小学数学 整数裂项.教师版.docx

)( ) ( )( )1 æ1 1 ö æ1 1ç÷ ç)()1整数裂项知识点拨 整数裂项基本公式(1) 1 ´2 +2 ´3 +3 ´4 +... +( n -1) ´n1= ( n -1) ´n ´( n +1) 31(2) 1 ´2 ´3 +2 ´3 ´4 +3 ´4 ´5 +... +( n -2) ´( n -1) ´n = ( n -2)( n -1)n( n +1)4例题精讲【例 1】 1 ´2 +2 ´3 +3 ´4 +L +49 ´50 =_________【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消设 S＝ 1 ´2 +2 ´3 +3 ´4 +L +49 ´501 ×2×3＝1×2×32 ×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33 ×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S＝49×50×51÷3＝41650【答案】 41650【巩固】 1´2 +2 ´3 +3 ´4 +4 ´5 +5 ´6 +6 ´7 +7 ´8 +8 ´9 +9 ´10 =________【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：n (n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)1 1= n n +1 n +2 - n -1 n n +1 ，3 3 3所以原式 = ´1´2 ´3 + ´2 ´3 ´4 - ´1´2 ´3 +L + ´9 ´10 ´11 - ´8 ´9 ´103 è3 3 ø è3 31= ´9 ´10 ´11 =3303ö÷ø另解：由于 n (n+1)=n2+n ，所以原式 =(12+1)+(22+2)+L+(92+9)=(12+22+L +921 1+ 1 +2 +L +9 = ´9 ´10 ´19 + ´9 ´10 =3306 2采用此种方法也可以得到1´2 +2 ´3 +L +n ´(n+1)=n(n+1)(n+2)这一结论．3【答案】 330【例 2】 1 ´4 +4 ´7 +7 ´10 +L +49 ´52 =_________【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算【解析】 设 S＝1 ´4 +4 ´7 +7 ´10 +L +49 ´5211 11 æ1 1 ö æ1 1ç÷ ç1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S＝49×52×55＋1×4×2S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】 15572【例 3】 1 ´2 ´3 +2 ´3 ´4 +3 ´4 ´5 +L +9 ´10 ´11 =【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算【解析】 n (n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)，所以，4 4原式 = ´1´2 ´3 ´4 + ´2 ´3 ´4 ´5 - ´1´2 ´3 ´4 +L + ´9 ´10 ´11 ´12 - ´8 ´9 ´10 ´11 4 è4 4 ø è4 41= ´9 ´10 ´11 ´12 =29704ö÷ø从中还可以看出， 1 ´2 ´3 +2 ´3 ´4 +3 ´4 ´5 +L +n ´(n+1)´(n+2)= 【答案】 2970．【例 4】 计算：1 ´3 ´5 +3 ´5 ´7 +L +17 ´19 ´21 =【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 可以进行整数裂项．14n (n+1)(n+2)(n+3)3 ´5 ´7 =3 ´5 ´7 ´9 -1´3 ´5 ´78，5 ´7 ´9 =5 ´7 ´9 ´11 -3 ´5 ´7 ´98，17 ´19 ´21 =所以原式17 ´19 ´21 ´23 -15 ´17 ´19 ´218，=1 ´3 ´5 +3 ´5 ´7 ´9 -1´3 ´5 ´7 17 ´19 ´21 ´23 -15 ´17 ´19 ´21+L +8 8=1 ´3 ´5 +17 ´19 ´21 ´23 -1´3 ´5 ´7 17 ´19 ´21 ´23 +1´3 ´5=8 8=19503也可适用公式．原式 =(3-2)´3 ´(3+2)+(5-2)´5 ´(5+2)+L +(19-2)´19 ´(19+2)=(32-22)´3+(52-22)´5+L+(192-22)´19=(33+53+L +193)-4´(3+5+L+19)=(13+33+53 +L +193 )-4´(1+3+5+L+19)+3而 13+33+53+L +193=(13+23+33 +L +203 )-(23+43+63+L+203 )1 1 = ´20 2 ´212 -8 ´ ´104 42´112=19900 ，1 +3 +5 +L +19 =10 2 =100 ，所以原式 =19900 -4 ´100 +3 =19503 ．1ç+2424ç+2424ë û【答案】 19503【巩固】 计算：10 ´16 ´22 +16 ´22 ´28 +L L +70 ´76 ´82 +76 ´82 ´88 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 可进行整数裂项：原式 =æ10 ´16 ´22 ´28 -4 ´10 ´16 ´22 ö æ16 ´22 ´28 ´34 -10 ´16 ´22 ´28 ö÷ ç ÷è ø è ø+L L +æ70 ´76 ´82 ´88 -64 ´70 ´76 ´82 ö æ76 ´82 ´88 ´94 -70 ´76 ´82 ´88 ö÷ ç ÷è ø è ø=10 ´16 ´22 ´28 4 ´10 ´16 ´22 16 ´22 ´28 ´34 10 ´16 ´22 ´28- + -24 24 24 24+L L +==70 ´76 ´82 ´88 64 ´70 ´76 ´82 76 ´82 ´88 ´94 70 ´76 ´82 ´88- + -24 24 24 2476 ´82 ´88 ´94 4 ´10 ´16 ´22-24 2476 ´82 ´88 ´94 -4 ´10 ´16 ´2224=2147376【答案】 2147376【巩固】 计算：1 ´2 ´3 ´4 +3 ´4 ´5 ´6 +5 ´6 ´7 ´8 +L +97 ´98 ´99 ´100 =【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算．记原式为 A ，再设 B =2 ´3 ´4 ´5 +4 ´5 ´6 ´7 +6 ´7 ´8 ´9 +L +96 ´97 ´98 ´99 ，则 A +B =1 ´2 ´3 ´4 +2 ´3 ´4 ´5 +3 ´4 ´5 ´6 +L +97 ´98 ´99 ´1001= ´97 ´98 ´99 ´100 ´101 =1901009880 ，5现在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的值就都可以求出来了．A -B =1 ´2 ´3 ´4 -2 ´3 ´4 ´5 +3 ´4 ´5 ´6 -4 ´5 ´6 ´7 +5 ´6 ´7 ´8 +L +97 ´98 ´99 ´100=4 ´(1´2 ´3 +3 ´4 ´5 +5 ´6 ´7 +... +97 ´98 ´99)=4 ´é2´(22 -1) +4 ´(4 2 -1) +6 ´(6 2 -1) +L +98 ´(982 -1)ù=4 ´(23+43+63+L +983) -4 ´(2 +4 +6 +L +98)1 1=4 ´8 ´ ´49 2 ´50 2 -4 ´ ´100 ´49 =480102004 2所以， A =(1901009880 +48010200 )¸2=974510040 ． 【答案】 974510040【例 5】 2004 ´2003 -2003 ´2002 +2002 ´2001 -2001´2000 +L +2 ´1 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 原式 =2003 ´2 +2001´2 +L +3 ´2 +1´2=2 ´(1+3+5+L +2001 +2003 =2 ´(1+2003 )´1002 ¸2=2008008)其中也可以直接根据公式1 +3 +5 +7 +L +(2n-1)=n2得出1 +3 +5 +L +2001 +2003 =10022【答案】 2008008【例 6】 1 ´1!+2 ´2!+3 ´3!+L +2008 ´2008! =【考点】整数裂项 【难度】4 星 【题型】计算3(1ëû【解析】 观察发现 2 ´2! =2 ´2 ´1 =(3 -1) ´2 ´1 =3!-2! ， 3 ´3! =3 ´3 ´2 ´1 =(4 -1) ´3 ´2 ´1 =4!-3! ，…… 2008 ´2008! =2008 ´2008 ´2007 ´L ´2 ´1=(2009 -1) ´2008 ´2007 ´L ´2 ´1 =2009!-2008!，可见，原式 =1!+(2!-1!) +(3!-2!) +L +(2009!-2008!) =2009! 【答案】 2009!【例 7】 计算：1 ´2 +3 ´4 +5 ´6 +L +99 ´100 2 ´3 +4 ´5 +L +98 ´99=【考点】整数。