕〕dx x 〔1f 〔 y〕f 〔 y〕〕x[11f 〔 y〕]f〔 y〕 [1f 〔 y〕] 2x2 [1 fe x〔 y〕] 3e2 xx2 〔1enxf 〔 y〕〕ex2[1f 〔 y〕] 3二、（ 5 分） 求极限lim 〔〕 x ，其中 n是给定的正整数 .解:因xlim 〔ex 0e2 xenx e〕 xnxlim 〔1 ee2 xenxen〕 xx 0故xA lim ene2 xx 0 nenx n ex 0xe lim ee2 xn xenx nx 0e limnxex 2e2 xnenxe 1 2n n 1 e因此xlim 〔 ex 0e2 xnenx e〕 x eAn 2n 1ee 2x 0 n第 2 页，共 31 页三、（ 15 分）设函数f 〔 x〕 连续，g〔 x〕1f 〔 xt〕dt ，且 limf 〔x〕A ， A 为常数， 求 g〔 x〕并争论 g 〔 x〕 在 xf 〔 x〕00 处的连续性 .x 0 xf 〔 x〕解:由 limA 和函数 f 〔 x〕 连续知，f 〔0〕lim f 〔 x〕limx lim 0x 0因 g 〔x〕x1f 〔 xt〕dt ，故01g〔0〕x1f 〔0〕dt0x 0f 〔0〕 0 ，x 0 x 0 x因此，当 x0 时，g〔 x〕xf 〔u 〕du ，故x 0|精.|品.|可.limg 〔 x〕limf 〔u〕 du0limf 〔x〕f 〔0〕 0|编.|辑.|学.x 0 x 0 xx 0 1|习.|资.|料. * | * | * | 当 x 0 时，g 〔x〕1 xx 2 0 f〔u 〕duf 〔 x〕，x * | |欢.|迎.|下.g 〔0〕limg〔 x〕g〔0〕1lim xxf 〔t〕dt0limxf 〔t〕dt02limf 〔 x〕 A|载. x 0 x x 01 xxf 〔 x〕x 0 xf 〔 x〕x 0 2 x 21 x A Alimg 〔 x〕lim [f 〔u 〕du] limlimf 〔u 〕du Ax 0 x 0x2 0x x 0 xx 0 x2 0 2 2这说明g 〔 x〕 在 x0 处连续 .四、（ 15 分）已知平面区域 D{〔 x,y〕 | 0 x, 0 y} ，L 为 D 的正向边界， 试证：（ 1）xesin y dyLye sin x dxxe sin y dyLyesin x dx ；（ 2）xesin y dyLye sin y dx5 2 .2证:因被积函数的偏导数连续在 D 上连续，故由格林公式知（ 1）Lxesin ydyye sin x dxD〔 xesin y 〕x〔 yeysin x 〕dxdyxe sin y dyLyesin xdx〔esin yDe sin x 〕dxdy〔 xeD xsin y 〕〔 yesin x 〕ydxdy〔e sin yDesin x 〕dxdyee而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知〔esin yDsin x〕dxdysin y〔eDsin x〕dxdy第 3 页，共 31 页yeyedxdx因此（2）因sin yxedyLsin xsin yxedyLsin xet e t故2〔1 t t242. 4.〕 2〔1t 2 〕 |精.esin x由e sin x2 sin 2 x2 1 cos 2 x25 cos 2 x 2|品.|可.|编.xesin ydyye sin y dx〔esin ye sin x 〕dxdy〔e sin yesin x 〕dxdyL DD|辑.|学.|习.|资. 知|料. * | * | * | * xesin y dyLye sin y dx1 〔esin y2 De sin x〕dxdy1 〔 e2 Dsin yesin x〕dxdy | |欢.|迎.|下.|载. 1 〔e2 Dsin ye sin y〕dxdy1 〔 e2 Dsin xesin x〕dxdy〔e sin xDesin x〕dxdy〔e sin x0e。