简便计算裂项相消法.docx

第5讲简便计算（四）列项相消法（拆分法）一:裂项相消法（拆分法）:把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法二：列项相消公式(1)1 _ 1 1 ——— n(n +1) n n +1(2)（3）1 1 11(—— )Xn(n + k) n n + k k（4）（5）r 1、nWT(n + 1)(n + 2 ) Ja + b 1 1 =—+ —a x b a b1 _n (n + 1)(n + 2)-（6）a 2 + b 2 b a — 1 a x b a b（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列2）数列中的每一个数叫做这个数列的项依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二项 第n项（末项\（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列而这个常数叫做等差数列的公差（2 ）等差数列的和二（首项+末项）x项数！ 2（3 ）等差数列的项数二（末项-首项）！公差+1（4 ）等差数列的末项二首项+公差x（项数-1）三：经典例题111111 + + + + + 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6 6 x 7 7 x8（例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用 公式―-n(n +1) n n +1例2、1 +1+ L+L + L+L + 22 6 12 20 30 42 5611 1 1 1 1 1 1 1例 3、1+3—+5 +7 +9 —+11 +13 +15 +17—+19 6 12 20 30 42 56 72 90 110例5、1+kkk ±3 15 35 63 99例 4、上+上+_^+_^ + L + L_ 1x3 3x5 5x7 7x9 9x11 11x13例6、 11+3上+5上+7上+9土3 15 35 63 99例7、1111 1 + + + + 1X 4 4 X 7 7 X10 10 X13 13 x16例8、2 2 2 2 21X3 + 3X5 + 5X7 i'+2001 X2003 + 2003x20053 5 7 9 11 13 15 35 49 63 77 91 105例 9、_- — +一- 一 + 一 - 一 + 一 例 10、一 一 一 + 一 一 一 + 一 一 一2 6 12 20 30 42 56 6 12 20 30 42 56（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。

可用公式以=-+1）a x b a b例11、1 5 11 19 9701 98992 6 H 而…9702 9900（观察到每个分数分母都比分子多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算例12、7+13+殳+少竺+57+73+916 12 20 30 42 56 72 90（观察到每个分数分子都比分母多1,分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘 的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算例13、22 42 62 82 102话 + 待 + 5^7 +7^9 + 9 X11例 14. 1 +1X 2 X 3 2 X 3 X 41+ + + 3 x 4 x 5 4 x 5 x 6 5 x 6 x 7（观察到分子都是1,分母是连续的三个数相乘，所以可以用公式1 ( 1 1 ) 1、n(n + 1)(n + 2)［志+D~(n + 1)(n + 2)J' 2)例 15 12 + 22 + 22 + 32 + 32 + 42 + + 20012 + 20022(观察此题可用公式竺土 = b + a列项凑整，但不能相消。

) a x b a b:有题精选11111111 1—+ + + + + + + + 2、6 12 20 30 42 56 72 90 1103.1 1 1 + + 6x82x44x6+ 8xl01998x20002x44x66x8+ + • • • + 8x10 98x1005.、1 c 1 cl /1- + 2——+ 3 ——+ 43 15 35上+・..+ 10上63 3996、1一5+二笔旦一、乓6 12 20 30 42 567、35 49 63 77 91 105 — + — + — 6 12 20 30 42 568、1 工 1 工工 2x3x4 3x4x5 …10x11x129, —10,上 + 1 ++ +1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + ••• + 2011— + —1— + —1— + —- + -——+1x3 x 5 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x11 9 x11x13 11x13 x1512 + 22 22 + 32 32 + 4211、 + + + • • • +19992 + 200021999 x 20001X 2 2 X 3 3 X 411 2 + 31 + 5 上 + 7 — + 9 — + 11上 + 13土 + 15土 +17 上 +19 上2 6 12 20 30 42 56 72 90 110。